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【三维设计】高考数学总复习 课时跟踪检测44 直线、平面垂直的判定与性质

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课时跟踪检测(四十四)

直线、平面垂直的判定与性质

1.(2012·杭州模拟)设 a,b,c 是三条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则 a ⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α ,b∥α ) B.α ⊥β ,a? α ,b? β D.a⊥α ,b⊥α

2.设 α ,β ,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 α ⊥β ,β ⊥γ ,则 α ⊥γ ;②若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α ;③若 l ⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β ;④若 α ∥β ,l?β ,且 l∥α ,则 l∥β . 其中正确的命题是( A.①② B.②③ ) C.②④ D.③④

3.给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α ; (3)已知 α ,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m⊥ β ”的充要条件; (4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与 另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2013·济南模拟)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 C.直线 AC 上 B.直线 BC 上 D.△ABC 内部 ) )

5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的 平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现 有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段

BC 的长.其中正确的是(
A.①②

) D.②③

B.①②③ C.①

6.(2012·济南名校模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB, ∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下面命题正确的是( A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC )

7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边 都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平 面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 8.(2012·忻州一中月考)正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高 为 2,E 是 BC 的中点,动点 P 在四棱锥的表面上运动,并且总保持 PE ⊥AC,则动点 P 的轨迹的长为________. 9.(2013·蚌埠模拟)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________.

10.如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

11.(2012·北京海淀二模)如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直 径的⊙O 上,∠CBA=30°,PA=AB=2,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 OM∥AC. (1)求证:平面 MOE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB.

12.(2012·珠海摸底)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,四边形 ACFE 是矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,AD=

DC=CB=AE=a,∠ACB= .
(1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 M 是棱 EF 上一点,AM∥平面 BDF,求 EM 的长.

π 2

1.如图,在立体图形 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中 点,则下列正确的是( )

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 2.如图所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥b,a⊥c,b⊥c,若 C∈a,

D∈b,则△ACD 是(

)

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形

3.(2012·莆田模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAC,△ABC 分别 是以 A,B 为直角顶点的等腰直角三角形,AB=1. (1)现给出三个条件:①PB= 3;②PB⊥BC;③平面 PAB⊥平面 ABC. 试从中任意选取一个作为已知条件,并证明:PA⊥平面 ABC; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 P-ABC 的体积. [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5._________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1._____ _ 2.______

答 案

课时跟踪检测(四十四)

A级 1.C 2.D 3.B 4.A 5.选 B 对于①,∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥BC.∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面 PAC.又 PC? 平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA.∵PA? 平面 PAC, ∴OM∥平面 PAC;对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正确. 6.选 D 在平面图形中 CD⊥BD,折起后仍有 CD⊥BD,由于平面 ABD⊥平面 BCD,故 CD ⊥平面 ABD,CD⊥AB,又 AB⊥AD,故 AB⊥平面 ADC,所以平面 ABC⊥平面 ADC. 7.解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 8.解析:如图,设 AC∩BD=O,连接 SO,取 CD 的中点 F,SC 的 中点 G,连接 EF,EG,FG,设 EF 交 AC 于点 H,连接 GH, 易知 AC⊥EF,

GH∥SO,
∴GH⊥平面 ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面 EFG, 故动点 P 的轨迹是△EFG, 由已知易得 EF= 2,

GE=GF=

6 ,∴△EFG 的周长为 2+ 6,故动点 P 的轨迹长为 2+ 6. 2

答案: 2+ 6 9.解析:连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则

OO1∥BC1.
∴BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变, ∴三棱锥 P-AD1C 的体积不变. 又 VP-AD1C=VA-D1PC,∴①正确. ∵平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P? 平面 A1C1B,

∴A1P∥平面 ACD1,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1 显然③不正确; 由于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面 AD1C.DB1? 平面 PDB1, ∴平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④ 10.证明:(1)由已知,得 MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP? 平面 APC, 故 MD∥平面 APC. (2)因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC? 平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. 因为 BC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. 11.证明:(1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA. 因为 PA? 平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 且 AC? 平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE? 平面 MOE,OM? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,所以 PA⊥BC. 因为 AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,

PA∩AC=A,
所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PCB, 所以平面 PAC⊥平面 PCB. π 12.解:(1)证明:因为∠ACB= ,所以 BC⊥AC.又因为 BC? 平面 ABCD,平面 ACFE∩ 2 平面 ABCD=AC,平面 ACFE⊥平面 ABCD,

所以 BC⊥平面 ACFE. (2)记 AC∩BD=O,在梯形 ABCD 中,因为 AD=DC=CB=a,AB∥CD,所以∠ACD=∠CAB =∠DAC. π π 所以 π =∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+ ,所以∠DAC= ,即∠ 2 6

CBO= .
π 3 又因为∠ACB= ,CB=a,所以 CO= a.连接 FO,由 AM∥平面 BDF 得 2 3

π 6

AM∥FO,因为四边形 ACFE 是矩形,
所以 EM=CO= 3 a. 3 B级 1.选 C 要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一 条直线与第一个平面垂直.因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC, 于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC? 平面 ACD, 所以平面 ACD⊥平面 BDE. 2.解析:选 B ∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B, ∴b⊥面 ABC, ∴AD⊥AC,故△ACD 为直角三角形. 3.解:法一:(1)选取条件① 在等腰直角三角形 ABC 中, ∵AB=1, ∴BC=1,AC= 2. 又∵PA=AC,∴PA= 2. ∴在△PAB 中,AB=1,PA= 2. 又∵PB= 3, ∴AB +PA =PB . ∴∠PAB=90°,即 PA⊥AB. 又∵PA⊥AC,AB∩AC=A, ∴PA⊥平面 ABC. (2)依题意得,由(1)可知 PA⊥平面 ABC,
2 2 2

V 三棱锥 P-ABC= PA·S△ABC= × 2× ×12=
法二:(1)选取条件②

1 3

1 3

1 2

2 . 6

∵PB⊥BC, 又 AB⊥BC,且 PB∩AB=B, ∴BC⊥平面 PAB. ∵PA? 平面 PAB, ∴BC⊥PA. 又∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C, ∴PA⊥平面 ABC. (2)依题意得,由(1)可知 PA⊥平面 ABC. ∵AB=BC=1,AB⊥BC, ∴AC= 2, ∴PA= 2, 1 1 1 1 1 2 ∴V 三棱锥 P-ABC= PA·S△ABC= × AB·BC·PA= × ×1×1× 2= . 3 3 2 3 2 6 法三:(1)选取条件③ 若平面 PAB⊥平面 ABC, ∵平面 PAB∩平面 ABC=AB,BC? 平面 ABC,BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB. ∵PA? 平面 PAB,∴BC⊥PA. ∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C, ∴PA⊥平面 ABC. (2)同法二.


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