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2014年沈阳市高中三年级数学教学质量监测(理科)含答案

时间:2014-01-15


2014 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)



学(理科)

命题:东北育才双语学校 王海涛 沈阳市第 20 中学 李蕾蕾 沈阳市第 11 中学 孟媛媛 东北育才学校 侯雪晨 沈阳市第 120 中学 董贵臣 沈阳市第 4 中学 韩 娜 主审:沈阳市教育研究院 王孝宇 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答 题卡上,并将条形码粘贴在答题卡指定区域. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {1,2} , B ? {2,3,5} ,则 (CU A) ? B ? A. ?3, 5? B. ?3, 4, 5? C. ?2,3, 4,5? D. ?1, 2,3, 4?

2. 若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 5 ,则 z 的虚部为 A.

4 5

B.-

4 5

C.4

D.-4

? ? ? ? 3.设向量 a ? (m,1) , b ? (2,?3) ,若满足 a // b ,则 m ?
A.

1 3

B. ?

1 3

C.

2 3

D. ?

2 3

4.已知 x ? R ,则“ x 2 ? 3x ? 0 ”是“ x ? 4 ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 在等比数列 ?an ? 中,若 a 4 , a 8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,则 a 6 的值是
A. ?

2

B. ?

2

C.

2

D. ? 2

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6. 在满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 的平面点集中随机取一点 M ( x0 , y 0 ) ,设事件 A =“ y 0 ? 2 x 0 ” , ?y ? 0 ?

那么事件 A 发生的概率是 A.
1 4

B.

3 4

C.

1 3

D.

2 3

高三数学(理科)试卷

第 1 页 (共 5 页)

7. 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于 70 分的学生数是
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

A. 300 8. 已知双曲线 A.2
y2 t2 ?

B. 400

C. 500

D. 600

x2 1 ? 1 (t ? 0) 的一个焦点与抛物线 y ? x 2 的焦点重合,则此双曲线的离心率为 3 8

B. 3

C.3

D.4

开始

9. 有如图所示的程序框图,则该程序框图表示的 算法的功能是 A.输出使 1 ? 2 ? 4 ? ?? n ? 1000 成立的最小整数 n . B.输出使 1 ? 2 ? 4 ? ?? n ? 1000 成立的最大整数 n . C.输出使 1 ? 2 ? 4 ? ?? n ? 1000 成立的最大整数 n +2. D.输出使 1 ? 2 ? 4 ? ?? n ? 1000 成立的最小整数 n +2. 10. 已知直线 ax ? by ? c ? 1 ? 0 ( bc ? 0 )经过圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 5 ? 0 的圆心,则 A.9 B.8 C.4 D.2
输出 i 结束 是

s ?1 i?2

s ? 1000?


s ? s ?i
i ?i ? 2

4 1 ? 的最小值是 b c

11. 已知四面体 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB ? 平面 ABC , AB ? AC ,且 AC ? 1 ,

PB ? AB ? 2 ,则球 O 的表面积为
A. 7? B. 8? C. 9? D. 10?
f ( x) 1 ? 0 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 的零点 x x

12. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的可导函数,当 x ? 0 时,有 f ?( x) ? 个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

高三数学(理科)试卷

第 2 页 (共 5 页)

第Ⅱ卷 (共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13. 某一容器的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________. 14. 已知 ?ABC 的三个内角 ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c , 且
cos A a ,则角 A 的大小为 ?? cos B b ? 2c

2 2 2

.

? x ( xy ? 0) 15. 定义运算: x?y ? ? ,例如: 3?4 ? 3 , (?2)?4 ? 4 , ? y ( xy ? 0)

则函数 f ( x) ? x 2 ?(2 x ? x 2 ) 的最大值为____________. 16. 已 知 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且 当 x ? ?0,1? 时 ,

f ( x) ? l o g 2 ( x ? 1) ,给出下列命题:
① f (2013) ? f (?2014) 的值为 0;②函数 f ( x) 在定义域上为周期是 2 的周期函数; ③直线 y ? x 与函数 f ( x) 的图像有 1 个交点;④函数 f ( x) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的命题序号有 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ,记函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? ,
? ? ? 向量 a ? (2, cos ?) , b ? (1, tan(? ? )) 2

(0 ? ? ?

? ? 7 ? ),且 a ? b ? . 4 3

(Ⅰ)求 f ( x) 在区间 [ (Ⅱ)求

2? 4? , ] 上的最值; 3 3

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ?) 的值. cos ? ? sin ?

高三数学(理科)试卷

第 3 页 (共 5 页)

18. (本小题满分 12 分)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团) : 围棋社 男生 女生 5 15 舞蹈社 10 30 拳击社 28 m

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人,结果拳 击社被抽出了 6 人. (Ⅰ)求拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生的概率; (Ⅱ)设拳击社团有 X 名女生被抽出,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

19. (本小题满分 12 分)四棱锥 S ? ABCD ,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知 ?DAB ? 135? , BC ? 2 2 ,

S

SB ? SC ? AB ? 2 , F 为线段 SB 的中点.
(Ⅰ)求证: SD // 平面 CFA ; (Ⅱ)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角大小.
B

F C A D

1 ax ? b . 2 (Ⅰ)若 f ( x) 与 g ( x) 在 x ? 1 处相切,试求 g ( x) 的表达式;

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

(Ⅱ)若 ? ( x) ?

m( x ? 1) ? f ( x) 在 [1,??) 上是减函数,求实数 m 的取值范围; x ?1
1 1 1 1 2n n 1 1 1 ? ? ??? ? ? ?1? ? ??? . ln(n ? 1) 2 n ? 1 ln 2 ln 3 ln 4 2 3 n

(Ⅲ)证明不等式:

21. (本小题满分 12 分)已知两点 A(?2,0), B(2,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且这两条直线的斜率之积 为?

3 . 4
2 2 2

(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) 记点 M 的轨迹为曲线 C, 曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1, 直线 PE、 PF 与圆 ? x ? 1? ? y ? r (0 ? r ?

3 )相切于点 E、F,又 PE、PF 与曲线 C 的另一交点分别为 Q、R. 2

求△OQR 的面积的最大值(其中点 O 为坐标原点).

高三数学(理科)试卷

第 4 页 (共 5 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P ,直线 AB 是两圆的外 公切线, 分别与两圆相切于 A、B 两点,AC 是圆 O1 的直径, 过 C 作圆 O2 的切线,切点为 D . (Ⅰ)求证: C, P, B 三点共线; (Ⅱ)求证: CD ? CA .

A

B
O2

O1

P

C

D

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 8 ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 点. (p∈R) (Ⅰ)求 A 、 B 两点的极坐标;
? 3 x ?1? t ? ? 2 ( t 为参数)分别相交于 M , N 两点,求线段 MN 的长度. (Ⅱ)曲线 C1 与直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

? ,曲线 C1 、 C 2 相交于 A 、 B 两 6

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2x ? 2 | ? | 2x ? 3 | . (Ⅰ)若 ?x ? R ,使得不等式 f ( x) ? m 成立,求 m 的取值范围; (Ⅱ)求使得等式 f ( x) ?| 4x ? 1 | 成立的 x 的取值范围.

高三数学(理科)试卷

第 5 页 (共 5 页)

2014 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学(理科)参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、 选择题 参考答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 A 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 8 ?
2? 3

14.

2? 3

15.4

16.①③④

三、解答题:本大题共 70 分.
? 17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 = 2 sin( x ? ) ? 2 3

--------3 分 ---------------4 分 ---------------6 分 ---------7 分

? x? [

2? 4? ? ? , ] ,? x ? ? [ , ?] 3 3 3 3

? f ( x) 的最大值是 4 ,最小值是 2
(Ⅱ) ? ? ? 2?
? ?

? a ? b ? 2 ? cos ? tan(? ? ?) ? 2 ? sin ? ?
?s i n ??
?

7 3

1 3

---------------9 分

4 2 2 cos2 ? ? sin 2(? ? ?) 2 cos2 ? ? sin 2? = = 2 cos? = 2 1 ? sin 2 ? = --------12 分 cos ? ? sin ? 3 cos ? ? sin ?

(此处涉及三个三角公式,请各位阅卷老师酌情处理)

18. 解: (Ⅰ)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人,拳击社被抽出了 6 人
高三数学(理科)试卷 第 6 页 (共 5 页)

?

6 18 ? 28 ? m 20 ? 40 ? 28 ? m

?m?2
设 A ? “拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生”
? P( A) ?
5 1 C 28 C2 6 C 30

-----------3 分

?

48 145

--------------------6 分

(Ⅱ)由题意可知: X ? 0 ,1,2
P( X ? 0) ?
6 C 28 6 C 30

?

C 5 C1 92 48 , P( X ? 1) ? 286 2 ? 145 145 C 30 ? 5 1 ? 145 29

P( X ? 2) ?

4 2 C 28 C2 6 C 30

---------------------9 分

X

0
92 145

1
48 145

2
1 29

P
? E( X ) ? 0 ?

------------11 分

92 48 1 58 ? 1? ? 2? ? 145 145 29 145

------------------12 分

19. 解:(Ⅰ) 连结 BD 交 AC 于点 E ,连结 EF 由于底面 ABCD 为平行四边形

? E 为 BD 的中点.

------------------2 分

高三数学(理科)试卷

第 7 页 (共 5 页)

在 ?BSD 中, F 为 SB 的中点 ? EF // SD 又因为 EF ? 面 CFA , SD ? 面 CFA ,

------------------3 分

? SD // 平面 CFA .

------------------5 分

(Ⅱ)以 BC 的中点 O 为坐标原点,分别以 OA, OC, OS 为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系. 则有 A( 2 ,0,0) , B(0,? 2 ,0) , S (0,0, 2 ) , C (0, 2 ,0)
? SA ? ( 2 ,0,? 2 ) , SB ? (0,? 2 ,? 2 ) , CS ? (0,? 2 , 2 ) , CD ? BA ? ( 2 , 2 ,0)

------------------7 分 设平面 SAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z )
? ?n1 ? SA ? 0 由? ? ?n1 ? SB ? 0

z

? ? 2x ? 2z ? 0 得? , ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?
--------9 分

S

F

令 z ? 1 得: x ? 1, y ? ?1 ? n1 ? (1,?1,1)

同理设平面 SCD 的一个法向量为 n 2 ? (a, b, c)
? ?n 2 ? CD ? 0 由? ? ?n 2 ? CS ? 0

B A

O
E

C

y D

? ? 2 a ? 2b ? 0 得? , ? ? ? 2b ? 2 c ? 0

x

令 b ? 1 得: a ? ?1, c ? 1

? n2 ? (?1,1,1)

------------------10 分

设面 SCD 与面 SAB 所成二面角为 ?

? cos ? ?| cos ? n1 , n 2 ?|?|

n1 ? n 2 | n1 || n 2 |

|=

1 3

1 ?? ? a r c c o s 3

---------------12 分

20. 解: (Ⅰ)由已知 且 f ?( x) ? 又? g (1) ? 0 ? (Ⅱ) ? ( x) ?

1 1 ? f ?(1) ? 1 ? a x 2

得: a ? 2

------------------2 分 ----------------3 分

1 a ? b ? b ? ?1 ? g ( x) ? x ? 1 2

m( x ? 1) m( x ? 1) ? f ( x) ? ? ln x 在 [1,??) 上是减函数, x ?1 x ?1
高三数学(理科)试卷 第 8 页 (共 5 页)

? ??( x) ?

? x 2 ? (2m ? 2) x ? 1 x( x ? 1) 2

? 0 在 [1,??) 上恒成立.

------------------5 分
1 , x ?[1,??) x

即 x 2 ? (2m ? 2) x ? 1 ? 0 在 [1,??) 上恒成立,由 2m ? 2 ? x ?
?x ? 1 ? [2,??) x

? 2m ? 2 ? 2

得m?2
x ( x ? 1) 2 1 1 1 ? 2( ? )? x ?1 x ln x

------------------6 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)可得:当 x ? 2 时: ln x ? x ? 1 ?
? ln x ? 1 x( x ? 1) 2

得:

2 1 ? x( x ? 1) ln x

------------------8 分

1 1 1 当 x ? 2 时: 2( ? ) ? 1 2 ln 2

??

1 1 1 1 1 1 当 x ? 3 时: 2( ? ) ? 当 x ? 4 时: 2( ? ) ? 2 3 ln 3 3 4 ln 4 1 1 1 当 x ? n ? 1时: 2( ? , n? N? , n ? 2 )? n n ? 1 ln(n ? 1)
1 1 1 1 1 ? ? ??? )? ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) n ?1

上述不等式相加得: 2(1 ? 即:

1 1 1 1 2n ? ? ??? ? ln 2 ln 3 ln 4 ln( n ? 1) n ?1



------------------9 分

由(Ⅱ)可得:当 m ? 2 时: ?( x) ?

2( x ? 1) ? ln x 在 [1,??) 上是减函数 x ?1

? 当 x ? 1 时: ?( x) ? ?(1) ? 0
所以 ln x ?
2( x ? 1) x ?1



2( x ? 1) ? ln x ? 0 x ?1

从而得到:

1 1 x ?1 ? ? ln x 2 x ? 1

-----------------11 分

当 x ? 2 时: ??

1 1 4 1 1 5 当 x ? 4 时: ? ? ? ? ln 3 2 2 ln 4 2 3 1 1 n?2 当 x ? n ? 1时: , n? N? , n ? 2 ? ? ln(n ? 1) 2 n

1 1 3 ? ? ln 2 2 1

当 x ? 3 时:

上述不等式相加得:
?

1 1 1 1 1 3 4 5 n?2 ? ? ??? ? ( ? ? ??? ) ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) 2 1 2 3 n

1 2 2 2 2 n 1 1 1 (n ? ? ? ? ? ? ) ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 1 2 3 n 2 2 3 n 1 1 1 1 n 1 1 1 即 ? ? ??? ? ?1? ? ??? ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) 2 2 3 n



综上:

1 1 1 1 2n n 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ( n? N? , n ? 2 ) ln(n ? 1) 2 n ? 1 ln 2 ln 3 ln 4 2 3 n

------------------12 分 21. 解: (Ⅰ)设点 M ( x, y) , K AM K BM ? ?
3 4

?

y y 3 ? ?? x?2 x? 2 4

----------2 分

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) y 整理得点 M 所在的曲线 C 的方程: 4 3
(Ⅱ)由题意可得点 P( 1,

-----------------3 分

3 ) -----------------4 分 2
E
O A9 页 (共 5 页) 高三数学(理科)试卷 第

P

F
B R

x

Q

因为圆 ? x ? 1? ? y ? r 的圆心为(1,0) ,
2 2 2

所以直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数 ----------5 分 设直线 PE 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 与椭圆方程联立消去 y ,得:

3 , 2
-------------6 分

(4k 2 ? 3) x 2 ? (12k ? 8k 2 ) x ? ? 4k 2 ? 12k ? 3? ? 0 ,
由于 x ? 1 是方程的一个解,

4k 2 ? 12k ? 3 所以方程的另一解为 xQ ? 4k 2 ? 3
同理 xR ?

------------7 分

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 3

------------8 分

故直线 RQ 的斜率为

k RQ

8k 2 ? 6 3 3 ? k ( ? 2) ? k ( x ? 1) ? ? k ( x ? 1) ? R Q 2 yR ? yQ 1 4 k ? 3 2 2 = ? ? ? 24k xR ? xQ xR ? xQ 2 2 4k ? 3
------------9 分

把直线 RQ 的方程 y ?

1 x ? b 代入椭圆方程,消去 y 整理得 x2 ? bx ? b2 ? 3 ? 0 2
------------10 分

2 b 2 ? 4 ? b 2 ? 3? 15 ?1? 所以 RQ ? 1 ? ? ? ? ? 4 ? b2 1 2 ?2?

原点 O 到直线 RQ 的距离为 d ?

2b 5

------------11 分

S ?ORQ

2 2 2b 1 15 3 2 3 b ? ?4 ? b ? 2 2 ? ? 4?b ? ? b ?4 ? b ? ? ? 3. 2 2 2 2 2 5

---------------------12 分

22. 解: (Ⅰ)连结 PC,PA,PB,BO2,
? ? AC 是圆 O1 的直径 ? ?APC ? 90

A

B

------------2 分 连结 O1O2 必过点 P

O1

P

O2
D

? AB 是两圆的外公切线, A, B 为切点 ? ?BAP ? ?ACP ? ?
高三数学(理科)试卷

C
第 10 页 (共 5 页)

? ?AO1 P ? 2?
由于 O1 A ? AB, O2 B ? AB

? ?BO2 P ? ? ? 2?

? ?O2 BP ? ?

又因为 ?ABP ? ?O2 BP ? 90? ? ?ABP ? ?BAP ? 90? ? C, P, B 三点共线.------5 分 (温馨提示:本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论,请判卷老师酌情给分! ) (Ⅱ)?CD 切圆 O2 于点 D ? CD 2 ? CP ? CB 在 ?ABC 中, ?CAB ? 90? ,又? AP ? BC ? CA 2 ? CP ? CB 故 CD ? CA
?? 2 cos 2? ? 8 ? ? 23. 解: (Ⅰ)由 ? 得: ? 2 cos ? 8 ? ? 2 ? 16 ,即 ? ? ?4 ? 3 ?? ? 6 ?

------------7 分

------------10 分

------------3 分

? ? 7? 所以 A 、 B 两点的极坐标为: A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) 6 6 6

------------5 分 ------------6 分

(Ⅱ)由曲线 C1 的极坐标方程得其普通方程为 x ? y ? 8
2 2

? 3 x ?1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 8 ,整理得 t 2 ? 2 3t ? 14 ? 0 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

------------8 分

所以 | MN |?

(2 3 ) 2 ? 4 ? (?14) 1

? 2 17

-----------10 分
3 |) ? 5 2

24. 解: (Ⅰ)由 f ( x) ?| 2x ? 2 | ? | 2x ? 3 | = 2(| x ? 1 | ? | x ?

-----------3 分 -----------5 分 -----------7 分

?使得不等式 f ( x) ? m 成立的 m 的取值范围是 m ? 5
(Ⅱ)由 f ( x) ?| 2x ? 2 | ? | 2x ? 3 | ?| 2x ? 2 ? 2x ? 3 | = | 4x ? 1 |

所以 | 2 x ? 2 | ?|2x ? 3| =|4x ? 1| ,当且仅当 (2 x ? 2)(2 x ? 3) ? 0 时取等--------9 分
3 所以 x 的取值范围是 (??,?1] ? [ ? ?) 2

-----------10 分

高三数学(理科)试卷

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