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上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:数列 Word版含答案

时间:2014-02-28


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

1.数列 {a n } 满足 a n ?1

A.

1 5

1 2a n ,0 ? a n ? 2 2 ) ?{ , 若a1 ? , 则a 2007 ? ( 1 2a n ? 1 , ? a ? 1 5 n 2 2 3 4 B. C. D. 5 5 5

【答案】C 2. 在等差数列 A.13 【答案】B 3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 中, B.26 C.52 , 则此数列的前 13 项之和等于( D.156 )

a1 ? a3 ? a9 的值是( a 2 ? a 4 ? a10
D.不确定

)

A.

13 16

B.

16 13

C.1

【答案】A 4.在等比数列{ A.-4 【答案】B 5.数列 0,

an

}中,若

a1 ? a10 ? ?2

,则

a 4 ? a7
C .4

的值为(

) D.2

B.-2

7 13 ,? ,? 的一个通项公式是( 5 5
n ?1

)

A. ( ?1)

n3 ? 1 n2 ?1 n3 ? 1 n2 ?1

n3 ? 1 B. (?1) n2 ?1
n

C. ( ?1) 【答案】B

n ?1

D. (?1)

n

n3 ? 1 n3 ? 1

6.在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2, a5 ? 18 ,则 a9 的值为( A. 【答案】C 7.设数列 , , , ,…,则

)

?162

B.

?324

C.

162

D.

324

是这个数列的( C.第 8 项

) D.第 9 项 )

A.第 6 项

B.第 7 项

【答案】B 8.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q,则 q 的取值范围是(

A.

B.

C.

D. 【答案】D 9. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n , 对于任意的 m, n ? N , 都满足 S n ? S m ? S m ? n , 且 a1
?

? 2,

则 a2011 等于( A.2 【答案】A

) B.2011 C.2012 D.4022

10.数列 2,5,11, 20, x, 47, …中的 x 等于( A. 28 【答案】B 11.已知 a1 ? A. ?3 【答案】B B. 32

) C. 33 D. 27

1 1 ,则 a10 ? ( , an ? 1 ? 4 an ?1
B.

)

1 4

C.

4 3

D. ?

1 4
)

12. 设数列{an}是单调递增的等差数列, 前三项的和为 12, 前三项的积为 48, 则它的首项是( A.1 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 13.在等比数列 ?a n ?中,首项 a1 【答案】3 14.将正偶数排列如下表,其中第 i 行第 j 个数表示为 a ij (i ? N * , j ? N * ) ,例如 a32 ? 10 ,若 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) B.2 C.±2 D.4

? 2 , a4 ?
3

? ?1 ? 2x ? dx ,则公比 q 为
1

4



aij ? 2012 ,则 i ? j ? ____________.

【答案】61 15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且点 (an , Sn )(n ? N ) 在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,则数列
*

{an } 的通项公式为
【答案】 a n ? 3 ? 2
n ?1



(n ? N ? )

16.在如图的表格中,若每格内填上一个数后,每一横行的三个数成等差数列,每一纵列的三个 数成等比数列,则表格中 x 的值为____________.

【答案】

1 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列 {an } 是递增 数列,且满足 .. (1)求数列 {an } 的通项公式;

a4 ? a7 ? 15, a3 ? a8 ? 8.

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 9an ?1 an 3 【答案】 (1)根据题意: a3 ? a8 ? 8 ? a4 ? a7 , a 4 ? a7 ? 15 ,知:
(2)令 bn ?

1

(n ? 2), b1 ?

a4 , a7 是方程 x2 ? 8x ? 15 ? 0 的两根,且 a4 ? a7
解得 a4 ? 3, a7 ? 5 , 设数列 {an } 的公差为 d ,由 a7

2 ? a4 ? (7 ? 4) ? d , 得d ? . 3 ? a4 ? (n ? 4) ? d ? 3 ? (n ? 4) ?

故等差数列 {an } 的通项公式为: an (2)当 n ? 2 时, bn ?

2 2n ? 1 ? 3 3

1 9an ?1an

?

1 2 1 2 1 9( n ? )( n ? ) 3 3 3 3

?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 又 b1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) 3 2 3

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1

?

n 1 1 (1 ? )? 2n ? 1 2 2n ? 1

18.已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 2, a n , s n 成等差数列. (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若 bn ? log 2 an , cn ?

bn ,求数列{ cn }的前 n 项和 Tn. an

【答案】 (1)∵2, a n , S n 成等差数列, ? 2an ? 2 ? Sn

? 1 时,? 2a1 ? 2 ? S1 ? 2 ? a1 ,解得? a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, .即 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2 ? (2an ?1 ? 2) 即an ? 2an?1 .
当n ∴数列

?a ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,
n
n

? an ? 2n.
(2)? bn ? log 2 an ? log 2 2 ? n, 又 cn ?

bn n ? cn ? n an 2 b b b 1 2 3 n Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① a1 a 2 an 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ② 2 2 2 2 2

①—②,得

1 1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 ? n ? 2? 2?n ?Tn ? 1 2n ?1 2n 1? 2
19.设 f (x)=

x ,方程 f (x)=x 有唯一解,数列{xn}满足 f (x1)=1, a ( x ? 2)

xn+1=f (xn)(n∈N*). ⑴求数列{xn}的通项公式; ⑵已知数列{an}满足 a1 ? 数都满足

1 1 , a n ?1 ? (2 ? a n ) 2 ? f (a n ) (n ? N *) ,求证:对一切 n≥2 的正整 2 4

3 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2. 4 x1 ? a1 2 x 2 ? a 2 nx n ? a n
2

【答案】⑴由 f ( x) ? x 得 ax +(2a-1)x=0(a≠0)

1 2x 时, f ( x) ? x 有唯一解 x=0,∴ f ( x) ? 2 x?2 2 xn 1 1 1 得 ? ? 当 f ( xn ) ? 1 得 x1=2,由 xn ?1 ? f ( xn ) ? xn ? 2 xn ?1 xn 2
∴当且仅当 a ?

∴数列 { ∴

1 1 1 1 } 是首项为 ? ,公差为 的等差数列 xn x1 2 2
故 xn ? 2 n
又 a1 ?

1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? xn 2 2 2

⑵ an ?1 ? ∴ ∴ 即

2an (2 ? an ) ? an 1 (2 ? an ) 2 ? ? 4 an ? 2 2

1 2
5 8

1 2 1 1 ? ? ? an ?1 an (an ? 2) an an ? 2 1 1 1 ? ? an ? 2 an an ?1
1 1 1 ? ? nxn ? an an an ?1

且 an>0,a2=

当 n≥2时,

1 1 1 ? ? ... ? ? x1 ? a1 2 x 2 ? a 2 nxn ? a n

1 1 2? 2

?

1 5 2? 8

?

82 3 ? 105 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? ? ?2 x1 ? a1 2 x2 ? a2 nxn ? an a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1


3 1 1 1 ? ? ? ... ? ?2 4 x1 ? a1 2 x2 ? a2 nxn ? an

20.是否存在常数 a,b,c ,使得等式

1(n 2 ? 12 ) ? 2(n 2 ? 2 2 ) ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ? an4 ? bn2 ? c 对一切正整数 n 都成立?若存
在,求出 a,b,c 的值;若不存在,说明理由. 【答案】假设存在 a,b,c ,使得所给等式成立.

1 ? ?a ? 4 ? ?a ? b ? c ? 0, 1 ? ? , 2, 3 代入等式得 ?16a ? 4b ? c ? 3,解得 ?b ? ? 令 n ?1 4 ?81a ? 9b ? c ? 18, ? ? ?c ? 0 ? ?
以下用数学归纳法证明等式 1(n ? 1 ) ? 2(n ? 2 ) ? ? ? n(n ? n ) ?
2 2 2 2 2 2

1 4 1 2 n ? n 对一切 4 4

正整数 n 都成立. (1)当 n ? 1 时,由以上可知等式成立; (2)假设当 n ? k 时,等式成立, 即 1(k 2 ? 12 ) ? 2(k 2 ? 22 ) ? ? ? k (k 2 ? k 2 ) ? 则当 n ? k ? 1 时,

1 4 1 2 k ? k , 4 4

1[(k ? 1)2 ? 12 ] ? 2[(k ? 1)2 ? 22 ] ? ? ? k[(k ? 1)2 ? k 2 ] ? (k ? 1)[(k ? 1)2 ? (k ? 1)2 ] ? 1(k 2 ? 1)2 ? 2(k 2 ? 22 ) ? ? ? k (k 2 ? k 2 ) ? (2k ? 1) ? 2(2k ? 1) ? ? ? k (2k ? 1)

1 1 k (k ? 1) 1 1 ? k 4 ? k 2 ? (2k ? 1) · ? (k ? 1)4 ? (k ? 1)2 . 4 4 2 4 4 由(1) (2)知,等式结一切正整数 n 都成立.
21.已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,b+1,c+4 成等比数列,且 a+b+c=15,求 a,b,c.

① ?a + b + c = 15 ? ②, 【答案】由题意,得 ?a + c = 2b ?(a +1)(c + 4) ? (b +1) 2 ③ ?
由①②两式,解得 b=5 将 c=10-a 代入③,整理得 a -13a+22=0, 解得 a=2 或 a=11,故 a=2,b=5,c=8 或 a=11,b=5,c=-1. 经验算,上述两组数符合题意. 22.已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N ) ,将集合
*
2

{x | x ? an , n ? N *} ? {x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列

c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式。 【答案】⑴

c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;
*

⑵ ① 任意 n ? N ,设 a2 n ?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k

? 3n ? 2 ,即

a2 n ?1 ? b3n ?2
② 假设 a2 n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7

1 ,∴ a2 n ?{bn } ? k ? 3n ? ? N * (矛盾) 2

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7
? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,……

∴ 当k

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? ,k ? N* 。 ∴ cn ? ? 6 k ? 6 ( n ? 4 k ? 1) ? ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )


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