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人教版高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案

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3.1.1 直线的倾斜角和斜率 教材:选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修 2 一、教学目标 1、知识目标 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,主 动构建理解直线的倾斜角和斜率的概念 ; (2)初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法 ,掌握过两点的直线斜率的 计算公式; (3)掌握直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角和斜率。 2、能力目标 (1)引导学生观察发现、类比,猜想和实验探索,培养学生的分析、抽象、 归 纳能力及创新能力和实践能力; (2)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的发散性思 维能力。 3、思想目标 通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 进一步提高学 生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问 题的思路,培养学生的数形结合思想和综合运用知识解决问题的能力。 4、美育目标 帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与 “形”的内在联系,使学生体会数、形的统一美,激发学生学习数学的兴趣,对 学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育,培养学生勇于探索、勇于创新的 精神。 二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念以及它们的相互关系; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、使学生经历几何问题代数化的过程,初步了解解析几何研究问题的基本 思想方法,体会坐标法。 难点:1、倾斜角概念的形成,对斜率概念的理解。 2、用代数方法推导斜率的过程; 3、直线的斜率与其倾斜角之间的关系。 三、教学方法与手段 教学方法:观察发现、启发引导、探索实验。 教学手段:“启发探究式”教学法;计算机辅助教学与引导法相结合;坚持协同 创新原则。 四、教学过程 教学 教学过程 1 设计意图 环节 创设问题情境,激发了学 生的创新意识,营造了创 问题情境 1、如何确定一条直线的位 新思维的氛围。 置? 通过这四个问题,打开了 问题情境 2、用一个很小的等腰直角 学生的原有认知结构,为 三角板,能不能画出一个很大的正方 知识的创新做好了准备; 形的对角线?怎么画? 同时也让学生领会到,直 问题情境 3、第二个问题对你解决第 线的倾斜角这一概念的 一个问题有什么启示? 产生是为了研究直线,从 通过讨论探究得出:两点可以确定一 而明确新课题研究的必 条直线。 要性,触发学生积极思维 活动的展开。 引出新问题:一点能确定一条直线的 位置吗?为什么? 学生动手操作:在直角坐标系中,画 创设这个问题情境,为学 出过点 P 的直线,并观察所画出的直 生创新思维的展开提供 线有哪些不同。 了空间。 通过分析得出结论:过一点 P 的直线 有无数条,它们是都经过点 P 的直线 束,并且它们的倾斜程度不同。 问题 用什么样的几何量来刻画直线 的方向?应该如何定义? 在平面直角坐标系中,当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正 向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角。 注意:当直线和 x 轴平行或重合时, 我们规定直线的倾斜角为 0? ; 倾斜角 o 是 90 的直线没有斜率. 直线倾斜角的几何意义——刻画直 线相对 x 轴的倾斜程度。 直线倾斜角的取值范围是: 0? ? ? ? 180? ; 情 景 设 置, 引 入 课 题 探索研 究影响 直线位 置的因 素 引 出 概 念, 直 线 的 倾 斜 角 引导学生用“角”来刻画 方向,进而引入倾斜角的 概念。 和学生一起完成定义,定 义要完备,准确,简洁。 2 引入 直线 倾斜 程度 的描 述—— 斜率 问题:在日常生活中,有没有表示倾 斜程度的量呢? 倾斜角不是 90o 的直线,它的倾斜角 的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率用 k 表示即 k=tanα 注: 倾斜角是 90o 没有斜率;倾斜角不 是 90o 的直线都有斜率。 为了让学生更具体地理解斜率,随机 的出几个已知斜率求倾斜角,已知倾 斜角求斜率的题目。 注意:当倾斜角 ? 为直角时,斜率 k 不存在;直线的斜率可取一切实数。 我们常用斜率来表示倾斜角不等于 90o 的直线相对于 x 轴的倾斜程度。 而 根据正切函数的单调性,倾斜角不同 的直线,其斜率不同。由此引入直线 倾斜角 ? 与斜率 k 的关系: ? 为锐角 时,k>0;? 越大,直线斜率越大;? 为钝角时,k<0;? 越大,直线斜率 越大;?=0°时, k=0;?=90°时,k 不存在。 动手练习: (1)已知下列直线的倾斜 角,求直线的斜率: ①α = 120°;②α = 135° (2)下列哪些说法是正确的( ) A 、任一条直线都有倾斜角,也都有 斜率 B、直线的倾斜角越大,斜率也越大 C 、平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π D 、两直线的倾斜角相等,它们的斜 率也相等 E 、两直线的斜率相等,它们的倾斜 角也相等 F 、直线斜率的范围是 R 分析得出用直线的倾斜 角的正切来表示直线的 倾斜程度,从而自然地引 入斜率的概念与其表示。 通过例子,学生对概念的 抽象转化为具体,使学生 的发散性思维能力得以 提高,课程目标得以实 现。 直线 倾斜 角与 斜率 的关 系 通过对直线的倾斜角和 斜率关系的讨论,学生更 进一步地了解直线的倾 斜角,同时培养了学生分 类讨论的思想。 练 习 让学生动手练习,进 一步了解直线倾斜角与 斜率的关系。通过习题的 及时强化,进一步提高学 生运用数学解决问题的 能力,同时突出了教学重 点,达到难点的突破。 3 探 究 直 线 斜 率 的 另 一 表 示—— 用 两 点 的 坐 标 表 示 问题情境:在坐标平面内,已知两点 P1 ( x1.y1 ) ,P2(x2,y2), 那么直线 P1P2 就是确定的。那么当 P1P2 的倾斜角不 是 90o 时,这条直线的斜率也是确定 的。如何研究用两点的坐标来表示线

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