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2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

时间:2012-11-27

2008 全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A 卷)
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.0

故 E? ? 2 ? 5 ? 4 ? 20 ? 6 ? 16 ? 266 . 9 81 81 81 [解法二] 依题意知,? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜.

5 ? 4x ? x 在 (??, 2) 上的最小值是( C ) 2? x
2

B.1

C.2

D.3

由独立性与互不相容性得

[解] 当 x ? 2 时,2 ? x ? 0 , 因此 f ( x) ?

1 1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 ? (2 ? x) ? ? (2 ? x) ? 2 ? 2? x 2? x 2? x

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5, 9

? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在
2? x
(??, 2) 上的最小值为 2.
2. A ? [? 设 2 4 , ) A. [?1, 2) , ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} , B ? A , 若 则实数 a 的取值范围为 B B. [?1, 2] C.[0,3] D.[0,3) ( D )

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2 ,则这三个正方 体的体积之和为( A ) A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 B. 764 cm3 D. 586 cm3

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根 故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

x1 ?

a a2 a a2 ? 4? , x2 ? ? 4 ? , 2 4 2 4
2 2

a a a a ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4 ,解之得 0 ? a ? 3 . 2 4 2 4

3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比

2 对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概 3
率为

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 , 不妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 , c ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能
2 2 2 2 2

1 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为( B ) 3
B.

A.

241 81

266 81

C.

274 81

D.

670 243

取 9,8,7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ?92 ? ,易知 a ? 2 ,b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) . 13 若 c ? 8 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 , b ? 5 .但 2b ? 30 , b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若
2 2 2 b ? 5 ,则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.

[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.

2 1 5 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 ( )2 ? ( ) 2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结

若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,
2 2 2 2

5 果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(? ? 2) ? , 9 P(? ? 4 ) ? P(? ? 6 ) ? 4 5 2 0 , ( ) (? ) 9 9 8 1 4 2 ( 9 1 6 ) , ? 8 1
第 1 页 共 5 页

但 b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a ? 58 ? 36 ? 22 无解.
2

?a ? 2, ?a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ?c ? 7. ?c ? 9 ? ?

体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm3 .

? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? xyz ? z ? 0, 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为( B ) ? ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

? a ? aq ? aq 2 , ? q 2 ? q ? 1 ? 0, ? ? 即? ? 2 2 ? aq ? aq ? a ? q ? q ? 1 ? 0. ? ?

? x ? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? ?1, [解] 若 z ? 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy ? y ? 0. ? y ? 0 ? y ? 1.
若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ① ② ③ 从而

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ? q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? , 若 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 ,则 a ? b ? 5 .

将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x 2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由①得 x ? ?
3

1 ,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) ? 0 . y

易知 y ? y ? 1 ? 0 无有理数根, y ? 1, 故 由①得 x ? ?1 , 由②得 z ? 0 , z ? 0 矛盾, 与

[解] 由题意知 f n ( x) ? a n x ? (a n ?1 ? a n ?2 ? ? ? a ? 1)b

? x ? 0, ? x ? ?1, 故该方程组共有两组有理数解 ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? ? ?z?0 ? z ? 0. ? ?
6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 是( C ) A. (0, ??) B. (0, D. (
2

? an x ?

an ?1 ?b , a ?1 a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1

由 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 得 a 7 ? 128 ,

sin A cot C ? cos A 的取值范围 sin B cot C ? cos B

8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? [解] f (x) ? 2cos 2 x ?1 ?2 a ?2 acos x

1 ,则 a ? 2

?2 ? 3



5 ?1 ) 2 5 ?1 , ??) 2

a 1 ? 2(cos x ? )2 ? a 2 ? 2a ? 1, 2 2
(1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ?

C. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

[解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq ,而

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2 1 , 2

s i n ? C ) ?s?i nB( A( ? ? ? s i n ? C ) ?s?i nA( B(
因此,只需求 q 的取值范围.

)B s b n i ? ? q. )A s a n i

又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ?

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的 分配方法共有 222 种. [解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需 且只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组

第 2 页 共 5 页

|? ? ? ? ? | ?

|? ?|?

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配 方法相当于 24 ? 2 ? 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙 插入“|”,故有 C ? 253 种.
2 23

1 1 有 bn?1 ? 1 bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? 1 ? . n 2 2 n(n ? 1) 2
11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ?R ,满足

f ( x? 2 )? f ( x ) 3x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x ,则 f (2008 ) = ? ? 2
[解法一] 由题设条件知

22008 ? 2007



f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x ?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x ,故

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0)
2 4 2 ? 3 ? ( 2 0 0 6 ? 2 2 0 0? ? 2 ? 1 ) ? ? f

(0)

为不定方程

x1 ? x 2? x ? 24 . 3
的正整数解的个数, 即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21 的非负整数解的个数, 它等于 3 个不同元素中 取 21 个元素的可重组合:
21 21 2 H3 ? C23 ? C23 ? 253 .

? 3?

41 0 0? 3 ?11 ? f (0) 4 ?1

? 22008 ? 2007 .
[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则
x? x g ( x? 2 )? g ( x ) f ( x 2 ? f (x ?) 2 2 ? ? ? )

2 x ?3 2 x ?3,? ? ? 2

0

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? an ?
an =

g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 x ?6 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运 动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 [解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况, 记小球半径为 r , 作平面 A1 B1C1 //平面 ABC , 与小球 相切于点 D , 则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的 中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心.

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 n(n ? 1)

1 1 . ? n 2 n(n ? 1)

[解] an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 即 2 a n ?1 ? =

n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ?1)( n ?2) n n? ( 1)

72 3



n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n(n ? 1) ?2 1 , ? an ? (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1) 1 1 . ) ? an ? (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1)

由此得 2 (a n ?1 ? 令 bn ? an ?

1 因 VP ? A B C ? S?A B C ? PD 1 1 1 3 111

1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)
第 3 页 共 5 页

? 4 ?VO ? A 1

B C 1 1

答 12 图 1

1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
PP ? PO 2 ? OP 2 ? (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 1

由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , 3 ? ) ,所以 ? cos ? ? ? sin ? ,即 ? ? tan ? . 2 ? 因此

…10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ? ? 1 4sin ? cos ?
…15 分

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况,易知小球在面 PAB 上 最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 记为 P EF , 如答 12 图 2. 记正四面体的棱长为 a , 1 过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 因 ?MPP ? 1

? ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? 4 tan ?

3 ? ,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 1 2 6

PE ? PA ? 2 PM ? a ? 2 6r . 1
小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分) 14.解不等式

?

1? ? 2 . 4?

…20 分

log 2 ( x12 ? 3x10 ? 5 x8 ? 3x6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) .

S?PAB ? S?P1EF ?

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r ) 2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

[解法一] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式 等价于

又 r ? 1, a ? 4 6 ,所以

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .
答 12 图 2 即 分组分解

S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x 4 ? 1 ? 0 . x12 ? x10 ? x8 ?2 x1 0 ? 2 x 8 ? 2 x 6 ?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4 ? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

…5 分

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐 标的最大值为 ? ,求证:

c o? s ?? 2 1 . ? s i ? ? s? n 3 ? n i 4
[证]

( x8 ? 2 x6 ? 4 x 4 ? x 2 ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? 0 ,
所以

…10 分

f ( x) 的 图 象 与 直 线

x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

y ? k x (k ? 0) 的三个交点如

3? 答 13 图所示,且在 (? , ) 内 2
相切,其切点为 A(? , ? sin ? ) , 所以 x 2 ? 答 13 图

( x2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? ) ?0. 2 2
?1 ? 5 . 2

…15 分

? ? (? ,

3? ). 2

?1 ? 5 ?1 ? 5 ,即 x ? ? 或x ? 2 2 5 ?1 )?( 2

…5 分

故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 , ??) . 2

…20 分

第 4 页 共 5 页

[解法二] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式 等价于

(b ? c) 2 ?

2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 . ( x0 ? 2) 2

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .


…5 分

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则
2 2 x0 . 4 x0 , b?c ? 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2

(b ? c) 2 ?

…15 分

2 1 ? ? x6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x6 (
3

所以 S?PBC ? …10 分

1 3 1 ) ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , 2 x x

x 1 4 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ?4 2 x0 ? 2 x0 ? 2
4 ? 4 ?. 8

?2

令 g (t ) ? t ? 2t ,则不等式为

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. …20 分

g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , x2

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x 2 ? 1, 2 x
即 ( x 2 )2 ? x2 ? 1 ? 0 ,解得 x 2 ? 故原不等式解集为 (??, ?

…15 分 ( x2 ? ?

5 ?1 2

5 ?1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 )?( 2

5 ?1 , ??) . 2

15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 内切 于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b 2 ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? 答 15 图 …10 分

?2 y0 ? x0 , bc ? ,则 x0 ? 2 x0 ? 2
第 5 页 共 5 页


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