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2013年杭州市第二次高考科目教学质量检测文科数学试卷

时间:2013-04-16


2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学(文科)试题参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的): 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 C 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分): 11. {x | x ? ?1或x ? 2} 15. 50(1 ? 3 ) 12. 16.?

1 15 ? 3 6
3 2

13. 17. 2

7 3

14. 6

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 7 a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 7 (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ,根据余弦定理得, a ? ?b? ? , 2ac 2bc 2 2 2 2 2 2 ∴ 2a ? 2b ? 7c ,又∵ c ? 2 ,∴ a ? b ? 7 , b2 ? c2 ? a2 3 ∴ b cos A ? 7分 ?? . 2c 4 7 3 11 (Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 及 b cos A ? ? ,得 a cos B ? . 4 4 2 又∵ a ? 4 ,∴ cos B ? ∴ S ?ABC ?
3 15 11 ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? , 16 16

1 3 ac sin B ? 15 . 2 4 19. (本题满分 14 分) (Ⅰ) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵ 2a3 , a5 , 3a4 成等差数列, 1 ∴ 2a5 ? 2a3 ? 3a4 ,即 2q 2 ? 2 ? 3q ,∴ q ? 2 或 q ? ? (舍去). 2

14 分

又 a2 ? 2 ,则 an ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 , 即数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 n ?1 .
n( 2 ? 2n) (Ⅱ) bn ? 2 log 2 2 n ? 2n ,则 {bn } 是等差数列, S n ? ? n2 ? n , 2

7分

n 2 ? 3n 1 ? (n ? 3) ? ( ) n ?1 , n ?1 n?2 2 1 1 1 cn ?1 ? cn ? (n ? 2) ? ( ) n ? (n ? 3) ? ( ) n ?1 ? ( ) n (4 ? n) , 2 2 2 ∵当 n ? 4 时, cn ?1 ? cn ,当 n ? 5 时, cn ?1 ? cn ,
则 cn ? ∴ cn 取最大值时, n 的值是 4 和 5. 14 分

20. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 连接AC 1 交EC于点F,由题意知四边形ACC 1 E是矩形,则F是AC 1 的中点, 连接DF,∵D是AB的中点,∴DF是△ABC 1 的中位线, ∴ BC 1 //DF, 4分 ∵ BC 1 ? 平面EDC,DF ? 平面EDC, ∴BC 1 //平面CDE. 7分 (Ⅱ) 作 AH⊥直线 CD,垂足为 H,连接 HE, ∵ AA 1 ⊥平面ABC,∴ AA 1 ⊥DC, ∴ CD⊥平面 AHE, ∴ CD⊥EH, ∴ ? AHE 是二面角 E – CD – A 的平面角. 11 分 ∵ D 是 AB 的中点, ∴ AH 等于点 B 到 CD 的距离,
R R R R R R R R R R R R R R R R R R

2 5 , 5 AE 5 在△AEH 中, tan ?AHE ? ? AH 2
在△BCD 中,求得:AH= 即所求二面角的正切值为

(第 20 题)

5 . 2

15 分

21. (本题满分 15 分) (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? ? x 3 ? x ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 1 , 设切点 T ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x0 ) ? ?3x02 ? 1 , ∴ 切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即: y ? (? x0 ? x0 ) ? (?3x0 ? 1)( x ? x0 ) . 1 把 (?1,0) 代入得: ( x0 ? 1) 2 (2 x0 ? 1) ? 0 ,∴ x0 ? ?1 或 x ? . 2 当 x0 ? ?1 时,切线方程为 y ? ?2 x ? 2 . 1 1 1 当 x0 ? 时,切线方程为 y ? x ? . 7分 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅱ) 不等式 x ? ? f ( x) ? x ? ,即: x ? ? ? x 3 ? ax ? x ? , 4 4 4 4 4 4 4 4 ①当 x ? 0 时,不等式显然成立. 1 1 1 1 ②当 x ? (0,1] 时,不等式化为 ? ? x2 ? a ? ? ? x2 , 4 4x 4 4x 1 1 1 1 2 2 设 g ( x) ? ? ? x , h( x ) ? ? ?x , 4 4x 4 4x 1 则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? 0 ,∴ g (x) 在(0,1]上递增,∴ g ( x) max ? g (1) ? 1 , 4x
3 2

h?( x) ?

8 x3 ? 1 1 1 ,∴ h(x) 在(0, ]上递减,在( ,1 ]递增, 2 2 2 4x

1 ∴ h( x) min ? h( ) ? 1 , 2 ∴ 1 ? a ? 1 ,即 a ? 1 . 综上所述, a 的取值集合为 {a | a ? 1} .

15 分
(第 22 题)

22. (本题满分 14 分) ? y ? 2x ? 2 (Ⅰ) 由 ? 2 ,整理得, x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设M 1 ( x1 , y1 )、M 2 ( x2 , y2 ), x ? 2 py ?
R R R R

?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p ,∵ | M 1M 2 |? 8 15 , ?x ? x ? 4 p ? 1 2



[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ](1 ? 2 2 ) ? 8 15 ,即: [(16 p 2 ? 16 p] ? 5 ? 8 15 .

∴ p 2 ? p ? 12 ? 0 ,得 p ? 4 或 p ? ?3 (舍去),且 p ? 4 满足 ? ? 0 , ∴ p?4.
2

7分

2 ? x ? x2 ? 16 x x (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 1 , M 1 ( x1 , 1 ) , M 2 ( x2 , 2 ) , 8 8 ? x1 x2 ? 16 2 x 设 M 3 ( x3 , 3 ) ,A (t ,2) , B(a,2) , 8 由A、M 2 、M 3 三点共线得 k M 2M 3 ? k AM 2 ,
R R R R

x2 ?2 x2 ? x3 2 2 ? 8 ∴ ,即: x2 ? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 , 8 x2 ? t 整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 ,……① 由B、M 3 、M 1 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 ,……② ②式两边同乘 x2 得: x1 x2 x3 ? a( x1 x2 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 即: 16 x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 ,……③, 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 代入③得: 16 x3 ? 16a ? tq ( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16 x2 ,
R R R R

2

即: 16( x2 ? x3 ) ? at ( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 . ∴ OA ? OB ? at ? 4 ? 20 . 14 分


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