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】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试 文科数学(一模第2套)

时间:2013-04-09


高三自评试卷

数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考 试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的. 1.若 (1 ? i) z ? ?2i, 则复数 z ? A. i B. ?i C. ?1 ? i

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

D. ?1 ? i

2. 已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0,2,4} C. {2,4}
2 2

D. {0,4}

3. “ k ? 2 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相切”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. 若 e1 , e2 是夹角为 A. 1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?? ?? ?

? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 的单位向量,且 a ? ?2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ? 3 7 7 B. ?4 C. ? D. 2 2

x 5. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x ,若 x0 是函数 y ? f ( x) 的零点,则当 0 ? x ? x0 时,函数

1 5

f ( x)
A.恒为正值 6. 若当 x ? B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

3? ? x) 是 4

-1-

A.奇函数且图象关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.偶函数且图象关于点 (? , 0) 对称 D.偶函数且图象关于点 (

C.奇函数且图象关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

, 0) 对称

7. 已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出以下命题: ①若 m ? ? , n / / ? ,则 m / / n ;②若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? n ;③ 若 n / / m , m ? ? ,则 n / /? ;④若 ? / /? , ? / /? ,则 ? / / ? .其中正确命题的序号是 A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 8. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 4? ? B.

9. 若 a, b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是 .. A. a ? b
2 2

3 ? 2

C. 3?

D. 2?
主视图 左视图

B.

b ?1 a
x

C. lg(a ? b) ? 0

D. ( ) a ? ( ) b 第8题图
俯视图

1 3

1 3

10. 已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 的任意

x1 , x2 ,给出下列结论:① ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 0 ;② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;
③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;④ A. ①② B. ①③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ,其中正确结论的序号是 2 2
C. ②④ D. ③④

11. 等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 , f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ??? ( x ? a8 ) , f ?( x) 为函数

f ( x) 的导函数,则 f ?(0) ?
A.0 B. 2
6

C. 2

9

D. 2

12

?x ? y ? 1 ? 0 b?2 ? 12. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 0 ,若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 的取值范围为 a ?1 ?y ? 0 ? 2 4 2 4 A. [1,3] B. [ , 4] C. [ , ] D. [ , 4] 3 3 3 3

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)

-2-

13. 定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右框 图所示,则式子 (2 tan 的值为
2 2

开始 输入 a, b 是

?

1 ? ) ? lne ? lg100? ( ) 1 4 3
;

a ? b?



14. 已知双曲线 x ? ky ? 1的一个焦点是

输出 a(b ? 1)

输出 b(a ? 1)

0 ,则其离心率为 ( 5,)

;

结束

15. 在等差数列 {an } 中, a2 ? 4 , a4 ? 12 ,则 数列 {an } 的前 10 项的和为_______; 16.下列说法中正确的是 (把所有正确说法的序号都填上).[来

①“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;

? ? ②线性回归方程 y ? bx? ? 对应的直线一定经过其样本数据点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , a



( xn , yn ) 中的一个点;
③命题“ ? x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ④命题“函数 f ( x) 在 x ? x0 处有极值,则 f ?( x) ? 0 ”的否命题是真命题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)( x ? R,?>0) 的最小正周期为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 ? , ? ?[0,

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 , f (3? ? ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 5 2 13

18. (本小题满分 12 分)有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数 字 1, 2,3, 4 . (Ⅰ)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除 的概率;

-3-

(Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个

1 有公共点的概率. 16 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, N 是 PB 中
球,该球的编号为 b ,求直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 点,过 A 、 N 、 D 三点的平面交 PC 于 M . (Ⅰ)求证: PD / / 平面 ANC ; (Ⅱ)求证: M 是 PC 中点; (Ⅲ)若 PD ? 底面 ABCD , PA ? AB , BC ? BD , 证明:平面 PBC ⊥平面 ADMN . 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ? ln x ,g(x) ? ax ? b , A B 函 D N P M C

x

数 f (x) 的图象与 x 轴的交点也在函数 g(x) 的图象上,且在此点有公切线. (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 21. 本小题满分 13 分) ( 已知数列 ?a n ? n ? N ) ( 是首项为 a , 公比为 q ? 0 的等比数列,S n
*

是数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 12 S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列. (Ⅰ)当公比 q 取何值时,使得 a1 ,2a 7 ,3a 4 成等差数列; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 Tn ? a1 ? 2a 4 ? 3a7 ? ? ? na3n ?2 . 22. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(?1,0), B(1,0) ,动点 C 满 足: ?ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,记动点 C 的轨迹为曲线 W . (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)曲线 W 上是否存在这样的点 P :它到直线 x ? ?1 的距离恰好等于它到点 B 的距离?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设 E 曲线 W 上的一动点, M (0, m) , (m ? 0) ,求 E 和 M 两点之间的最大距离.

-4-

高三自评试卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. DBACA CABDC DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 13 14. 15. 180 16.③

5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得 ? ? ∴ f ( x) ? A sin( ?

x ? ) 3 6 2? ? 5? 由 f (2? ) ? 2 得 A sin( ? ) ? 2 ,即 A sin ? 2 ,∴ A ? 4 …………………………4 分 3 6 6 x ? ∴ f ( x) ? 4sin( ? ) …………………………………………………6 分 3 6 16 1 ? 16 ? 16 (Ⅱ)由 f (3? ? ? ) ? 得 4sin[ (3? ? ? ) ? ] ? ,即 4sin(? ? ) ? 5 3 6 5 2 5 4 ? 3 ∴ cos ? ? , 又∵ ? ? [0, ] ,∴ sin ? ? …………………………………………8 分 5 2 5 5? 20 1 5? ? 20 5 由 f (3? ? ) ? ? 得 4sin[ (3? ? ) ? ] ? ? ,即 sin( ? ? ? ) ? ? 2 13 3 2 6 13 13 5 ? 12 ∴ sin ? ? , 又∵ ? ? [0, ] ,∴ cos ? ? …………………………………………10 分 13 2 13 4 12 3 5 63 从而 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ………………12 分 ? ? ? 5 13 5 13 65
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)用 (a, b) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次取到球的编号)表示先后二 次取球构成的基本事件,则基本事件有:(1, 2) ,(1,3) ,(1, 4) ,(2,1) ,(2,3) ,(2, 4) ,(3,1) ,

2? 2? 1 ? ? , …………………………………………………2 分 T 6? 3

(3, 2) , (3, 4) , (4,1) , (4, 2) , (4,3) ,共 12 个………………………………3 分
设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A , 则事件 A 包含的基本事件有: (2,1) , (2, 4) , (4, 2) ,共有 3 个; ……………………5 分

? P( A) ?

3 1 ? 12 4

………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)基本事件有: (1,1) , (1, 2) , (1,3) , (1, 4) , (2,1) , (2, 2) , (2,3) , (2, 4) , (3,1) ,

-5-

(3, 2) , (3,3) , (3, 4) , (4,1) , (4, 2) , (4,3) , (4, 4) ,共 16 个……………………8 分
设“直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 由题意知:

1 有公共点”为事件 B , 16
2

1 a ?b
2 2

?

1 4

即 a ? b ? 16
2

则事件 B 包含的基本事件有:(1, 4) ,(2, 4) ,(3,3) ,(3, 4) ,(4,1) ,(4, 2) ,(4,3) ,(4, 4) , 共有 8 个; …………………………………………………………………………………11 分

? P( B) ?

8 1 ? 16 2

………………………………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD , AC ,设 BD ? AC ? O ,连结 NO ? ABCD 是平行四边形 ? O 是 BD 中点,在 ?PBD 中,又 N 是 PB 中点 ? PD // NO …………………………………………………3 分 又 NO ? 平面 ANC , PD ? 平面 ANC ? PD / / 平面 ANC ……………………………………4 分 (Ⅱ)?底面 ABCD 为平行四边形,? AD / / BC

P M D C N

? BC ? 平面 ADMN , AD ? 平面 ADMN ? BC / / 平面 ADMN ………………………………………6 分
因平面 PBC ? 平面 ADMN ? MN

O
A B

? BC // MN ……………………………………………………………………………………7 分
又 N 是 PB 中点 ? M 是 PC 中点………………………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)? PA ? AB , N 是 PB 中点 ? PB ? AN …………………………………………………………………………………9 分

? BC ? BD, AD // BC , ? AD ? BD ? PD ? 底面 ABCD , AD ? 底面 ABCD , ? PD ? AD ,? PD ? BD ? D ? AD ? 面 PBD ? PB ? AD ………………………………………………………………………………11 分 ? AD ? AN ? A ? PB ? 面 ADMN ? PB ? 面 PBC ?平面 PBC ⊥平面 ADMN ………………………………………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f (x) ? ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1, 0) , 依题意,得 g(1) ? a ? b ? 0 ① …………………………………………………1 分

-6-

又 f ?(x) ? 1 , g?(x) ? a ? b2 , ? f (x) 与 g(x) 在点 (1, 0) 处有公切线,

x ∴ g ?(1) ? f ?(1) ? 1 即 a ? b ? 1 ② ………………………………………………4 分 由①、②得 a ? 1 , b ? ? 1 ……………………………………………………5 分 2 2 (Ⅱ)令 F(x) ? f (x) ? g(x) ,则 F(x) ? ln x ? (1 x ? 1 ) ? ln x ? 1 x ? 1 2 2x 2 2x ∴ F?(x) ? 1 ? 1 ? 1 2 ? ? 1 ( 1 ? 1)2 ? 0 x 2 2x 2 x ∴ F (x) 在 (0, ? ?) 上为减函数………………………………………………………………6 分 当 0 ? x ? 1时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ; 当 x ? 1 时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ; 当 x ? 1 时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) . 综上可知,当 0 ? x ? 1时,即 f (x) ? g(x) ;当 x ? 1 时,即 f (x) ? g(x) .………………12 分
21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由题意可知, a ? 0 ①当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 36 a, S 6 ? 6a, S12 ? S 6 ? 6a , 此时不满足条件 12 S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列;…………………………………………1 分 ②当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 12 ?

x

a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 6 ) a(1 ? q 12 ) a(1 ? q 6 ) , S6 ? , S12 ? S 6 ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 12 ) a(1 ? q 6 ) a(1 ? q 6 ) 2 [ ? ]?[ ] 由题意得: 12 ? 1? q 1? q 1? q 1? q
化简整理得: (4q ? 1)(3q ? 1)(1 ? q )(1 ? q ) ? 0
3 3 3 6

解得: q ? ?
3

1 1 , 或 q 3 ? , 或 q ? ?1 ………………………………………………………4 分 4 3

当 q ? ?1 时, a1 ? 3a4 ? ?2a , 2a7 ? 2a ,? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,不满足条件; 当q ? ?
3

1 a a 3 6 时, a1 ? 3a4 ? a(1 ? 3q ) ? , 2(2a7 ) ? 4aq ? , 4 4 4
3

即? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,所以当 q ? ? 当q ?
3

2 时,满足条件 2

1 4a 3 6 时, a1 ? 3a4 ? a(1 ? 3q ) ? 2a , 2(2a7 ) ? 4aq ? 3 9 1 ? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,从而当 q 3 ? 时,不满足条件 3
3

综上,当 q ? ?

2 时,使得 a1 ,2a 7 ,3a 4 成等差数列.……………………………………8 分 2

-7-

1 4 1 1 2 1 1 所以 Tn ? a ? 2 ? (? )a ? 3 ? (? ) a ? ? ? (n ? 1)( ? ) n ?2 a ? n(? ) n ?1 a …………① 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 则 ? Tn ? (? )a ? 2 ? (? ) 2 a ? 3 ? (? ) 3 a ? ? ? (n ? 1)( ? ) n ?1 a ? n(? ) n a …② 4 4 4 4 4 4 5 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? a ? (? )a ? (? ) 2 a ? (? )3 a ? ? ? (? ) n?1 a ? n(? ) n a 4 4 4 4 4 4 4 4 1 ? a ? ( ? n)( ? ) n a 5 5 4 16 16 4 1 所以 Tn ? a ? ( ? n)( ? ) n a .……………………………………………………13 分 25 25 5 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: na3n ?2 ? n(? ) n ?1 a 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 C ( x, y ) ,∵ ?ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,

? AC ? AB ? BC ? 2 ? 2 2 ,又 AB ? 2 ,? AC ? BC ? 2 2 ? 2 ……………2 分
根据椭圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 A 、B 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆(除去与 x 轴的两个 交点). 从而 a ? ∴W :

2, c ? 1 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1
………………………………………………………………4 分
2

x2 ? y 2 ? 1, ( y ? 0) 2

(Ⅱ)假设存在点 P 满足题意,则点 P 为抛物线 y ? 4 x 与曲线 W : 点,

x2 ? y 2 ? 1, ( y ? 0) 的交 2

? y 2 ? 4x 2 ? 2 由?x 消去 y 得: x ? 8x ? 2 ? 0 2 ? 2 ? y ? 1( y ? 0) ?
解得 x ? 3 2 ? 4 , x ? ?3 2 ? 4 (舍去)

………………………………………6 分

由 x ? 3 2 ? 4 代人抛物线的方程得 y ? ?2 3 2 ? 4 所以存在两个点 (3 2 ? 4, 2 3 2 ? 4) 和 (3 2 ? 4, ?2 3 2 ? 4) 满足题意.…………8 分

(Ⅲ)设 E ( x, y ) ,则

x2 ? y 2 ? 1, ( y ? 0) ? x 2 ? 2 ? 2 y 2 ( ?1 ? y ? 1 ,且 y ? 0 ) 2

ME ? x 2 ? ( y ? m) 2 ? 2 ? 2 y 2 ? ( y ? m) 2 ? ?( y ? m) 2 ? 2m 2 ? 2 ……………10 分
若 ?m ? ?1 即 m ? 1时,在 y ? ?1 时, ME max ?

m 2 ? 2m ? 1 ? m ? 1 ; 2m 2 ? 2 ………………13 分

若 ?1 ? ?m ? 0 即 0 ? m ? 1 时,在 y ? ?m 时, ME max ?

-8-


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