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大学物理第5章—角动量

时间:2010-09-02


第五章

角动量
问:在质点问题中,我们将物体所受的力均作用于同一 在质点问题中, 并仅考虑力的大小和方向所产生的作用; 点,并仅考虑力的大小和方向所产生的作用;力的作用点的 位置对物体的运动有影响吗? 位置对物体的运动有影响吗?

F F


F F

Fi = 0

圆盘静止不动

∑F

i

=0

圆盘绕圆心转动

外力对物体转动的影响与力的大小、方向和作用点的位置有关。 外力对物体转动的影响与力的大小、方向和作用点的位置有关。

力矩
(1) 力对点O 的力矩

Mo

MO = r × F
大小为: 大小为: M
O

F
O .

= rF sin α

r
z

α

力矩的方向由右螺旋法则确定 力矩的方向由右螺旋法则确定 右螺旋法则

(2) 力对定轴Z 的力矩 力在转动平面内 O

ω

Mz = r × F = rF sin α

r
h
A

F
α

力不在转动平面内

z

F//

F

Mz = r × Fxy = rFxy sin α
讨论

O . r A

α

Fxy

(1) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, 等于该力对该轴的力矩。 等于该力对该轴的力矩。 (2) 合力矩等于各分力矩的矢量和 )

M = M1 + M 2 + M3 +

力的空间累积效应 力矩的空间累积效应

力的功、动能、动能定理. 力的功、动能、动能定理. 力矩的功、转动动能、动能定理. 力矩的功、转动动能、动能定理.

力矩的功
根据功的定义

dA = F dr = Fxycosθds

ω

d

π ∵α + θ = 2
= Mzd

ds = rd
O

dA = Fxy r sin αd

r ' dr
r
A
α

θ

Fxy

对一有限过程

A = ∫ Mzd
1

2

若 M Z= C

A = Mz (φ2 φ1)

讨论
(1) 合力矩的功等于各力矩的功的代数和。 合力矩的功等于各力矩的功的代数和。

A = ∫ Mdφ = ∫ (∑Mi )dφ = ∑∫ Midφ = ∑A i
φ 1 φ 1 i i φ 1 i

φ2

φ2

φ2

(2) 力矩的功就是力的功。 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 内力矩作功之和为零。 组成物体的质量元之间不发生相对位移) (组成物体的质量元之间不发生相对位移)

的均匀细直棒, 例6 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 面内转动, 面内转动,初始时它在水平位置 角位置时, 求 它由此下摆 θ 角位置时,重力力矩所作的功 解 重力的力矩为

l π l M = mg sin( θ) = mg cosθ 2 2 2
A = ∫ Mdθ = ∫
0

θ

θ

0

l mgcosθdθ 2

O



m

l

x

θ

C

lmg = sinθ 2

mg

如图) 质量 如图 例7 已知棒长 L ,质量 M ,在摩擦系数为 的桌面转动 (如图 求 摩擦力对 y 轴的力矩 解

df = gdm
M dm = dx L
摩擦力对 y 轴的力矩为

y

ω
M L

O

x x dx

M dM′ = xdf = gxdx L
M′ = ∫
L 0

M 1 gxdx = MgL L 2

在定轴转动中, 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算
例如(设垂直纸面向里为正) 例如(设垂直纸面向里为正) R T' R T T' T r

∑Mi = TR T' R

∑Mi = TR T' r

力的时间累积效应 力矩的时间累积效应

冲量、动量、动量定理. 冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、角动量定理. 冲量矩、角动量、角动量定理

角动量
质点的角动量(对圆心) 质点的角动量(对圆心)

z
O

L = r × p = r × mv
大小

ω
r
θ

L = rm v sin θ
θ = 90

mv

满足右手螺旋法则

质点对轴的角动量
质点对运动平面内某一参考点O 质点对运动平面内某一参考点 的角动量也称为质点对过 O 点 垂直于运动平面的轴的角动量, 是代数量有正负; 垂直于运动平面的轴的角动量 记为 Lz ,是代数量有正负;

讨论: 讨论:

Lz = rmv sinθ

(1)质点动量的延长线与 轴相交或平行时 Lz = 0 )质点动量的延长线与z轴相交或平行时 (2)质点在垂直于z 轴平面上以 质点在垂直于 作半径为r 的圆运动. 角速度 ω 作半径为 的圆运动.

z
L
θ

L = rmv = mr ω
2

mv

r

的质点, 例10 质量为 m 的质点,某一时刻的速度为 v ,质点距 O1,O2 ,O3 三个参考点的距离分别为r 三个参考点的距离分别为 1 , r2 , r3 , r1 m 此刻质点对三个参考点的角动量。 求 此刻质点对三个参考点的角动量。 O1 解 根据质点相对于点的角动量的定义

r 1

v

2

L = r ×m v O
质点相对于 O1点的角动量大小为

r2

r2

r3

r3
O3

π LO1 = rm sin1= rm sin = rm O2 1 v 1 v 1 v 2

r v LO2 = r2m sin2 = r2m 1 = rm v 1 v r2

质点相对于 O2 点的角动量大小为

LO3 = r3m sin3 = r3m sinπ = 0 v v

质点相对于 O3点的角动量大小为

方向??? 方向???

角动量定理

d(mv) dr dL d + × mv = (r × mv ) = r × dt dt dt dt
合力矩的元冲量矩

r ×F = M
v × mv = 0

Mdt = dL

质点角动量定理 的微分形式

合力矩的冲量矩

∫t

t2

1

M dt = L2 L 质点角动量定理 1 的积分形式

质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量。 讨论 (1)力矩的冲量矩是质点角动量变化的原因; 力矩的冲量矩是质点角动量变化的原因; 力矩的冲量矩是质点角动量变化的原因 (2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果

质点的角动量守恒定律
M =0

dL = 0

即 L =常 量 矢

当作用于质点的合力矩为零时, 当作用于质点的合力矩为零时, 质点的角动量保持不变。 质点的角动量保持不变。
讨论 (1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一 观体系,也适用于微观体系,且在高速低速范围也适用; 观体系,也适用于微观体系,且在高速低速范围也适用; (2)质点只受有心力作用时,角动量守恒。 质点只受有心力作用时,角动量守恒。 质点只受有心力作用时 角动量守恒。 有心力: 有心力:力 F 过 O 点,M = 0 角动量守恒。

讨 论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计

O

子 弹 O 击 入 杆

圆 锥 摆

O'

FT

θ

m
p

v
v

O R

v

以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 动量守恒; 动量守恒; 动量不守恒; 动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒; 角动量守恒; 角动量守恒; 机械能不守恒. 机械能不守恒. 机械能不守恒. 机械能不守恒.

圆锥摆系统 动量不守恒; 动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒; 机械能守恒. 机械能守恒.

人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动, 例 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动, 地 球在椭圆的一个焦点上, 则卫星的: 球在椭圆的一个焦点上, 则卫星的: (A) 动量不守恒, 动能守恒 ) 动量不守恒, (B) 动量守恒, 动能不守恒 ) 动量守恒, (C) 角动量守恒, 动能不守恒 ) 角动量守恒, (D) 角动量不守恒, 动能守恒 ) 角动量不守恒,

证明关于行星运动的开普勒第二定律, 例 证明关于行星运动的开普勒第二定律,行星 对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积 .
证明: 证明:

L

时间内矢径扫过的面积为 t时间内矢径扫过的面积为

r

mS

r (t + dt)
r (t )

1 S = r r sin θ 2
单位时间扫过的面积 单位时间扫过的面积

v

m θ

S 1 r sin θ = r t 2 t

万有引力对力心的力矩 为0,所以行星对太阳 , 的角动量守恒。 的角动量守恒。

S 1 1 lim = rv sin θ = L t → 0 t 2 2m
所以相等的时间内扫过相等的面积 .

∵L = mvrsinθ

有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律. 普遍适用的规律 界的普遍适用的规律. 花样滑冰 跳水运动员跳水

守恒定律的意义
自然界中许多物理量,如动量、角动量、机械能、电荷、 自然界中许多物理量, 如动量 、角动量、 机械能、 电荷 、 质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等, 质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等,都具有相应 的守恒定律。 的守恒定律。 物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究,这是因为: 物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究,这是因为:

第一,从方法论上看: 第一,从方法论上看:
利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、 利用守恒定律可避开过程细节而对系统始 、 末态下结论 特点、优点) (特点、优点)。

第二,从适用性来看: 第二,从适用性来看:
守恒定律适用范围广,宏观、微观、高速、 守恒定律适用范围广,宏观、微观、高速、低速均适用 (牛顿定律只适用于宏观、 低速 , 但由它导出的动量守恒定 牛顿定律只适用于宏观、 牛顿定律只适用于宏观 低速, 律的适用范围远它广泛,迄今为止没发现它不对过)。 律的适用范围远它广泛,迄今为止没发现它不对过 。

第三,从认识世界来看: 第三,从认识世界来看:
守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中, 守恒定律是认识世界的有力武器 。 在新现象研究中 , 当发 现某个守恒定律不成立时,往往作以下考虑: 现某个守恒定律不成立时,往往作以下考虑: (1)寻找被忽略的因素,从而恢复守恒定律的应用。 寻找被忽略的因素, 寻找被忽略的因素 从而恢复守恒定律的应用。 (2)引入新概念,使守恒定律更普遍化。 引入新概念, 引入新概念 使守恒定律更普遍化。 (3)无法“ 补救”时,宣布该守恒定律失效。 无法“ 补救” 宣布该守恒定律失效。 无法

第四,从本质上看: 第四,从本质上看:
守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。 守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性(变换不变性): 每一个守恒定律都相应于一种对称性(变换不变性):

动量守恒相应于空间平移的对称性; 动量守恒相应于空间平移的对称性; 相应于空间平移的对称性 能量守恒相应于时间平移的对称性; 相应于时间平移的对称性 能量守恒相应于时间平移的对称性; 角动量守恒相应于空间转动的对称性。 相应于空间转动的对称性 角动量守恒相应于空间转动的对称性。 ……

杨振宁、李政道 弱作用下宇称不守恒” 杨振宁、李政道:“ 弱作用下宇称不守恒” 荣获1957年Nobel Prize 荣获 年

宇称概念 宇称概念1924年提出 。 宇称守恒定律本质是物理规律的空间 年提出。 年提出
反演不变性。 反演不变性。

1956年杨振宁、李政道经分析,大胆提出了弱相互作用过程中 年杨振宁 李政道经分析,
宇称不守恒的假说,并指出可指出可通过某某实验予以检验。 宇称不守恒的假说,并指出可指出可通过某某实验予以检验。

1957年吴健雄等做了这一实验,证实了上述假说。 年吴健雄等做了这一实验, 年吴健雄等做了这一实验 证实了上述假说。 宇称不守恒的提出是对传统观念的挑战,曾受到很多人的反对。 宇称不守恒的提出是对传统观念的挑战 曾受到很多人的反对。 挑战,
泡利治学严谨,善于发现科学理论中的问题。 泡利治学严谨,善于发现科学理论中的问题。但他不相信弱作用 治学严谨 下宇称会不守恒, 下宇称会不守恒,1957年初他给别人写信道 “ 我不相信上帝会 年初他给别人写信道 在弱作用中偏向左手, 我敢打一笔很大的赌注” 在弱作用中偏向左手, 我敢打一笔很大的赌注”。

1957年吴健雄的实验结果公布后, 1957年吴健雄的实验结果公布后 年吴健雄的实验结果公布后,

泡利说: 泡利说:幸亏没有人同我 打赌,否则我就破产了,现在我只是损失了一点荣誉, 打赌,否则我就破产了,现在我只是损失了一点荣誉,不过不 要紧,我的荣誉已经够多了。 要紧,我的荣誉已经够多了。

吴健雄

完 美 的 缺 憾


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