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2014版高考数学一轮总复习 第25讲 三角函数的模型及应用课件 理 新人教A版

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1.从实际问题中抽象出一个或几个三角形, 通过正、余弦定理解这些三角形,得到所求 的量,从而得到实际问题的解. 2.将实际问题转化为三角函数y ? Asin(? x ? ? )模型, 利用三角函数知识,得到实际问题的解.

解斜三角形知识在生产实践中有着极为广泛的 应用,如测量、航海、几何、物理等方面都要用到 解三角形的知识.解斜三角形有关的实际问题的思 维过程可以用下图表示:

解斜三角形应用题的一般步骤是: ①分析:准确理解题意,分清已知与所求,尤其要 理解应用题中的有关名词术语,如坡度、仰角、俯 角、视角、方向角、方位角等,必要时,画出示意

图,化实际问题为数学问题;
②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求 解量尽量集中在有关三角形中,建立一个解斜三角 形的数学模型;

③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形,求得数学模型的解;

④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从
而得出实际问题的解.

解斜三角形应用题常有以下几种情形: ①实际问题经抽象概括后,已知与未知量全部集中 在一个三角形中,一次可用正弦定理或余弦定理解 之;

②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两
个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个 三角形中求出问题的解;

③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个, 但由题目已知条件解此三角形,需连续使用正弦定

理或余弦定理.
运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题,要抓

住条件和待求式子的特点,恰当地选择定理.运用
正弦定理一般是将边转化为角,而条件中给出三边 关系的往往考虑用余弦定理求解.

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的 π 距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s=6sin(2πt+6),那么单 摆来回摆动一次所需的时间为( A.2π s C.0.5 s B. π s D.1 s )

2π 【解析】T=2π=1,故选 D.

2.有一长为 100 米的斜坡,它的倾斜角为 45° ,现要把 倾斜角改为 30° ,则坡底需伸长 50( 6- 2) 米.

【解析】 坡的倾斜角即为坡度,依题意知,该坡的高度不 变,即仍为 50 2,当坡的倾斜角变为 30° 时,坡底的长度为 50 6,所以坡度改后,坡底伸长了 50( 6- 2)米.

3.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的 俯角分别是 30° 、60° ,则塔高为( 400 A. 米 3 200 3 C. 米 3 )

400 3 B. 米 3 200 D. 米 3

【解析】画出示意图(如图),由题意可知,∠DAC=60° , ∠OAC=∠DAB=30° , 在△AOC 中,AO=200, 200 3 所以 OC= 3 , 200 3 而 AD=OC= 3 , 200 3 3 200 在△ABD 中,BD= 3 × 3 = 3 , 200 400 因此塔高为 200- 3 = 3 (米),故选 A.

4.函数 y=xsinx 在 x=θ 处取得极值, 则(1+θ2)(1+cos2θ)= 2

.

【解析】f′(x)=sinx+xcosx, sinθ 由题意,f′(θ)=sinθ+θcosθ=0,所以 θ=-cosθ, sin2θ 所以(1+θ2)(1+cos2θ)=(1+cos2θ)· 2θ=2. 2cos



解三角形的实际应用题

【例 1】如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的 平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间 距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果 精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

【解析】在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = . sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= sin15° = 20 , 3 2+ 6 因此,BD= 20 ≈0.33. 故 B,D 的距离约为 0.33 km.

【点评】距离问题是测量中最为常见的问题之一,一般地, 要求的距离都无法直接测量, 通常的做法是选择适当的基线, 把要求的量转化到相关的三角形中,通过正弦、余弦定理求 解.

素材1

如图,为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方 向在 A,B 两点进行测量.A,B,M,N 在同一个铅垂平面 内(如图所示),飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距 离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母 表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的 距离的步骤.

【解析】①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角分别为 α1,β1;B 点到 M,N 点的俯角分别为 α2,β2;A,B 的距离 d.

dsinα2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理得 AM= ; sin?α1+α2? dsinβ2 第二步:计算 AN.由正弦定理得 AN= ; sin?β2-β1? 第三步:计算 MN.由余弦定理得 MN= AM2+AN2-2AM· ANcos?α1-β1?.



三角函数的实际应用题
【例 2】如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的

一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y=Asinωx(A>0, ω>0), x∈[0,4] 的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部 分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定 ∠MNP=120° .

(1)求 A ,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

T 【解析】方法 1:(1)依题意,有 A=2 3, 4 =3. 2π π π 又 T= ω ,所以 ω=6.所以 y=2 3sin6x. 2π 当 x=4 时,y=2 3sin 3 =3, 所以 M(4,3). 又 P(8,0),所以 MP= 42+32=5.

(2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5. 连接 MP,设∠PMN=θ,则 0°<θ<60°.

MP NP MN 由正弦定理得sin120° sinθ= = . sin?60° -θ?

10 3 10 3 所以 NP= 3 sinθ,MN= 3 sin(60° -θ), 10 3 10 3 故 NP+MN= 3 sinθ+ 3 sin(60° -θ) 10 3 1 3 = 3 (2sinθ+ 2 cosθ) 10 3 = 3 sin(θ+60° ). 因为 0°<θ<60°,所以,当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长.

【点评】(1)本题第(2)问求解的关键是:①认真分析问题,把实 际问题中折线段赛道 MNP 的长转化为△MNP 的两边 MN 与 NP 的边长之和;②选取参数∠PMN=θ,利用正弦定理表示出 MN 和 NP 的值. (2)在解题中要对限制条件 θ∈(0° ,60° )给予足够的重视.

素材2

以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场 销售价格时发现: 信息 1: 该商品出厂价格是在 6 元的基础上按月份随正弦 曲线波动的.已知 3 月份出厂价格最高,为 8 元,7 月份出厂 价格最低,为 4 元. 信息 2:该商品在市场销售价格是在 8 元的基础上,按月 份也是随正弦曲线波动的.已知 5 月份销售价格最高,为 10 元,9 月份销售价格最低,为 6 元. (1)根据上述信息 1 和 2,求该商品的出厂价格 y1 和销售 价格 y2 与月份 x 之间的函数关系式; (2)若某经销商每月购进该商品 m 件,且当月能售完,则 在几月份盈利最大?并说明理由.

【解析】 (1)依据信息 1、2 可知,该商品的出厂价格 y1 和销售价格 y2 与月份 x 之间的关系都满足正弦曲线, 故可设 y1=A1sin(ω1x+φ1)+B1,2=A2sin(ω2x+φ2)+B2, y 8+4 依题意,得 B1= 2 =6,A1=2,T=2(7-3)=8, 2π π π 所以 ω1= T =4.所以 y1=2sin(4x+φ1)+6.

π π 将点(3,8)代入函数 y1=2sin(4x+φ1)+6 得, 1=-4, φ π π 所以 y1=2sin(4x-4)+6. 3π π 同理,可得 y2=2sin(4x- 4 )+8.

(2)因为利润函数是 y=m(y2-y1) π 3π π π =m[2sin(4x- 4 )+8-2sin(4x-4)-6] π =m[2-2 2sin(4x)], 所以当 x=6,即 6 月份时,利润达到最大.

【点评】 用待定系数法求出 y=Asin(ωx+φ)+B 的函数关 系,是解题的关键.



解三角形与函数、不等式的综合应用题

【例 3】 为了竖一块广告牌, 要 制造三角形支架, 如图. 要求∠ACB =60° ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了广告牌稳固, 要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时, BC 的长度为多少米?

【分析】在△ABC 中,已知 c,b 的关系,再结合余弦定 理,可得 BC=a 的函数表达式,然后利用基本不等式可求 其最值.

1 【解析】设 BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=2, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos60° , 1 12 2 2 将 c=b-2代入得:(b-2) =a +b -ab, 1 化简得 b(a-1)=a -4,因为 a>1,所以 a-1>0,
2

1 3 2 a -4 ?a-1? +2a-2+4 所以 b= = a-1 a-1
2

3 =(a-1)+ +2≥ 3+2. 4?a-1?

3 当且仅当 a-1= 时取“=”号, 4?a-1? 3 即 a=1+ 2 时,b 有最小值 2+ 3, 3 答:AC 最短为(2+ 3)米,此时 BC 长为(1+ 2 )米.

【点评】先建立 AC 长度的目标函数,再根据目标函数, 求最值.

素材3

如图,有两条相交成 60° 的直线 xx′,yy′,其交点

为 O,甲、乙两辆汽车分别在 xx′、yy′上行驶,起初甲离 O 点 30 km, 乙离 O 点 10 km, 后来两车均以 60 km/h 的速度行驶, 且甲沿 xx′方向,乙沿 yy′方向行驶.求: (1)起初两车的距离是多少? (2)t 小时后两车的距离是多少? (3)何时两车的距离最短?

【解析】(1)设甲、乙两车最初的位置为 A、B, 则|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|· |OB|cos60° =700, 故|AB|=10 7 km.

(2)设甲、乙两车 t 小时后的位置分别为 P、Q, 则|AP|=60t,|BQ|=60t. 1 当 0≤t≤2时,|PQ|2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30 -60t)(10+60t)cos60° ; 1 当 t>2时,|PQ|2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t- 30)(10+60t)cos120° . 上面两式可统一为:|PQ|2=10800t2-3600t+700, 即|PQ|=10 108t2-36t+7.

(3)因为|PQ|=10 108t -36t+7=10

2

12 108?t-6? +4,

1 故当 t=6时,即在第 10 分钟末时,两车距离最短.

备选例题

某昆虫种群数量在 1 月 1 日时低至 700 只,而在当年 7 月 1 日时高达 900 只,其数量在这两个值之间按正弦曲 线呈规律性变化. (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数解析式, 以月为 t 单位; (2)画出种群数量 y 关于时间 t 的函数图象.

【解析】 (1)设所求的函数解析式为 y=Asin(ωt+φ)+ 700+900 2π B(A>0),则 B= =800,A=100,且 T=12= ω , 2 π 所以 ω=6,因为图象过点(1,700), π 故有 100sin(6×1+φ)+800=700, 2π π π 所以6×1+φ=2kπ-2,得 φ=2kπ- 3 ,k∈Z. 2π 取绝对值最小的,故 φ=- 3 . π 2π 所以所求的函数解析式为 y=100sin(6t- 3 )+800.

(2)其图象为:

面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型

是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就
像前面的几个例题,在读题时把问题提供的“条

件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程
就是数学建模的过程,在高考中,将实际问题转 化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出

三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函
数的性质进行解题.


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