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【K12学习】人教A版高一必修3数学全册教案

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人教 A 版高一必修 3 数学全册教案
2 古典概型 2.1—3.2.2 古典概型及随机数的产生 一、教学目标: 知识与技能:正确理解古典概型的两大特点:1)试验 中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件 出现的可能性相等; 掌握古典概型的概率计算公式:P= 了解随机数的概念; 利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。 过程与方法:通过对现实生活中具体的概率问题的探 究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世 界的联系,培养逻辑推理能力;通过模拟试验,感知应用数 字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论于 实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:1、正确理解掌握古典概型及其概率 公式;2、正确理解随机数的概念,并能应用计算机产生随 机数. 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学 解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数字解决问题
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的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学设想: 创设情境:掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即
“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件。 一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,
3,…,10,从中任取一球,只有 10 种不同的结果,即标号 为 1,2,3…,10。
师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共 同特点?
基本概念: 基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见 课本 P121~126; 古典概型的概率计算公式:P=. 例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概 率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性, 因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即、……、 所以基本事件数 n=6, 事件 A==,
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其包含的基本事件数=3 所以,P====0.5 小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: 所有的基本事件必须是互斥的; 为事件 A 所包含的基本事件数,求值时,要做到不重不 漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品 中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取 出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切 可能的结果组成的基本事件有 6 个,即和,,,,,。其中 小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表 示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次 品”这一事件,则 A=[,,,] 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P== 例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为 次品: 如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次 取出的都是正品的概率; 如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析:为返回抽样;为不返回抽样.
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解:有放回地抽取 3 次,按抽取顺序记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 10×10×10=103 种;设事 件 A 为“连续 3 次都取正品”,则包含的基本事件共有 8×8 ×8=83 种,因此,P==0.512.
解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事 件不同,按抽取顺序记录,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能, z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设 事件 B 为“3 件都是正品”,则事件 B 包含的基本事件总数 为 8×7×6=336,所以 P=≈0.467.
解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺 序记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可 能,但,,,,,,是相同的,所以试验的所有结果有 10 ×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个 数为 8×7×6÷6=56,因此 P=≈0.467.
小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以 看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的, 但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致 错误.
例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随 机数。
解:具体操作如下: 键入
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反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验, 在日常生活中,有着广泛的应用。 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中 的概率是 40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概 率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出 现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我 们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率 为 40%。 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计 算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随机数。 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表 示未投中,这样可以体现投中的概率是 40%。因为是投篮三 次,所以每三个随机数作为一组。 例如:产生 20 组随机数: 12,932,569,683,271,989,730,537,925, 07,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两 个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三 次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
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小结:利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决 非古典概型的概率的求解问题。
对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的 时间太多,因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大 大节省时间。
随机函数 RANDBETEEN 产生从整数 a 到整数 b 的取整数 值的随机数。
例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 解:每次按 SHIFTRNA#键都会产生一个 0~1 之间的随机 数,而且出现 0~1 内任何一个数的可能性是相同的。 还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产 生随机数的方法。Scilab 中用 rand 函数来产生 0~1 之间的 随机数,每周用一次 rand 函数,就产生一个随机数,如果 要产生 a~b 之间的随机数,可以使用变换 rand*+a 得到. 课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题 时要注意两点: 古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的 等可能性。 古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P= 随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一
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些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比如现在 很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到 各个考场中。
自我评价与课堂练习: .在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30,从中任取一 根,取到长度超过 30 的纤维的概率是 A.B.c.D.以上都不对 .盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格 的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 A.B.c.D. .在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球, 若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率 是。 .抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 .利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机 数。 .用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模 拟掷硬币试验。 评价标准: .B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30,即 基本事件总数为 40,且它们是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为,因此选 B.]
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.c[提示:从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10, 其中抽到合格铁订包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P==. 本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一 个铁钉,取到合格品与取到不合格品恰为对立事件,因此, P=1-P=1-=.]
.[提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1, 白 2,白 3,则基本事件为:,,,,共 10 个,其中至少有 一个红球的事件包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率 为.本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对于 求“至多”“至少”等事件的概率头问题,常采用间接法, 即求其对立事件的概率 P,然后利用 P1-P 求解]。
解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点, 2 点,…,6 点 6 种不同的结果,我们把两颗骰子标上记号 1, 2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两颗骰 子的结果共有 6×6=36 种,在上面的所有结果中,向上的点 数之和为 8 的结果有,,,,5 种,所以,所求事件的概率 为.
.解:具体操作如下 键入 反复按键 10 次即可得到。 .解:具体操作如下: 键入
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作业:根据情况安排 3 几何概型 3.1--3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标: 知识与技能:正确理解几何概型的概念; 掌握几何概型的概率公式: P=; 会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种 概型是古典概型还是几何概型; 了解均匀随机数的概念; 掌握利用计算器产生均匀随机数的方法; 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 过程与方法:发现法教学,通过师生共同探究,体会数 学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知 识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力;通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好 习惯。 情感态度与价值观:本节课的主要特点是随机试验多, 学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点: 几何概型的概念、公式及应用; 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的
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实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学
习,感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻辑 推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体 教学.
四、教学设想: 创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只 考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必 须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时 间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格 中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试 验可能出现的结果都是无限多个。 基本概念:几何概率模型:如果每个事件发生的概率只 与构成该事件区域的长度成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型; 几何概型的概率公式: P=; 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果有无 限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等. 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,
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还是几何概型。 抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; 如课本 P132 图 3.3-1 中的所示,图中有一个转盘,甲 乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否 则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概 型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无 限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解:抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且 它们都是等可能的,因此属于古典概型; 游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发 现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总 面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客 车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等 车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能 用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概 型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班, 他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所 以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有 关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
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解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事 件 A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此 由几何概型的概率公式,得 P==,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为.
小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称 X 服从 [0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数.
练习:1.已知地铁列车每 10in 一班,在车站停 1in, 求乘客到达站台立即乘上车的概率。
.两根相距 6 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏 灯,求灯与两端距离都大于 2 的概率.
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P=; .记“灯与两端距离都大于 2”为事件 A,则 P==. 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架 储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概 率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看 作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域面积,有 几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P===0.004. 答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种
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子,从中随机取出 10 毫升,则取出的种子中含有麦诱病的 种子的概率是多少?
分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取 得的 10 毫克种子可视作构成事件的区域,1 升种子可视作试 验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。
解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件 记为 A,则
P===0.01. 答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3 的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不小于 1 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距 离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可 能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果对应[0,3]上的 均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置 与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1。这 样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事 件 A 发生的概率。 解法 1:利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均 匀随机数 a1=RAND. 经过伸缩变换,a=a1*3. 统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3]内随机数的
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个数 N. 计算频率 fn=即为概率 P 的近似值. 解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上
刻度[0,3].转动圆盘记下指针在[1,2]的次数 N1 及试验 总次数 N,则 fn=即为概率 P 的近似值.
小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基 本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法 2 用转盘 产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试 验次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生 大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短 时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有 更深刻的认识.
例 6 在长为 12c 的线段 AB 上任取一点,并以线段 A 为 边作正方形,求这个正方形的面积介于 36c2 与 81c2 之间的 概率.
分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12c 长的线段 AB 上任取一点,求使得 A 的长度介于 6c 与 9c 之间的概率.
解:用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. 经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. 统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 计算频率.
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记事件 A={面积介于 36c2 与 81c2 之间}={长度介于 6c 与 9c 之间},则 P 的近似值为 fn=.
课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率 模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用 条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比 例;
均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以 利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试 验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴 趣的量有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果 来确定这些量.
自我评价与课堂练习: .在 500l 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2l 水 样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 A.0.5B.0.4c.0.004D.不能确定 .平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行 线相碰的概率. .某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生, 若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主机会有多 大? .如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个
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区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一个正方形,向正方

形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统

计出落在区域 A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

评价标准:

.c

.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事

件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 o 向靠得最近的平

行线引垂线 o,垂足为,如图所示,这样线段 o 长度的取值

范围就是[o,a],只有当 r<o≤a 时硬币不与平行线相碰,

所以所求事件 A 的概率就是 P==

.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请

按照下面的步骤独立完成。

用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人;

用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录;

整理数据并填入下表

试验





50100150XX50300350400450500600650700750800850900100

01050

出现

的频数

出现

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的频率 利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。 .解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数, 它们分别表示随机点的坐标。如果一个点满足 y≤-x2+1,就 表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列相应地就填上 1,否则填 0。 xy 计数 0.5988950.9407940 0.5122840.1189611 0.4968410.7844170 0.1127960.6906341 0.3596000.3714411 0.1012600.6505121 ……… 0.9473860.9021270 0.1176180.3056731 0.5164650.2229071 0.5963930.9696950 作业:根据情况安排
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