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7.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离(人教A版·数学理)

时间:2016-12-04


一、选择题 1.把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,则异面直线 AD,BC 所成的角为 ( ) (A)120° (B)30° (C)90° (D)60° 2.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为边长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1, 若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为α,则 sin α的值为( ) (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

10 4

(D)

6 4

3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A1-BD-C1 的余弦值 为( ) (A)

3 3

(B)

2 2

(C)

1 2

(D)

1 3

4.已知直二面角α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到 平面 ABC 的距离等于( ) (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D)1

5.如图, 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直, 且 AC=BC=2, ∠ACB=90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值 为( ) (A)

3 6

(B)-

3 6

(C)

3 3

(D)-

3 3

6.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形, 且 AF=

1 AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( 2
(B)

)

(A)

6 6 6 3

3 3 2 3

(C)

(D)

二、填空题 7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M,N 分别是 C1D1,CC1 的中点,则直线 B1N 与平面 BDM 所成角的 正弦值为_______.

8.如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 的中心, 则点 O 到平面 ABC1D1 的距离为________.

9.二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4, AC=6,BD=8,CD= 2 17 ,则该二面角的大小为___________. 10.正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角等于_______. 三、解答题 11.如图, 正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面相交于 AD, EA=ED,AE⊥平面 CDE. (1)求证:AB⊥平面 ADE. (2)设 M 是线段 BE 上一点, 当直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为 时,试确定点 M 的位置.

6 3

12.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点.

(1)求证:直线 AB1⊥平面 A1BD. (2)求二面角 A-A1D-B 正弦值的大小.

13.已知正方形 ABCD 的边长为 2,AC∩BD=O.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使 AC=a,得到三棱锥 A-BCD, 如图所示. (1)当 a=2 时,求证:AO⊥平面 BCD. (2)当二面角 A-BD-C 的大小为 120°时,求二面角 A-BC-D 的正切值.

答案解析 1.【 解析 】选 D.建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0), C(0,0, 2 ),D(0,- 2 ,0), ∴ AD =(- 2 ,- 2 ,0),

????

??? ? BC =(0,- 2 , 2 ),
∴| AD |=2,| BC |=2, AD · BC =2,

????

??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC 2 1 ∴ cos〈AD , BC〉 ? ???? ??? ? . ? ? AD ? BC 2 ? 2 2
∴异面直线 AD,BC 所成的角为 60°. 2.【解析】选 D.如图,建立坐标系,易求点 D( 一个法向量是 n=(1,0,0),所以

3 1 , ,1),平面 AA1C1C 的 2 2

3 ???? 6 cos〈n, AD 〉= 2 ? , 4 2
即 sin α=

6 . 4

3.【解析】选 D.设正方体棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,易知 A1E⊥BD,C1E⊥BD, 则∠A1EC1 是二面角 A1-BD-C1 的平面角,

???? ? 1 1 EA1 =( ,- ,1), 2 2 ???? ? ???? ? ???? ? 1 1 1 EC1 =(- , ,1),cos〈 EA1, EC1 〉= . 2 2 3

【方法技巧】求二面角的策略 (1)法向量法.其步骤是: ①建系;②分别求构成二面角的两个半平面的 法向量;③求法向量夹角的余弦值;④根据题意确定二面角的余弦值或 其大小. (2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余 弦值. 4.【解析】选 C.∵ AB ? AC ? CD ? DB, ∴ AB ? AC ? CD ? DB , ∴| CD | =2.
2

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2

??? ?2 ??? ?

??? ?2

??? ?2

在 Rt△BDC 中,BC= 3 .

∵平面 ABC⊥平面 BCD,过 D 作 DH⊥BC 于 H, 则 DH⊥平面 ABC, ∴DH 的长即为 D 到平面 ABC 的距离, ∴DH=

DB ? DC 1? 2 6 ,故选 C. = ? BC 3 3

5. 【解析】 选 A.如图, 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直, 且 AC=BC=2, ∠ACB=90°, F,G 分别是线段 AE,BC 的中点. 以 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz, A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),

???? ??? ? AD =(0,-2,2), GF =(-1,2,1),
∴| AD |=2 2 ,| GF |= 6 , AD · GF =-2,

????

??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? GF 3 ∴ cos〈AD , GF〉 ? ???? ??? . ? ?? 6 AD GF
∴直线 AD 与 GF 所成角的余弦值为

3 . 6

【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选 B. 【变式备选】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点, 则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( ) (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【解析】选 D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知 AM⊥OP 恒成立,即 AM 与 OP 所成的角为 6.【解析】选 C.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2a,0), C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),

? . 2

???? ??? ? AG =(a,a,0), AC =(0,2a,2a), ???? ??? ? BG =(a,-a,0), BC =(0,0,2a).
设平面 AGC 的一个法向量为 n1=(x1,y1,1),

???? ? AG ? n1 ? 0, ?ax1 ? ay1 ? 0, ? x1 ? 1, ? 由 ? ??? ?? ?? ? ? 2ay ? 2a ? 0 y ? ? 1 AC ? n ? 0 ? 1 ? 1 ? ? 1
n1=(1,-1,1). 设θ为 GB 与平面 AGC 所成的角,

???? BG ? n1 2a 6 则 sin θ= ???? . ? ? 3 2a ? 3 BG n1
7.【解析】以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC, DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标

???? ??? ? ???? ?

系,则 B1(2,2,2),N(0,2,1), NB1 =(2,0,1),又 M(0,1,2), D(0,0,0),B(2,2,0),则 DB =(2,2,0), DM =(0,1,2),可得平面 BDM 的一个法向量 n=(2,-2,1),

???? ?

??? ?

???? ?

???? ? ???? ? n·NB1 5 5 因为 cos〈n, NB1〉= ???? ,故直线 B1N 与平面 BDM 所成角的正弦值是 . ? ? 3 3 n NB1
答案:

5 3 1 1 , ,1), 2 2

8.【解析】以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(

??? ? ???? ? AB =(0,1,0), AD1 =(-1,0,1),
设平面 ABC1D1 的法向量 n=(x,y,z),

??? ? ?n ? AB ? y ? 0, ? 由 ? ???? ? n ? AD , ? ? 1 ? ?x ? z ? 0
得?

? y ? 0, ? x ? z. ???? ? 1 1 ,- ,0), 2 2

令 x=1,得 n=(1,0,1). 又 OD1 =(-

1 ???? ? | n ? OD1 | 2 2 ∴O 到平面 ABC1D1 的距离 d= = . ? n 4 2
答案:

2 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

9.【解析】由条件,知 CA · AB =0, AB · BD =0, CD =CA ? AB ? BD , ∴ | CD | =| CA |? | AB |? | BD | ? 2CA ? AB ? 2AB ? BD ? 2CA ? BD =6 +4 +8 +2×6×8cos〈 CA, BD 〉=( 2 17 ) ,
2 2 2 2

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∴cos〈 CA, BD 〉= ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 1 ,〈 CA, BD 〉=120°, 2

∴二面角的大小为 60°. 答案:60° 10.【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),

P(0, ?

则 CA =(2a,0,0), AP =(-a,- , ),

??? ?

a a , ), 2 2

??? ?

??? ? CB =(a,a,0).

a a 2 2

设平面 PAC 的法向量为 n,可取 n=(0,1,1),

??? ? ??? ? CB ? n a 1 则 cos〈CB ,n〉= ??? = = , ? 2 CB | n | 2a ? 2 2
∴〈 CB ,n〉=60°, ∴直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°-60°=30°. 答案:30° 11.【解析】(1)∵AE⊥平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵AB∥CD,∴AB⊥平面 ADE. (2)由(1)得平面 EAD⊥平面 ABCD,取 AD 中点 O,连接 EO. ∵EA=ED,∴EO⊥AD, ∴EO⊥平面 ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AB=2,则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1). 设 M(x,y,z). ∴ BM =(x-1,y-2,z), BE =(-1,-2,1), ∵B,M,E 三点共线,设 BM =λ BE , ∴M(1-λ,2-2λ,λ), ∴ AM =(-λ,2-2λ,λ). 设 AM 与平面 EAD 所成角为θ,∵平面 EAD 的一法向量为 n=(0,1,0),

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

? ∴sin θ= cos〈AM,n〉
解得λ=

???? ?

2 ? 2? 6? ? 8? ? 4
2

?

6 , 3

1 ,即点 M 为 BE 的中点. 2

【变式备选】(2013·石家庄模拟)如图,已知正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都是 2,底面正方形两条对角线 相交于 O 点,M 是侧棱 PC 的中点. (1)求此正四棱锥的体积. (2)求直线 BM 与侧面 PAB 所成角θ的正弦值.

【解析】(1)由题可得,PO⊥底面 ABCD. 在 Rt△AOP 中, ∵AO=

1 AC= 2 ,AP=2, 2
2 2

∴PO= AP ? AO = 4 ? 2= 2 . 故 VP-ABCD=

1 1 4 2 ·S 底·PO= ×4× 2 ? . 3 3 3

(2)由(1)知 PO⊥底面 ABCD,且 OA⊥OB,以 O 点为原点,OA,OB,OP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点 的坐标为 A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),P(0,0, 2 ), M( ?

2 2 , 0, ), 2 2 ? 2 2 ??? , 2, ? ), AB =(? 2, 2, 0) , 2 2

∴ MB =(

????

??? ? AP=(? 2, 0, 2).
设平面 ABP 的一个法向量为 n=(x,y,z),

??? ? ? ?n ? AB ? 0, ? ?? 2x ? 2y ? 0, 则有 ? ??? 即? ? ?n ? AP ? 0, ? ?? 2x ? 2z ? 0. ?
取 x=1,则 y=1,z=1, ∴n=(1,1,1),

???? n ? MB 2 2 ∴sin θ= cos(90? ? ?) ? ? . ???? = 3 3? 3 |n|MB
12.【解析】(1)取 BC 中点 O,连接 AO,

∵△ABC 为正三角形, ∴AO⊥BC, ∵直棱柱 ABC-A1B1C1, ∴平面 ABC⊥平面 BCC1B1 且相交于 BC, ∴AO⊥平面 BCC1B1.取 B1C1 中点 O1,则 OO1∥BB1,∴OO1⊥BC. 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3 ),A(0,0, ∴ AB1 ? 1, 2, ? 3 , BD ? ? ?2,1,0 ? , BA1 ? ?1, 2, 3 .

3 ),B1(1,2,0),C(-1,0,0),

??? ?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB1 ?BD ? 0, AB1 ?BA1 ? 0,? AB1 ? BD, AB1 ? BA1.
∴直线 AB1⊥平面 A1BD. (2)设平面 A1AD 的一个法向量为

n=(x,y,z). AD ? ?1,1, ? 3 , AA1 ? ? 0, 2,0 ? . ∵ n ? AD, n ? AA1 ,

????

?

?

????

????

????

?? x ? y ? 3z ? 0, ? 令 z=1 得 n=(- 3 ,0,1)为平面 A1AD 的一个法向量. ? ?2y ? 0, ??? ? 由(1)知 AB1 ? 1, 2, ? 3 为平面 A1BD 的法向量.
∴?

?

?

∴ cos〈n, AB1〉 ??

??? ?

6 . 4 10 . 4

∴二面角 A-A1D-B 正弦值的大小为

13.【解析】(1)根据题意,在△AOC 中,AC=a=2,AO=CO= 2 , 所以 AC =AO +CO ,所以 AO⊥CO.又 AO⊥BD,BD∩CO=O, 所以 AO⊥平面 BCD. (2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以 O 为原点,OC,OD 所在的直线分别 为 x 轴、y 轴建立如图的空间直角坐标系 O-xyz, 则有 O(0,0,0),D(0, 2 ,0),
2 2 2

C( 2 ,0,0),B(0,- 2 ,0). 设 A(x0,0,z0)(x0<0),则 OA =(x0,0,z0),

????

???? OD =(0, 2 ,0).
平面 ABD 的一个法向量为 n=(z0,0,-x0). 平面 BCD 的一个法向量为 m=(0,0,1),且二面角 A-BD-C 的大小为 120°, 所以|cos〈m,n〉|=|cos 120°|=

1 2 2 ,得 z0 =3x0 . 2 2 .解得 x0= ? 2 6 2 6 ,z0= .所以 A( ? ). , 0, 2 2 2 2

因为|OA|= 2 ,所以 x 0 ? z 0 ?
2 2

平面 ABC 的一个法向量为 l=(1,-1, 3 ).

设二面角 A-BC-D 的平面角为θ,所以 cos θ=|cos〈l,m〉|=

3 1?1?

? 3?

2

?

15 . 5

所以 tan θ=

6 . 3 6 . 3

所以二面角 A-BC-D 的正切值为

方法二: 折叠后, BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC 是二面角 A-BD-C 的平面角, 即∠AOC=120°.在△AOC 中,AO=CO= 2 ,所以 AC= 6 . 如图,过点 A 作 CO 的垂线交 CO 延长线于点 H,因为 BD⊥CO,BD⊥AO,且 CO∩AO=O,所以 BD⊥平面 AOC.因为 AH?平面 AOC,所以 BD⊥AH. 又 CO⊥AH,且 CO∩BD=O,所以 AH⊥平面 BCD.所以 AH⊥BC.过点 A 作 AK⊥ BC,垂足为 K,连接 HK,因为 BC⊥AH,AK∩AH=A,所以 BC⊥平面 AHK.因为 HK?平面 AHK,所以 BC⊥HK.所以∠AKH 为二面角 A-BC-D 的平面角. 在△AOH 中,得 AH=

6 2 2 3 2 ,OH= ,所以 CH=CO+OH= 2 ? . ? 2 2 2 2 CH 3 ? , 2 2

在 Rt△CHK 中,HK=

6 AH 2 6 在 Rt△AHK 中,tan∠AKH= = . ? KH 3 3 2
所以二面角 A-BC-D 的正切值为

6 . 3


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