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高中数学第二章数列2_4等比数列一课件新人教A版必修5_图文

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第二章 数 列 §2.4 等比数列 (一) 学习 目标 1.通过实例,理解等比数列的概念并会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式,了解其推导过程. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 2 公比 q 答案 思考1 下列数列一定是等比数列的是________. (1)1,3,32 ,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…. 解析答案 思考2 答案 若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列吗? 不一定. 当a1=0时,按上述递推关系,该数列为常数列,且常数为0,故{an}不 一定为等比数列. 等比中项 知识点三 等比数列的通项公式 已知等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q(q≠0) ,该等比数列的通项公 n-1 a = a q 1 式为 n . 答案 思考1 解析 已知等比数列{an}中,a1=1,a3=9,则a2=______. ±3 ∵a3=a1· q2, ∴9=q2, ∴q=±3, ∴a2=a1q=±3. 解析答案 思考2 答案 除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式. 还可以用累乘法. an-1 a2 an 当 n>2 时, =q , =q,…,a =q, an-1 an-2 1 an an-1 a2 上述各式相乘得 · …a =qn-1, an-1 an-2 1 an ∴a =qn-1, 1 ∴an=a1qn-1(n>2), 又当n=1时,a1=a1q1-1,符合上式, 当n=2时,a2=a1· q2-1,符合上式, ∴an=a1qn-1(n∈N*). 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 等比数列的通项公式及应用 例1 在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n; 解 ∵an=a1· qn-1, ∴4· 2n-1=128, ∴2n-1=32, ∴n-1=5,n=6. 解析答案 (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1; 625 an 解 a1= n-1= 4-1=5,故 a1=5. q 5 (3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式. 解 a3=a1· q2,即8=2q2, ∴q2=4,∴q=±2. 当q=2时,an=a1qn-1=2· 2n-1=2n, 当q=-2时,an=a1qn-1=2(-2)n-1=(-1)n-12n, ∴数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 在等比数列{an}中, (1)已知a3=2,a5=8,求a7; 1 23 1 3 ∴a7=a1q =2(q ) =2· 4 =32. 6 解析答案 (2)已知a3+a1=5,a5-a1=15,求通项公式an. 解 a3+a1=a1(q2+1)=5, a5-a1=a1(q4-1)=15, ∴q2-1=3,∴q2=4,∴a1=1, ∴a1=1,q=±2, ∴an=a1qn-1=(±2)n-1. 解析答案 题型二 等比数列的判定与证明 例2 已知f(x)=logmx(m>0且m≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an),…是首 项为4,公差为2的等差数列, 求证:数列{an}是等比数列. 证明 由题意知f(an)=4+2(n-1)=2n+2=logman, ∴an=m2n+2, an+1 m2?n+1?+2 ∴ a = 2n+2 =m2, m n ∵m>0且m≠1,∴m2为非零常数, ∴数列{an}是等比数列. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 2an+1=0. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an- (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 解析答案 题型三 构造等比数列求数列的通项公式 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; 解析答案 (2)求数列{bn}的通项公式. 解 由(1)可知 ? ? ? ?1? 1? ? ? ?1?n-1 ? ?n cn=?-2?· =- ? ? ? ? , 2 ? ? ? ? ?2? ?1? ?n ∴an=cn+1=1-? ? ? . ?2? ∴当 n≥2 ?1? ? ?1? ? ? ?n ? ? ?n-1? 时,bn=an-an-1=1-?2? -?1-?2? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? ? ?n-1 ? ?n ? ?n =?2? -?2? =?2? . ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ? ?n 又 b1=a1=2,代入上式也符合,∴bn=?2? . ? ? 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 2+6a +6(n∈N*),设c = 数列{an}满足a1=2,an+1=an n n log5(an+3). (1)求证:{cn}是等比数列; 证明 由 2 an+1=an+6an+6,得 an+1+3=(an+3) . 2 ∴log5(an+1+3)=log5(an+3)2=2log5(an+3), 即cn+1=2cn, 又c1=log55=1≠0, cn+1 ∴ c =2, n ∴{cn}是等比数列. 解析答案 (2)求数列{an}的通项公式. 解 由(1)知, 数列{cn}是以1为首项,以2为公比的等比数列, ∴cn=2n-1, 即log5(an+3)=2n-1, ∴an+3=5 2n ?1 . 故an= 5 2n ?1 -3. 解析答案 易错点 忽略等比数列中的项的符

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