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2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

时间:2013-10-15


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 设集合 A ? {2, 0, 1, 3} ,集合 B ? {x | ?x ? A, 2 ? x 2 ? A} .则集合 B 中所有元 素的和为 .
??? ? ??? ?

2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 满足 OA ? OB ? ?4 ,
F 是抛物线的焦点. 则 S?OFA ? S?OFB ?



3. 在 ?ABC 中 , 已 知 sin A ? 10sin B sin C , cos A ? 10cos B cos C , 则 tan A 的 值 为 . 4. 已知正三棱锥 P ? ABC 底面边长为 1, 高为 2 , 则其内切球半径为 .

5. 设 a, b 为实数, 函数 f ( x) ? ax ? b 满足: 对任意 x ? [0, 1] , 有 f ( x) ? 1 . 则 ab 的最大值为 .

6. 从 1, 2, ? , 20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率 为 . 7. 若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是 .

8. 已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ? {1, 2, ?, 8} ,均有
ai ?1 ? 1? ? ? ? ?2, 1, ? ? ,则这样的数列的个数为 ? ai ? 2 ? ? ? ?



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)给定正数数列 { xn } 满足 S n ≥ 2 S n ?1 , n = 2,3,? ,这里 S n = x1 + ? + xn .证明:存在常数 C > 0 ,使得
xn ≥ C ? 2n , n = 1, 2, ? .

10. ( 本 题 满 分 20 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 的 方 程 为
x2 y 2 右顶点,F1 、F2 分别为椭圆的左、 ? ? 1(a ? b ? 0) ,A1 、A2 分别为椭圆的左、 a 2 b2

右焦点, P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点.若平面中两个点 Q 、 R 满足
QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,试确定线段 QR 的长度与 b 的大小

关系,并给出证明. 11. (本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax 2 ? b ,求所有的正实数对 (a, b) ,使 得对任意实数 x, y ,有 f ( xy ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) .

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、 (本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ω 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E 、
F 为线段 AB 上两点,满足 AE = EF = FB .连接 PE、PF 并延长,与圆 ω 分别相

交于点 C、D.求证:

EF ? CD = AC ? BD .
(解题时请将图画在答卷纸上)
ω A E F P

B

C

D

二、 (本题满分 40 分) 给定正整数 u,v.数列 {an } 定义如下: a1= u + v , 对整数 m ≥ 1 ,

am + u , ?a2= m ? am + v . +1 ?a2 m =
记 S m = a1 + a2 + ? + am ( m = 1, 2, ?) . 证明: 数列 {S n } 中有无穷多项是完全平方数.

三、 (本题满分 50 分) 一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加, 其中 m, n ? 2 为给定的整数.每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答 对该题的学生得 x 分,未答对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分 总和. 将所有学生总分从高到低排列为 p1 ? p2 ? ? ? pn , 求 p1 ? pn 的最大可能值.

四、 (本题满分 50 分) 设 n, k 为大于 1 的整数, n < 2k .证明:存在 2 k 个 不被 n 整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


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