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双曲线标准方程

时间:2015-01-14


双曲线的标准方程

一、选择题 1.已知点 F1(0,-13),F2(0,13),动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 26,则动点 P 的轨迹方程为( ) A.y=0 B.y=0(|x|≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对

x2 y2 2.双曲线16- 9 =1 的焦点坐标为( ) A.(-,0),(,0) B.(0,-),(0,) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5)

3.已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( ) 1 A.2 3 B.2 7 C.2 D.5

x2 y2 4.已知双曲线方程为a2-b2=1,点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2,|AB|=m,F1 为另一焦点,则△ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m

y2 5.设 P 为双曲线 x2-12=1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点.若|PF1|:|PF1|=3:2,则△PF1F2 的面 积为( ) A.6 B.12 C.12 D.24

x2 y2 x2 y2 6. 若椭圆 m + n =1(m>n>0)和双曲线 a - b =1(a>0.b>0)有相同的焦点, P 是两曲线上的一个交点, 则|PF1|· |PF2| 的值为( )A.m-a B.m-b C.m2-a2 D.-

x2 y2 7.方程4-t+t-2=1 所表示的曲线为 C,有下列命题: ①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能是圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 3<t<4. 以上命题正确的是( ) A.②③ B.①④ C.②④
2

D.①②④
2

x y 3 8.设 θ∈(4π,π)则关于 x,y 的方程 x2 sin ? - cos? =1 所表示的曲线是( )

A.焦点在 y 轴上的椭圆

B.焦点在 x 轴上的双曲线

C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 9.已知平面内有一定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 的中点,则|PO|的最小值为( ) A.1 3 B.2 C .2 D.4

x2 10.设 F1,F2 是双曲线 4 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 PF |PF2|的值等于( ) 1 ? PF 2 ? 0 ,则|PF1|· A.2 B.2 C.4 D.8
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二、填空题 11.双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3) ,那么 k 的值为________. [12.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离是 2 ,则 a+b=________. |a-b| [答案] [解析] p(a,b)点到 y=x 的距离 d= 2 , ∵P(a,b)在 y=x 下方, 1 ∴a>b∴a-b=2,又 a2-b2=1,∴a+b=2. x2 y2 13 .设圆过双曲线 9 - 16 = 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 ________. x2 y2 14.双曲线16- 9 =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥F1F2,则点 P 到 x 轴的距离为______. 三、解答题 15.已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型. 1 16.在△ABC 中,BC 固定,A 点为动点,设|BC|=8,且|sinC-sinB|=2sinA,求 A 点的轨迹方程. x2 y2 17.设双曲线 4 - 9 =1,F1,F2 是其两个焦点,点 M 在双曲线上. (1)若∠F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=60° 时,△F1MF2 的面积是多少?若∠F1MF2=120° 时,△F1MF2 的面积又是多少? 18.如图所示,某村在 P 处有一堆肥,今要把此堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的一块田 ABCD 中去,已 知 PA=100m,BP=150m,BC=60m,∠APB=60° ,能否在田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送 肥较近而另一侧的点则沿 PB 送肥较近?如果能,请说出这条界线是什么曲线,并求出它的方程.

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双曲线的标准方程答案
1C 2C 3C 4B 5B 6A 7C 8C 9B 10A 1 11.k=-1 12.2 16 13. 3 9 14.4

15.[解析] 当 k=0 时,y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直线. 当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点上,半径为 2 的圆. y2 4 当 k<0 时,方程 4 +k=1,表示焦点在 y 轴上的双曲线. 4 y2 当 0<k<1 时,方程k+ 4 =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆. 4 y2 当 k>1 时,方程k+ 4 =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. x2 y2 16. 4 -12=1(y≠0). 17.[解析] (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c=, 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2) 如图所示. 2 2 由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4. 两边平方得 r1+r2-2r1· r2=16, 2 2 因为∠F1MF2=90° ,所以 r1+r2=|F1F2|2=(2c)2=52, 所以 r1r2=18,所以 S△F1MF2=9. 2 2 (2)若∠F1MF2=60° ,在△MF1F2 中, 由余弦定理得|F1F2|2=r1+r2-2r1r2cos60° 1 |F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,得 r1r2=36, 所以 S△F1MF2=2r1r2sin60° =9. 同理,当∠F1MF2=120° ,S△F1MF2=3. 18.[解析] 田地 ABCD 中的点可分为三类:第一类沿 PA 送肥近,第二类沿 PB 送肥较近,第三类沿 PA 或 PB 送肥一样近,由题意知,界线是第三类点的轨迹. 设 M 是界线上的任一点,则 |PA|+|MA|=|PB|+|MB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值)

故所求界线是以 A、B 为焦点的双曲线一支. x2 若以直线 AB 为 x 轴, 线段 AB 的中点 O 为坐标原点, 建立直角坐标系, 则所求双曲线为a2 y2 -b2=1,其中 a=25, 2c=|AB|==50.

∴c=25,b2=c2-a2=3750. 因此,双曲线方程为 x2 y2 625-3750=1(25≤x≤35,y≥0),
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