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高中数学解析几何解题方法

时间:2018-08-18

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高考专题:解析几何常规题型及方法
本章节处理方法建议: 三、高考核心考点 四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面
(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 的轨迹方程。 分析:设 两式相减得 。 又设中点 P(x,y),将 , 代入,当 时得 , 代入方程得 , 。 给定双曲线 。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 及 ,求线段 的中点 P , ,代入方程,然后







代入得 当弦

。 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点



构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题

设 P(x,y)为椭圆

上任一点,



为焦点,





(1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
的最值。

(2)求 分析:(1)设



,由正弦定理得







e?

c s i n? ( ? ?) ? a sin ? ?sin ?
。 时,最小值是 ; 。

(2) 当

当 x ? ? a 时,最大值是

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合 的办法 典型例题 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 (1)证明:抛物线的准线为 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式, 则可建立目标函数 (通常利用二次函数, 三角函数, 均值不等式) 求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2) 首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。 解:(1)直线 L 的方程为: y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0 ? (x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得:

?

p p ?a?? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3 ?

x1 ? x 2 2

?a? p,

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=

2P , 所 以 S



NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 P 2。 2 2 2

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对 称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) ,? 2 , 2 A( 2 ),B( 2 )。因为 A、B 均在抛物线上,代入,消去 p,得:k2-k-1=0.解得: k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
/

k=

1? 5 2 5 ,p= . 2 5 1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

所以直线 L 的方程为:y=

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q (2, 0) 和圆 C: x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ| 的比等于常数 ? ( ? >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 分析: 如图, 设 MN 切圆 C 于点 N, 则动点 M 组成的集合是: P={M||MN|= ? |MQ|}, 由平面几何知识可知: |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 ,将 M 点坐标代入,可得: ( ? 2-1)(x2+y2)-4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0. 当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这 交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 ,椭圆 C 上有不同两 O Q N M

点关于直线对称。 分析:椭圆上两点 。 , ,代入方程,相减得







,代入得



又由

解得交点



交点在椭圆内,则有 (7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用

,得



来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题

已知直线 的斜率为 ,且过点

,抛物线

,直线 与抛物线 C 有两个不同的交

点(如图)。 (1)求 的取值范围; (2)直线 的倾斜角 为何值时,A、B 与抛物线 相垂直。 分析:(1 )直线 代入抛物线方程得

C 的焦点连线互
y B

, 由 ,得 。
P (-2,0)

A O x

(2)由上面方程得



,焦点为





,得



? ? arctan

2 2

或 ? ? ? ? arctan

2 2

B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条 件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 的值。 解: 圆 过原点,并且 , 设直线 与圆 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 ,求

是圆的直径,圆心的坐标为 又 在直线 上, 即为所求。 评注: 此题若不充分利用一系列几何条件: 该圆过原点并且 上,而是设 再由 和韦达定理求 , PQ 是圆的直径, 圆心在直线 ,将会增大运算量。

评注:此题若不能挖掘利用几何条件 计算量将很大,并且比较麻烦。

,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于 P、Q 两点,且 , ,

求此椭圆方程。 解:设椭圆方程为 ,直线 与椭圆相交于 P 、 两点。

由方程组

消去 后得

由 又 P、Q 在直线

,得 上,

(1)

把(1)代入,得 即 化简后,得 (4) 由 ,得



把(2)代入,得 代入(4)后,解得 由 ,得 或

,解得





所求椭圆方程为 评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 和 0 的交点,且圆心在直线 :

即 其圆心为 C( 又 C 在直线 上, )



,解得

,代入所设圆的方程得



所求。 评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角 代换法。 典型例题 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形 OAPB 面积的最大值 a 2 b2

及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 代入圆锥曲线方程中,得到型如

的方程,方程的两根设为



,判别式为△,则

△ ,若 1 ? k 2· |a|

直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线 被椭圆 所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 例 、 是椭圆 的两个焦点,AB 是经过 的弦,若 ,求值 | F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 的焦点,点 P 在抛物线 上移动,若 取得

最小值,求点 P 的坐标。


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