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2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版

时间:2016-06-02


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题-第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。

参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? 棱锥的体积公式: V ?

1 n 1 n ( xi ? x )2 ,其中 x ? ? xi 。 ? n i ?1 n i ?1

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为高。 3 棱柱的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 为高。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位置上 。 ......... 1、函数 y ? 3sin(2 x ?

?
4

) 的最小正周期为





答案: ? 2、设 z ? (2 ? i) 答案:5
2

( i 为虚数单位),则复数 z 的模为





x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 3、双曲线 16 9
答案: y ? ?





3 x 4
▲ 个子集。

4、集合{-1,0,1}共有 答案:8

5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是





1

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答案:3 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 ▲ 第5次 93 92 。

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 答案:2

7、现有某类病毒记作为 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概率 为 ▲ 。

答案:

20 63

8、如图,在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中,D、E、F 分别为 AB、AC、A A1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 = ▲ 。

答案:1:24 9、抛物线 y ? x2 在 x ? 1 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。若点 P(x,y) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 答案: [ ?2, ] ▲ 。

1 2

10、 设 D、 E 分别是△ABC 的边 AB、 BC 上的点, 且 AD ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 2 AB, BE ? BC 。 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 、 2 3

?2 均为实数),则 ?1 + ?2 的值为
答案:





1 2

2 11、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间

表示为





答案: (?5, 0) ? (5, ??)
2

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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F,右准线为 l ,短轴 a 2 b2 的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 d1 ,F 到 l 的距离为 d2 。若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率
12、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的方程为 为 ▲ 。

答案:

3 3
1 ( x ? 0) 图象上的一动点。若点 P、A 之间 x


13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y ? 的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为= 答案: ?1, 10 14、在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ? 的值为 答案:12 ▲ 。



1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明或演 ....... 算步骤. 15、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ),0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。 (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力。满分 14 分。 (1)证明: (方法一)由 | a ? b |? 2 ,得: | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? 2 ,即 a ? 2a ? b ? b ? 2 。

?

?

? ?

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? ?

?2

? ? ?2

2? 2 a ?b ? 2 又a ? b ? , a ? b ? 0 ,故 a ? b 。 | a2 | ? | b | ?,所以 1
(方法二) a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ), 由 | a ? b |? 2 ,得: | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? 2 ,即: (cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? 2 ,
2 2

?2

?2

?

? ?? 2

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

3

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化简,得: 2(cos ? cos ? ? sin ? ? sin ? ) ? 0 ,

? ? ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,所以 a ? b 。
(2) a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ),

? ?

可得: ?

?cos ? ? cos ? ? 0??(1) ?sin ? ? sin ? ? 1??(2)

(方法一)由(1)得: cos ? ? cos(? ? ? ) ,又 0 ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? (0, ? ) ,故 ? ? ? ? ? 。 代入(2) ,得: sin ? ? sin ? ?

1 5? ? ,? ? 。 ,又 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 6 6

2 2 (方法二) (1) ? (2) ,得: 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1, cos(? ? ? ) ? ?

1 , 2

又 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) 。故有: ? ? ? ?

2? , 3

? ???

2? 2? ) ? cos ? ? 0, 代入(1)式: cos( ? ? 3 3
5? 1 3 3 ? . cos ? ? sin ? ? 0, tan ? ? , ? ? . 从而 ? ? 6 2 2 3 6

化简,得:

? ?? ? ?? ? 2 cos cos ? 0?? (3) ? ? ?? ? 2 2 ? 0, (方法三)两式和差化积,得: ? 可得: cos ? ? ? ? ? ? 2 ?2sin cos ? 1?? (4) ? ? 2 2
又0 ? ? ?? ?? ,

? ??
2

? (0, ? ) ,所以

? ??
2

?

?
2



代入(4)式,可得: cos

? ??
2

?

1 ? ?? ? ? ?? ? ? (0, ) , ? 。 ,又 2 2 2 2 3

以上联立,解得: ? ?

5? ? ,? ? . 6 6

16、 (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC, AB ? BC ,AS=AB。过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F,点 E、G 分别为线 段 SA、SC 的中点。求证: (1)平面 EFG//平面 ABC; (2) BC ? SA 。 [解析] 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置 关系,考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。 证明: (1)因为 AS=AB,AF⊥SB 于 F,所以 F 是 SB 的中点。
4

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又 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB。因为 EF ? 平面 ABC,AB ? 平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC。 同理 可证 EG∥平面 ABC。又 EF∩EG=E,所以平面 EFG//平面 ABC。 (2)因为平面 SAB ? 平面 SBC 于 SB,又 AF ? 平面 SAB,AF⊥SB,所以 AF⊥平面 SBC。 因为 BC ? 平面 SBC,所以 AF⊥BC。 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF、AB ? 平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB。 又因为 SA ? 平面 SAB,所以 BC⊥SA。

17、 (本小题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 A(0,3), 直线 l : y ? 2 x ? 4 , 设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等 基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决问题的能力。满分 14 分。

18、 (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先 从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C。 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘 坐缆车到 B,在 B 处停留 1 分钟后,再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为 130 米/分钟,山路 AC 的长为 1260 米,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? 。 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
5

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(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? [解析] 本小题主要考查正弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识, 考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力。满分 16 分。

19、 (本小题满分 16 分) 设 { a n } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , S n 为其前 n 项和。记 bn ? 实数。 (1)若 c=0,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: S nk ? n 2 S k (n, k ? N ? ) (2)若 { b n } 为等差数列,证明:c=0。 [解析] 本小题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项、求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论 证能力。满分 16 分。

nSn , n ? N ? ,其中 c 为 2 n ?c

6

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x 20、 (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数。 (1)若 f ( x) 在 (1,??)

上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函 数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论。 [解析] 本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数、方程及不等式的相互转化,考 查综合运用数学思想方法分析与解决问题能力及推理论证能力。满分 16 分。

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