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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2瞬时速度与导数

时间:2013-11-12


1.1.2
一、基础过关

瞬时速度与导数

1.一质点按规律 s(t)=2t3 运动,则 t=1 时的瞬时速度为 A.4 B.6 C.24
Δx 0

(

)

D.48 ( )

2.设 f(x)在 x=x0 处可导,则 li m → A.-f′(x0) C.f′(x0)

f?x0-Δx?-f?x0? 等于 Δx

B.f′(-x0) D.2f′(x0) ( C.3 D.2 ) )

3.函数 y=3x2 在 x=1 处的导数为 A.12 B.6

4. 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2 (a, 为常数), ( b 则 A.f′(x)=a C.f′(x0)=a B.f′(x)=b D.f′(x0)=b ( 1 D. 3 )

5.设函数 y=f(x)=ax3+2,若 f′(-1)=3,则 a 等于 A.-1 1 B. 2 C.1

6.任一作直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的初速度是( A.0 二、能力提升 7.曲线 f(x)= x在点(4,2)处的瞬时变化率是________. B.3 C.-2 D.3-2t

)

8.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v(t)=t2+2t+2,则在时间间隔[1,1+Δt]内的 平均加速度是________,在 t=1 时的瞬时加速度是________. 1 9.函数 y=f(x)= 2+2 在 x=1 处的导数 f′(1)=____. x 10.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2.求此物体在 t=2 时的瞬时速 度.

11.求函数 y=f(x)=2x2+4x 在 x=3 处的导数.

12.若函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a 的值.

三、探究与拓展 13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)
? 2 ?3t +2 s=? 2 ? ?29+3?t-3?

?t≥3? ?0≤t<3?

求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度.

答案
1.B 2.A 3.B 4.C 7. 1 4 5.C 6.B

8.4+Δt 4 9.-2 10.解 v=lim →
Δt 0

s?2+Δt?-s?2? =lim (-Δt-1)=-1. Δt Δt→0

11.解 Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx =2(Δx)2+16Δx, ∴
2 Δy 2?Δx? +16Δx = =2Δx+16. Δx Δx

∴f′(3)= lim →

Δx 0

Δy = lim (2Δx+16)=16. Δx Δx→0

12.解 ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c =a(Δx)2+2aΔx. ∴f′(1)= lim → = lim →
Δx 0

f?1+Δx?-f?1? Δx

Δx 0

a?Δx?2+2aΔx Δx

= lim (aΔx+2a)=2,即 2a=2, →
Δx 0

∴a=1. 13.解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 Δs 48 = =24 (m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δs s?0+Δt?-s?0? = Δt Δt = 29+3[?0+Δt?-3]2-29-3?0-3?2 =3Δt-18, Δt

∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为
Δt→0

lim

Δs =lim (3Δt-18)=-18, Δt Δt→0

即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为 Δs s?1+Δt?-s?1? = Δt Δt = 29+3[?1+Δt?-3]2-29-3?1-3?2 =3Δt-12. Δt

∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为
Δt→0

lim

Δs =lim (3Δt-12)=-12. Δt Δt→0

即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.


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