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上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:数系的扩充与复数的引入 Word版含答案

时间:2014-02-28


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

1.若等比数列 ( )

?an ? 前 n 项和为 S n

? ?2 ? a
n

z?
,则复数

i a ? i 在复平面上对应的点位于
D.第四象限

A.第一象限 【答案】A 2.已知复数 z1

B.第二象限

C.第三象限

? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若
B.-6

z1 是实数,则实数 b 的值为( z2
C .0 D.

)

A.6 【答案】A 3.复数 z ? A. 2 【答案】B 4.

1 6

1 ? 3i 的虚部是( 1? i

) C. 2i D. ? 2i

B. ? 2

2?i 2?i 的值是( ? 1 ? 2i 1 ? 2i
A.i B.2i

) C .0 D.

4 5 1 ” 2

【答案】C 5. 已知 i 为虚数单位,a 为实数, 复数 z ? (1 ? 2i)( a ? i) 在复平面内对应的点为 M, 则 “a ? 是“点 M 在第四象限”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】C 6.复数 z ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

,则复数 ( z ? 1)( z ? 1) 虚部是( ? 1 ? i ( i 是虚数单位) B.-1 C .2 i

) D.2

A.-1+2 i 【答案】D

7.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若 A. 【答案】D 8.下面是关于复数 z ? 2 B. -2

z1 为实数,则实数 m 的值为( z2
C.

) D. ?

3 2

3 2

2 的四个命题: 1? i

p1 : z ? 2 ,

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为 ?1 ? i
其中真命题为( A. p2 , p3 【答案】C 9.在复平面内,复数 A.第一象限 【答案】B 10. ) B. p1 , p2

p4 : z 的虚部为 1

C. p2 , p4

D. p3 , p4

i 2 +(1+ 3 i) 对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

(1 ? 2i ) 2 (2 ? i) 2 等于( ? 1? i 1? i
A. 3 ? 4i

) C. 3 ? 4i D. ? 3 ? 4i

B. ? 3 ? 4i

【答案】B 11.已知 i 为虚数单位,则 A. 第一象限 【答案】A 12.设 i 为虚数单位,则复数 3 ? 4i 的虚部是( A. ) C. 4 共 90 分) D. ?4

i 1? i

所对应的点位于复平面内点( C. 第三象限

) D. 第四象限

B. 第二象限

4i

B.

?4i

【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若 i 为虚数单位,则复数 【答案】 1 ? 2i
2

3?i =____________. 1? i
2

14.若复数 z ? 2t ? 3t ? 2 ? (t ? 4)i (t ? R) 为纯虚数,则 t 的值为___________。 【答案】 ?

1 2

15.如果 z ? C ,且 【答案】 5 ? 1

z ? 1 ,则 z ? 1 ? 2i 的最大值为

16.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,复数 a ? bi ? 【答案】 ?1 ? 2i



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设复数 z ? lg m ? 2m ? 2 ? m ? 3m ? 2 i ,当 m 取何实数时?
2 2

?

? ?

?

(1) z 是纯虚数; (2) z 对应的点位于复平面的第二象限。

【答案】 (1) z 是纯虚数当且仅当 ? 解得, m ? 3

2 ? ?lg m ? 2m ? 2 ? 0

?
2

?

? ?m ? 3m ? 2 ? 0



2 ? ?lg m ? 2m ? 2 ? 0 (2)由 ? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

?

?

?? 1 ? m ? 1 ? 3 , 或1 ? 3 ? m ? 3 ?? ?m ? ?2或m ? ?1
所以当 ? 1 ? m ? 1 ? 3或1 ?

3 ? m ? 3 时,

z 对应的点位于复平面的第二象限。
18.实数 m 取什么值时,复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是 (1)实数? 【答案】(1)m=1
2

(2)纯虚数? (2)m=0
2

19.已知复数 z=(2m +3m-2)+(m +m-2)i,(m∈R)根据下列条件,求 m 值. (1) z 是实数;
2 2

(2)z 是虚线;

(3) z 是纯虚数;

(4)z=0.

【答案】 (1)当 m +m-2=0,即 m=-2 或 m=1 时,z 为实数; (2)当 m +m-2≠0,即 m≠-2 且 m≠1 时,z 为虚数;

1 ? ? 2m 2 + 3m ? 2 = 0 ? ? m = 或 m = ?2 (3)当 ? ,解得 ? , 2 2 ? ?m + m ? 2 ? 0 ? ?m ? ?2且m ? 1
即m =

1 时,z 为纯虚数; 2

1 ? 2 ? ? 2m + 3m ? 2 = 0 ? m = 或 m = ?2 (4)当 ? ,解得 ? ,即 m=-2 时,z=0. 2 2 m + m ? 2 ? 0 ? ? ? ?m ? ?2或m ? 1
20.设复数 z 满足 z ? 10 ,且 ?1 ? 2i ? z ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线 y ? x 上, 求z. 【答案】设 z ? x ? yi ( x、y ? R ) ∵ | z |? 10 ,∴ x ? y ? 10
2 2

而 (1 ? 2i) z ? (1 ? 2i)( x ? yi) ? ( x ? 2 y) ? (2 x ? y)i 又∵ ?1 ? 2i ? z 在复平面上对应的点在直线 y ? x 上, ∴ x ? 2 y ? 2x ? y 即?

? x 2 ? y 2 ? 10 ? x ? ?3 y

,∴ ?

?x ? 3 ? x ? ?3 或? ? y ? ?1 ? y ? 1

即 z ? ?(3 ? i) 21.已知复数 z1 ?

3 。 ? ? a 2 ? 3? i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单位) a?2

(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围; (2)若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根,求实数 m 的值.
2

【答案】 (1)由条件得, z1 ? z2 ? ?

? 3 ? ? 2 ? ? ? a 2 ? 3a ? 4 ? i ?a?2 ?

? 3 ? 2 ? 0, ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,故有 ? a ? 2 2 ? ?a ? 3a ? 4 ? 0

1 ? 2a ? 1 ? ? 0, ? ? ?2 ? a ? ? , ?? ?? a?2 2 ? ?2 ? a ? ? 1 ? ? ?a ? ?1或a ? 4 ?(a ? 4)(a ? 1) ? 0,
(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根
2

所以 z1 ? z1 ?

6 ? 6 ,即 a ? ?1 a?2

把 a ? ?1 代入,则 z1 所以 m ?

? 3 ? 2i, z1 ? 3 ? 2i

z1 ? z1 ? 13
m2 ? m ? 6 ? (m 2 ? 2m ? 15)i m?3

22. m 取何值时,复数 z ? (1)是实数;

(2)是纯虚数.

【答案】(1)

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? (2) ?m ? 3 ? 0 ? m ? 3或m ? ?2 ? 2 ?m ? m ? 6 ? 0
?当m ? 3或m ? ?2时,z是纯虚数.


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