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湖南省长沙市2013届高三高考模拟数学(理)试题 Word版含答案

时间:2013-06-03


科目:数学(理科)
(试题卷)
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该 试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿 纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 3. 本试题卷共 5 页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则 后果自负。 4. 考试结束后,将本试题卷和答题一并交回。





准考证号

绝密★ 启用前

高考湘军

2013 年长沙市高考模拟试卷(一)

数 学(理科)
长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分:150 分 时量:120 分钟

说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 z 是复数,i 是虚数单位, ?1 ? i ? z 在复平面中对应的点为 P,若 P 对应的复数是模 等于 2 的负实数,那么 z ? A. ?1 ? i B. ?1 ? i 2.已知不等式
ma a ? 2b
7 7

C. 1 ? i

D. ? i
b x
2

x?2 ax ? b

? 0 的解集为 ?1, 2 , m 是二项式 ( ax ?

?

?

) 的展开式的常数项,那么

6

?

A. ? 15
2 2

B. ? 5

C. ? 5a

D. 5

3.以双曲线

x y x ? ? 1 的离心率为首项,以函数 f ?x ? ? 4 ? 2 的零点为公比的等比数列 4 5

的前 n 项的和 S n ? A. 3 ? ?2n ? 1? ?

3 2

B. 3 ?

3 2n

C.

2 n ?1 2 ? 3 3

D.

4 2n ? 3 3

4.已知几何体 M 的正视图是一个面积为 2 ? 的半圆,俯视图是正三角形,那么这个几何体 的表面积和体积为 A.6 ? 和
正 视 图

4 3 3

?

B.6 ? +4 3 和 8 3
3

?

侧 视 图

C.6 ? +4 3 和 4 3 ? D.4( ? + 3 )和 4 3 3 3 5.执行下列的程序框图,输出的 s ?
开始

?

俯 视 图 结束 输出 s

S=0

i=1

a=100- (i MOD 100) B.10100

s=s+a C.5050

i=i+1 D.4950

i >200?




A.9900
2

6.与抛物线 y ? 8x 相切倾斜角为1350 的直线 L 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么 过 A、B 两点的最小圆截抛物线 y ? 8x 的准线所得的弦长为
2

A.4

B.2 2

C.2

D. 2

7.已知直线 l 与平面 ? 平行,P 是直线 l 上的一点,平面 ? 内的动点 B 满足:PB 与直线 l 成 60 。那么 B 点轨迹是 A..双曲线 8.使得函数 f ? x ? ? B.椭圆 C.抛物线 D.两直线
0

1 2 4 7 x ? x ? ?a ? x ? b ? 的值域为 ?a, b??a ? b? 的实数对 ?a, b ? 5 5 5

有( )对 A.1 B.2 C.3 D.无数 二.填空题:(每大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中 的横线上)选做题(从 13 题、14 题和 15 题中选两题作答,全做则按前两题记分)

? 9.G ?x ? 表示函数 y ? 2 cos x ? 3 的导数,在区间 ?? , ? ? 上,随机取值 a , G?a ? ? 1 的概率 ? 3 ? ? ? 为 ; ? ? ? 10.已知向量 a ? ?x, y? , b ? ?x ? 2,1? ,设集合 P ? x | a ? b , Q ? x | b ? 5 ,当

?

?

?

?

x ? P ? Q 时, y 的取值范围是
11.计算:



? 1? x ?

2?

2

1? ? ? dx ? _____________; x?

12.从正方体的各表面对角线中随机取两条,这两条表面对角线成的角的度数的数学期望 为 ;

13. (极坐标和参数方程 4-4)极坐标系中,质点 P 自极点出发作直线运动到达圆:

? ? 4 cos? ? 0 的圆心位置后顺时针方向旋转 60o 后直线方向到达圆周 ? ? 4 cos? ? 0
上,此时 P 点的极坐标为 ; P E A C O1 ; D O2 M B 14. (几何证明 4-1)已知⊙ 1 和⊙ 2 交于点 C 和 D, O O ⊙ 1 上的点 P 处的切线交⊙ 2 于 A、B 点,交直 O O 线 CD 于点 E,M 是⊙ 2 上的一点,若 PE=2, O EA=1, ? AMB=30o,那么⊙ 2 的半径为 O

15.(不等式 4-5)已知 x ? 0, y ? 0, z ? 0, x ? 2 y ? 3z ? 3 ,那么 ( x ? 1 ) 2 ? (2 y ? 1 ) 2 ? (3z ? 1 ) 2 的 4y 6z 2x 最小值为 16. 方程 ; ,

x2 y 2 + =1( a, b ?{1, 3, …, 2, 4, 2013})的曲线中, 所有圆面积的和等于 a b
.

离心率最小的椭圆方程为

三、解答题: (前三题各 12 分,后三道题各 13 分,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.函数 f ? x ? ? 6 cos
2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3?? ? 0? 在一个周期内的图像如

图所示,A 为图像的最高点,B.C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角 形. (1)若 x ? ?0,1? ,求函数 f ?x ? 的值域; (2)若 f ?x0 ? ? 8 3 ,且 x0 ? ? ? 10 , 2 ? ,求 f ?x0 ? 1? 的值. ? ? 5 ? 3 3?

18.如图一,△ABC 是正三角形,△ABD 是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD 沿边 AB 折起, 使得△ABD 与△ABC 成 30o 的二面角 D ? AB ? C ,如图二,在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。 A A

C D B
图二

C

B
图一

D

19.某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定 对这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,根据市场调查,当 16 ? x ? 24 时,这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日 需 量 q 万 千 克 近 似 地 满 足 关 系 : p ? 2 ? x ? 4t ? 14? , ? x ? 16, t ? 0? ,
q ? 24 ? 8 ln 20 x , ?16 ? x ? 24 ? 。当

p ? q 市场价格称为市场平衡价格。

(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为每千克多少元?

20.设命题 p:函数 f ? x ? ?

(a ? 5) x ? b 在 ?0,??? 上是增函数;命题 q:方程 x 2 ? ax ? b ? 2 ? 0 有 x ?1

两个不相等的负实数根。求使得 p ? q 是真命题的实数对 ?a, b ? 为坐标的点的轨迹图形及其 面积。

21.已知 A( ,0) ,点 B 是 y 轴上的动点,过 B 作 AB 的垂线 l 交 x 轴于点 Q,若

1 4

AP ? AQ ? 2 AB , M ?4,0? .
(1)求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在定直线 x ? a ,以 PM 为直径的圆与直线 x ? a 的相交弦长为定值,若存在, 求出定直线方程;若不存在,请说明理由。 B Q O A x y

22.(1)已知 a ? b ? c ? 1, a, b, c ? ?0,??? ,求证: a log3 a ? b log3 b ? c log3 c ? ?1 ; (2)已知 a1

? a2 ? ? ? a3n ? 1 , a i >0(i=1,2,3,…,3n),求证:

a1 log3 a1 + a2 log3 a2 + a3 log3 a3 +…+ a3n log3 a3n ? ?n

2013 年长沙市高考数学模拟试卷 (一)

数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 B

6 C

7 A

8 B

二.填空题:(每大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中 的横线上) 9.

7 8

10.

(-8,1] 14. 3

11.

13. (2 3 ,

5? ) 6

7 ? ln 2 3
15.

12. 600

27 4

16. 2027091 ? ;

x2 y2 x2 y2 + =1 和 + =1, 2013 2012 2 0 1 2 2013

三、解答题: (前三题各 12 分,后三道题各 13 分,满分 75 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.解(1)由已知得: f ?x ? ? 3 cos?x ? 3 sin ?x ? 2 3 sin? ?x ? ? ? ? ? 3? ? 又 ?ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ?x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

? , ?? ?? f ?x ? ? 2 3 sin? x ? ? .
4
?4 3?

因为 x ? ?0,1? ,所以 ? ? ? x ? ? ? 7? ,3 ? f ?x ? ? 2 3 . 3 4 3 12 函数 f ?x ? 的值域为 3,2 3 ………………………6 分 (2)因为 f ?x0 ? ? 8 3 ,有 f ( x0 ) ? 2 3sin ( ?x0 ? ? ) ? 8 3 , 即s i n?x0 ? ? ) ? 4 ( 4 3 5 4 3 5 5
2 由 x0 ? ? 10, ),得( ?x 0 ? ? ) ? (? ? , ? ) ( 3 3 4 3 2 2

?

?

所以, 即cos( ?x0 ? ? ) ? 1 ? ( 4 ) 2 ? 3
4 3 5 5

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?x0
4

?
?

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

?

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2
?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

7 6 ………………………………………………12 分 5

18. 解: 依题意, ? ABD=90o ,建立如图的坐标系使得△ABC 在 yoz 平面上,? △ABD 与 △ABC 成 30o 的二面角, ? ? DBY=30o,又 AB=BD=2, ? A(0,0,2),B(0,0,0), C(0, 3 ,1),D(1, 3 ,0), (1)|CD|= (1 ? 0) ? ( 3 ? 3 ) ? (0 ? 1) = 2 ……… 5 分
2 2 2

z

A (2)? x 轴与面 ABC 垂直,故(1,0,0)是面 ABC 的一个法向量。 设 CD 与面 ABC 成的角为 ? ,而 CD = (1,0,-1),

? sin ? =

| (1,0,0) ? (1,0,?1) | 12 ? 02 ? 02 12 ? 02 ? (?1)2

C =

2 2
x

B D

y

? ? ? [0,

? ? ],? ? = ;…………………8 分 2 4

(3) 设 AH =t AD = t(1, 3 ,-2)= (t, 3 t,-2 t),

CH = CA + AH =(0,- 3 ,1) +(t, 3 t,-2 t) = (t, 3 t- 3 ,-2 t+1),
若 CH ? BA ,则 (t, 3 t- 3 ,-2 t+1)· (0,0,2)=0 得 t=

1 , ……………10 分 2

此时 CH =(

1 3 ,,0), 2 2

BD 而 BD =(1, 3 ,0), CH · =

1 3 - =-1 ? 0,? CH 和 BD 不垂直, 2 2
20 (16≤x≤24 ,t>0) 。 x

即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA,即 CH 不与面 ABD 垂直。…………………12 分 19. 解: (1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln t=

20 13 1 - x+ ln (16≤x≤24) 。 …………………3 分 2 4 x 1 1 ? t′=- - <0,? t 是 x 的减函数。 4 x 20 1 20 1 5 13 1 ……………………5 分 ? tmin= - ? 24+ ln = +ln = + ln ; 24 2 24 2 6 2 4 20 5 5 1 5 5 5 13 1 tmax= - ? 16+ ln = + ln , ? 值域为[ + ln , + ln ] ………7 分 16 2 4 2 6 2 4 2 4 20 13 1 (2)由(1) t= - x+ ln (16≤x≤24) 。 2 4 x 20 13 1 而 x=20 时,t= - ? 20 + ln =1.5(元/千克) …………………9 分 20 2 4 ? t 是 x 的减函数。欲使 x ? 20,必须 t ? 1.5(元/千克)
要使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为 1.5 元/千克。……12 分 20. 解:? f(x) =

( a ? 5) x ? b a?5?b ,p 真 ? f ′(x)= >0 x ?1 ( x ? 1) 2

对于 x ? (0,+ ? )成立 ? a-b+5>0。

?a ? 0 ? q 真 ? 方程 x2-ax+b-2=0 有两个不相等的负实数根 ? ?b ? 2 ? 0 …………4 分 ?a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ?

?a ? 0 ?b ? 2 ? 0 ? p ? q 是真命题 ? p 真且 q 真 ? ? ?a ? b ? 5 ? 0 ?a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ?

b

P A B o a

实数对(a,b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8 分 解: ?

?a ? b ? 5 ? 0 ?a ? 4b ? 8 ? 0
2

得 a1= -2,a2= 6, 解 ?

?a ? b ? 5 ? 0 得 a= -3; ?b ? 2

? (a,b)为坐标的点的轨迹图形的面积:
S=

?

?2

?3

(a ? 5 ? 2)da + ? (
?2

0

2 ?2 0 a a2 ? 2 ? 2)da = ? (a ? 3)da + ? da …………11 分 ?2 4 ?3 4

1 2 1 30 7 a +3a)| ?2 + a | ? 2 = ………………………………13 分 y ?3 2 6 12 1 21. 解: (1)设 B(0,t),设 Q(m,0),t2= |m|,? m ? 0,m=-4t2, B 4 1 Q O A x ? Q(-4t2,0),设 P(x,y),则 AP =(x- ,y), 4 1 1 AQ =(-4t2- ,0),2 AB =(- ,2 t), ? AP + AQ =2 AB 。 4 2 1 1 1 ? (x- ,y)+ (-4t2- ,0)= (- ,2 t), 4 4 2 2 2 ? x=4t ,y=2 t,? y =x,此即点 P 的轨迹方程;…………………6 分。 (2)由(1),点 P 的轨迹方程是 y2=x;设 P(y2,y),? M (4,0) ,则以 PM 为直径的圆的
=( 圆心即 PM 的中点 T(

y2 ? 4 y , ), 以 PM 为直径的圆与直线 x=a 的相交弦长: 2 2

L=2 (

y2 ? 4 y y2 ? 4 ? 4) 2 ? ( ? 0) 2 ? ( ? a) 2 2 2 2
15 y2 =2 (a ? ) y 2 ? a(a ? 4) ……………10 分 4 4

=2 (a ? 4)( y 2 ? a) ?

若 a 为常数,则对于任意实数 y,L 为定值的条件是 a-

15 15 =0, 即 a= 时,L= 15 4 4

? 存在定直线 x=

15 15 ,以 PM 为直径的圆与直线 x= 的相交弦长为定值 15 。……13 分 4 4 22. 解: (1)证明:? a+b+c=1,a、b、c∈ (0,+∞),

? alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a) 1? b 1? b 那么 f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b),当 a∈ (0, )时 f ′ (a)<0,当 a∈ ( ,1)时 f ′ (a)>0, 2 2 1? b 1? b ]上递减,在[ ,1) 上递增; ? f(a)在(0, 2 2 1? b 1? b 1? b )=(1-b) log3 + blog3b,记 g(b)= (1-b) log3 + blog3b,………3 分 ? f(a)≥f( 2 2 2 1? b 1 1 得:g′(b)= log3b-log3 ,当 b∈ (0, )时 g′(b) <0,当 b∈ ,1)时,g′(b) >0, ( 3 3 2 1 1 1 ? g(b)在(0, )递减,在( ,1)上递增;? g(b)≥g( )=-1。 3 3 3 1 alog3a+blog3b+clog3c≥-1 当 a=b=c= 时等号成立。……………………5 分 3
(2)证明:n=1 时, a1 + a2 + a3 =1, a i >0(i=1,2,3),由(1)知

a1 l o g a1 + a2 log3 a2 + a3 log3 a3 ≥-1 成立,即 n=1 时,结论成立。 3
设 n=k 时结论成立,即 a1 + a2 +…+ a3k =1, a i >0(i=1,2,3,…,3k)时

a1 log3 a1 + a2 log3 a2 + a3 log3 a3 +…+ a3k log3 a3k ≥-k.
那么,n=k+1 时,若 a1 + a2 +…+ a3k + a3k ?1 +…+ a3k ?1 =1, a i >0(i=1,2,3,…,3k+1)时, 令 a3k ?1 +…+ a3k ?1 =t,则

ak a1 a + 2 +…+ 3 =1,由归纳假设: 1? t 1? t 1? t

ak ak a1 a a a l o g 1 + 2 log3 2 +…+ 3 log3 3 ≥-k.……………… 8 分 3 1? t 1? t 1? t 1? t 1? t 1? t

? a1 log3 a1 + a2 log3 a2 + a3 log3 a3 +…+ a3k log3 a3k -(1-t) log3 (1-t) ≥-k(1-t). ? a1 log3 a1 + a2 log3 a2 + a3 log3 a3 +…+ a3k log3 a3k ≥-k(1-t)+ (1-t) log3 (1-t)…(1)
设 a2?3k ?1 +…+ a3k ?1 =s,则 a3k ?1 +…+ a2?3k =t-s,

a3 k ?1 t?s

+

a3 k ? 2 t?s

+…+

a2?3 k t?s

=1,

由归纳假设:

a3 k ?1 t?s

log3

a3 k ?1 t?s

+

a3 k ? 2 t?s

log3

a3 k ? 2 t?s

+…+

a2?3 k t?s

log3

a2?3 k t?s

≥-k.

? a3k ?1 log3 a3k ?1 + a3k ? 2 log3 a3k ? 2 +…+ a2?3k log3 a2?3k ≥-k(t-s)+ (t-s) log3 (t-s)
………(2)………………10 分

? a2?3

k

+…+ a3k ?1 =s,? ?1

a 2 ? 3 k ?1 s

+

a2 ? 3 k ? 2 s

+…+

a3 k ?1 s

=1;由归纳假设同理可得:

a2?3k ?1 l o g a2?3k ?1 + a2?3k ? 2 log3 a2?3k ? 2 +…+ a3k ?1 log3 a3k ?1 3
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得:

≥-ks+ s log3 s

……(3)

a1 l o g a1 + a2 log3 a2 +…+ a3k log3 a3k +…+ a2?3k log3 a2?3k +…+ a3k ?1 log3 a3k ?1 3
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log3 (1-t)+ (t-s) log3 (t-s) + s log3 s

而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。? (1-t) log3 (1-t)+ (t-s) log3 (t-s) + s log3 s≥-1。

? -k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log3 (1-t)+ (t-s) log3 (t-s) + s log3 s≥-k-1=-(k+1)。
? a1 log3 a1 + a2 log3 a2 +…+ a3k log3 a3k +…+ a3k ?1 log3 a3k ?1 ≥-(k+1)。 ? n=k+1 时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。…………………………13 分


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