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高中数学第二章数列2

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第二章 数 列 §2.4 等比数列 (一) 学习 目标 1.通过实例,理解等比数列的概念并会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式,了解其推导过程. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 2 公比 q 答案 思考1 下列数列一定是等比数列的是________. (1)1,3,32 ,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…. 解析答案 思考2 答案 若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列吗? 不一定. 当a1=0时,按上述递推关系,该数列为常数列,且常数为0,故{an}不 一定为等比数列. 等比中项 知识点三 等比数列的通项公式 已知等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q(q≠0) ,该等比数列的通项公 n-1 a = a q 1 式为 n . 答案 思考1 解析 已知等比数列{an}中,a1=1,a3=9,则a2=______. ±3 ∵a3=a1· q2, ∴9=q2, ∴q=±3, ∴a2=a1q=±3. 解析答案 思考2 答案 除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式. 还可以用累乘法. an-1 a2 an 当 n>2 时, =q , =q,…,a =q, an-1 an-2 1 an an-1 a2 上述各式相乘得 · …a =qn-1, an-1 an-2 1 an ∴a =qn-1, 1 ∴an=a1qn-1(n>2), 又当n=1时,a1=a1q1-1,符合上式, 当n=2时,a2=a1· q2-1,符合上式, ∴an=a1qn-1(n∈N*). 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 等比数列的通项公式及应用 例1 在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n; 解 ∵an=a1· qn-1, ∴4· 2n-1=128, ∴2n-1=32, ∴n-1=5,n=6. 解析答案 (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1; 625 an 解 a1= n-1= 4-1=5,故 a1=5. q 5 (3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式. 解 a3=a1· q2,即8=2q2, ∴q2=4,∴q=±2. 当q=2时,an=a1qn-1=2· 2n-1=2n, 当q=-2时,an=a1qn-1=2(-2)n-1=(-1)n-12n, ∴数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 在等比数列{an}中, (1)已知a3=2,a5=8,求a7; 1 23 1 3 ∴a7=a1q =2(q ) =2· 4 =32. 6 解析答案 (2)已知a3+a1=5,a5-a1=15,求通项公式an. 解 a3+a1=a1(q2+1)=5, a5-a1=a1(q4-1)=15, ∴q2-1=3,∴q2=4,∴a1=1, ∴a1=1,q=±2, ∴an=a1qn-1=(±2)n-1. 解析答案 题型二 等比数列的判定与证明 例2 已知f(x)=logmx(m>0且m≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an),…是首 项为4,公差为2的等差数列, 求证:数列{an}是等比数列. 证明 由题意知f(an)=4

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