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高三数学二轮复习第一篇专题突破专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、算法、推理与证明、计_图文

时间:

第4讲 算法、推理与证明、计数原理

考情分析

总纲目录
考点一 考点二 考点三 考点四 程序框图(渗透数学文化) 合情推理 排列与组合 二项式定理(高频考点)

考点一

程序框图(渗透数学文化)

两种循环结构的特点
直到型循环结构:在执行了一次循环体后,对条件进行判断,如果条件不 满足,就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环. 当型循环结构:在每次执行循环体前,对条件进行判断,当条件满足时,执 行循环体,否则终止循环.

典型例题
(1)(2017课标全国Ⅰ,8,5分)下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 0 00的最小偶数n,那么在? 和? 两个空白框中,可以分别填入( )

?
A.A>1 000和n=n+1 B.A>1 000和n=n+2

C.A≤1 000和n=n+1

D.A≤1 000和n=n+2

(2)(2015课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别 为14,18,则输出的a=? ( )

?
A.0 B.2 C.4 D.14

答案 (1)D (2)B 解析 (1)本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,可判断出循环结 构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果, 所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此
?

中语句应为n=n+2,故选D.

(2)开始:a=14,b=18, 第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4;

第五次循环:a=2,b=2.
此时,a=b,退出循环,输出a=2.

方法归纳
1.解答程序框图(流程图)问题的方法 (1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是 循环结构,在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中, 都有循环结构. (2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结

束循环;弄清循环体和输入条件、输出结果.
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次 列出前几次循环结果,找出规律. 2.程序框图与古代数学名著《九章算术》结合命题是高考的热点,本例 (2)的程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大 公约数的“更相减损术”.

跟踪集训
1.(2017课标全国Ⅲ,7,5分)执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,

则输入的正整数N的最小值为? (

)

A.5

B.4

C.3

D.2

答案 D 要求的是最小值,观察选项,发现选项中最小的为2,不妨将2 代入检验. 当输入的N为2时,第一次循环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t =3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.

2.(2017太原模拟试题)执行如图的程序框图,已知输出的s∈[0,4].若输入
的t∈[0,m],则实数m的最大值为? ( )

?
A.1 B.2 C.3 D.4

答案 D

?3t , t ? 1, 由程序框图得s= ? 的图象如图所示.由图象得,若输 2 4 t ? t , t ? 1 ?

?

入的t∈[0,m],输出的s∈[0,4],则m的最大值为4,故选D.

?

3.(2017云南第一次统一检测)公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆
内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π.他从圆内接正六边形 算起,令边数一倍一倍地增加,即12,24,48,…,192,…,逐个算出正六边形, 正十二边形,正二十四边形,…,正一百九十二边形…的面积,这些数值逐 步地逼近圆的面积,刘徽一直计算到正一百九十二边形,得到了圆周率π 精确到小数点后两位的近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”,并且 把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不

可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已
知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限来逼近无限.这种思想极 其重要,对后世产生了巨大影响.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设 计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n的值为? ( )

3 ≈1.732,sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5) (参考数据:?

?
A.48 B.36 C.30 D.24
3 3 2

答案 D 第一次循环:S=? <3.10,n=12;
第二次循环:S=3<3.10,n=24; 第三次循环:S=12sin 15°≈12×0.258 8=3.105 6>3.10,退出循环,输出的n=

24.故选D.

考点二

合情推理

两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程:

试验、观察→概括、推广→猜测一般结论
(2)类比推理的思维过程: 试验、观察→联想、类推→猜测新的结论

典型例题
(2017新疆第二次适应性检测)当x≠1且x≠0时,数列{nxn-1}的前n项和Sn=
1+2x+3x2+…+nxn-1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得,也可 以由x+x2+x3+…+xn(n∈N*)按等比数列的求和公式,先求得x+x2+x3+…+xn
x ? x n?1 2 3 n =? , 两边都是关于 x 的函数 , 两边同时求导 , 得 ( x + x + x + … + x )'= 1? x
? x ? x n?1 ? 1 ? (n ? 1) x n ? nx n ?1 2 n-1 ,按照同样的 ? ? ',从而得到Sn=1+2x+3x +…+nx =? 2 1 ? x (1 ? x ) ? ? 1 2 2 n n n C C C n x+? n x +…+? n x 出发,可以求得Sn=1×2 方法,请从二项展开式(1+x) =1+?

?

1 2 3 n C C C C n +2×3×? n +3×4×? n +…+n(n+1)×? n (n≥4)的值为 ×?

.(请填写最

简结果)

答案

n(n+3)· 2n-2

2 3 n C1 C2 C3 Cn 解析 依题意,对(1+x)n=1+? n x+? n x +? n x +…+? n x 两边同时求导, 2 n-1 C1 C2 C3 Cn 得n(1+x)n-1=? n +2? n x+3? n x +…+n? n x ,① n-1 2 3 n 取x=1,得? +2 ? +3 ? + … + n ? = n · 2 ,② C1 C C C n n n n n 2 3 n ②×2得,2? +2 × 2 ? +2 × 3 ? + … +2 n ? = n · 2 ,③ C1 C C C n n n n

3 n n再对①式两边同时求导,得n(n-1)(1+x)n-2=1×2? +2 × 3 ? x + … + n ( n -1) ? x C2 C C n n n
2

,

n-2 3 n 取x=1,得1×2? +2 × 3 ? + … + n ( n -1) ? = n ( n -1)· 2 ,④ C2 C C n n n n n-2 n-2 2 3 n ③+④得1×2? +2 × 3 ? +3 × 4 ? + … + n ( n +1) ? = n · 2 + n ( n -1)· 2 = n ( n +3)· 2 . C1 C C C n n n n

方法归纳
合情推理的解题思路 (1)在进行归纳推理时,要先把已知的部分个体适当变形,找出它们之间 的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过 类比,推导出类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

跟踪集训
观察下列等式;
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1-? +? -? =? +? , 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1-? +? -? +? -? =? +? +? , 2 3 4 5 6 4 5 6

1-? =? ,

…… 据此规律,第n个等式可为 .

答案

1 1 1 1 1 1 1 1 1-? +? -? +…+? -?=? +? +…+? 2 3 4 2n ? 1 2 n n ? 1 n ? 2 2n

解析 规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子
1 1 -?;等式右边共 2n ? 1 2 n 1 1 1 有n项且分母分别为n+1,n+2,…,2n,分子为1,即为? +? +…+?,所 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 以第n个等式可为1-? +? -? +…+? -?=? +? +…+?. 2 3 4 2n ? 1 2 n n ? 1 n ? 2 2n

为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-? +? -? +…+?

1 1 1 2 3 4

考点三
名称 相同点 不同点 排列

排列与组合
组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 ①排列与顺序有关; ①组合与顺序无关;

②两个排列相同,当且仅当这两个排 ②两个组合相同,当且仅当这 列的元素及其排列顺序完全相同 两个组合的元素完全相同

典型例题
(1)(2017课标全国Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少 完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
?(

)

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种

(2)(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多 有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 作答) 个.(用数字

答案 (1)D (2)1 080
C2 解析 (1)第一步:将4项工作分成3组,共有? 4 种分法.
3 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有? ? C2 A3 A 4· 3 种分配方法,故共有? 3=

36种安排方式,故选D.
4 3 (2)有一个数字是偶数的四位数有? ? ? A C1 C 4 =960个; 4 5 4 没有偶数的四位数有? =120个. A5

故这样的四位数一共有960+120=1 080个.

方法归纳
求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合; 分类相加,分步相乘. 解排列、组合的应用题,通常有以下途径: (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列

或组合数.

跟踪集训
1.(2017郑州第二次质量预测)将数“124467”重新排列后得到不同的
偶数的个数为? ( A.72 B.120 ) C.192 D.240
5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 =60种情况;(2)若 2

答案 D 将数“124467”重新排列后为偶数,则末位数字应为偶数.

(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有?
末位数字为6,同理有?

5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 =60种情况;(3)若末位数字为4,因为有 2

两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120 =240种情况.

2.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多
抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额 相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有? ( A.35种 B.24种 C.18种 D.9种 )

答案 C 若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被
2 A2 A3 剩下的3名成员中的2名抢走,有? =12种情况;若甲、乙抢的是两个2 2?

元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有
2 A2 ? =6种情况.根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的 C3 2?

情况共有12+6=18(种).

考点四
命题点

二项式定理(高频考点)

1.利用通项求展开式的特定项. 2.利用通项求展开式中项的系数. 3.由已知条件求参数的值.
1.通项与二项式系数
n-k k Ck Ck Tk+1=? n a b (k=0,1,2,…,n),其中? n 叫做二项式系数.

【注意】 Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项. 2.各二项式系数之和
n C0 C1 C2 Cn (1)? n +? n +? n +…+? n =2 . n-1 (2)? C1 C3 C0 C2 n +? n +…=? n +? n +…=2 .

典型例题
? (1)(2017课标全国Ⅰ,6,5分)? ?1 ? ? 1 ? 6 2 (1+ x ) 的展开式中 x 的系数为? ( 2 ? x ?

)

A.15

B.20

C.30

D.35

(2)(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4= ,a5=
? ?

.
1 ? 1 ? ? 6 2 1 ? (1+ x ) , 若要得到 x 项 , 可以在 ? ? ? 2 ? 中选取1,此时 x2 ? x ? ?

答案 (1)C (2)16;4
解析 (1)对于? ?1 ?

2 C6 (1+x)6中要选取含x2的项,则系数为? ;

当在? ?1 ?

? ?

1 1 ? 6 4 4 C 中选取 ? 时 ,(1+ x ) 中要选取含 x 的项 , 即系数为 ? ? 6, x2 x2 ?

2 4 所以,展开式中x2项的系数为? +? =30,故选C. C6 C6

(2)设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,
2 则a4=b2c2+b3c1=? ×12×22+13×? ×2=16,a5=b3c2=13×22=4. C3 C1 2

方法归纳
C nan-kbk时,要注意以下几点: 1.在应用通项Tk+1=?
k

(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与k确定,该项就随之确定; (2)Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项; (3)公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置;

(4)对二项式(a-b)n展开式的通项要特别注意符号问题.
2.在二项式定理的应用中,“赋值法”是处理系数问题的常用方法.

跟踪集训
1 ? ? a x ? 1.(2017郑州第一次质量预测)设a=? sin x d x , 则 ? ? 的展开式中 ?0 x? ?
?

?

6

常数项是? ( A.-160 B.160

) C.-20 D.20

|? 答案 A 依题意得,a=-cos x? 0 =-(cos π-cos 0)=2,

?

6-r ? 6-r 1 ? =? 1 ? 的展开式的通项T =?r · 1 ? =? ? r · 2 r+1 C (2?x ) · a x ? 2 x ? ? C 6 6 ? ? ? ? ? ? x? ? x? x ? ? ?

6

?

6

?

r

· (-1)r· x3-r. 令3-r=0,得r=3.
1 ? ? 3 3 3 因此 ? a x ? 的展开式中的常数项为 ? × 2 × (-1) =-160,故选A. C 6 ? x? ?

?

6

2.(2017合肥第一次教学质量检测)已知(ax+b)6的展开式中含x4项的系数
与含x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和 为? ( A.-1 ) B.1 C.32 D.64

2 4 2 C6 答案 D 由二项展开式的通项公式可知含x4项的系数为? a b ,含x5项
2 4 2 ?C 6 a b ? 135, 的系数为 C a b,则由题意可得 ? 1 5 解得a+b=±2,故(ax+b)6的展 ?C6 a b ? ?18,

1 ?6

5

?

开式中所有项的系数之和为(a+b)6=64,故选D.

3.(2017郑州第二次质量预测)已知幂函数y=xa的图象过点(3,9),则

?

?a ? ? x ? ? 的展开式中x的系数为 x ? ?

8

.

答案 112 解析
?x )
k

?a ? k?2? C8 因为3a=9,所以a=2,所以 ? ? x ? 的展开式的通项Tk+1=? ? ? ?x ? ? x?

?

8

?

8? k

(-

x = C (-1)k28-k?

k ?8

3 k ?8 2

3 ?a ? ,令? k-8=1,得k=6,所以? ? x ? 的展开式中x的系数 2 ?x ?

?

8

6 C8 为? (-1)628-6=112.

随堂检测
1.(2017郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有 5条对角线,依次类推,凸十三边形的对角线条数为( A.42 B.65 C.143 D.169 )

答案 B 根据题设条件可以通过列表归纳分析得到:
凸多边形 四 五 2+3 六 2+3+4 七 2+3+4+5 八 2+3+4+5+6

对角线条数 2

n(n ? 3) 所以凸n边形有2+3+4+…+(n-2)=? 条对角线,所以凸十三边形的对 2 13 ? (13 ? 3) 角线条数为? =65,故选B. 2

2.(2017郑州第二次质量预测)要计算1+? +? +…+?
框图中的判断框内可以填? ( )

1 1 2 3

1 的结果,下面程序 2 017

?
A.n<2 017 C.n>2 017 B.n≤2 017 D.n≥2 017
1 1 2 3

答案 B 题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环,累加变量初 始值为0,计数变量初始值为1,要计算S=0+1+? +? +…+? 要计算2 017次,故选B.
1 的值,共需 2 017

3.(2017沈阳教学质量检测(一))中国古代数学著作《孙子算经》中有这
样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几 何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N除以正整数m 后的余数为n,则记为N=n(mod m),例如11=2(mod 3).现将该问题以程序 框图的形式给出,执行该程序框图,则输出的n等于? ( )

A.21

B.22

C.23

D.24

答案 C 该程序框图的作用是求被3除后的余数为2、被5除后的余数 为3的数,在所给的选项中,满足被3除后的余数为2、被5除后的余数为3 的数只有23,故选C.

1 ? ? * 4.若 ? 9 x ? ? (n∈N )的展开式中第3项的二项式系数为36,则其展开 3 x? ?

?

n

式中的常数项为? ( A.84 答案 A B.-252

) C.252
2 ?n

D.-84

1 ? ? 1 ? ? 9 x ? 由题意可得 C =36,∴n=9,∴ ? 9 x ? = ? ? ? 的展开 3 x 3 x ? ? ? ?

?

n

?

9

3r ? 1 ? 9? 2 ? x 式的通项为Tr+1= C · 9 · · ? , 令 9?=0,得r=6, ? ? 2 ? 3?
r ?9
9-r

?

r

3r

1? 6 C9 ? ∴展开式中的常数项为? ×93×? ? ? =84. ? 3?

?

6

5.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= 答案 4
r r 2 2 Cr C2 解析 (1+3x)n的展开式的通项Tr+1=? n 3 x ,∴含有x 项的系数为? n 3 =54,

.

∴n=4.

6.(2017东北四市高考模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,
每人一张,若甲、乙分得的电影票连号,则共有 (用数字作答) 答案 48 解析 甲、乙分得的电影票连号只有4种情况,则甲、乙2人在这4种情
2 A C1 况中选一种,共? 种选法 ,2 张票分给甲、乙 , 共有 ? 2 种分法,其余3张票分 4

种不同的分法.

A2 给其他3个人,共有? C1 A3 A3 2? 4? 3 种分法,根据分步乘法计数原理,可得共有? 3=

48种分法.


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