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高一数学暑假作业答案(含 所有高一知识)

时间:2014-07-24


一、集合

1.3 2. ? 3.6 4.? ?1,5? 5.7 6.R 7.a ? 2, b ? 3 8.2 9.a ? ?2 10.? ?1, ?? ?
11、 CU B ? ? ??,0? ??5, ??? , A ? B ? ? 0,4? , A ? B ? ? ?1,5? 。 12、 (1) ? ?7, ?2? , (2) m ? ?1 .13、 x ? ?1, y ? ?1.14、 a ? ?1, 或a ? 1 二、函数的概念及表示 1、无 2、1 3、 3 4、 2 x ? 7 5、 ?1

1) 令 2x ? 1 ? 3, x ? 1, f (3) ? f (2 x ? 1) ? x2 ? 2 x ? ?1 6、D 7、 (5,

0 ? x≤3 ?6, ? 8、 f ( x) ? ? 3 ; 16.5 3 x ? , x ? 3 ? ?2 2

9、 f ( x) ?

2x x?2

1 10、解:∵ f ( x) ? 2 x ? a , g ( x) ? ( x2 ? 3) , 4

1 1 1 ∴ g[ f ( x)] ? [(2x ? a)2 ? 3] ? [(4x2 ? 4ax ? a2 ) ? 3] ? x2 ? ax ? (a2 ? 3) . 4 4 4
?1 2 , ? (a ? 3) ? 1 又 g[ f ( x)] ? x2 ? x ? 1,比较系数有 ? 4 ? , ?a ? 1
∴a ? 1

11、解: (1)这个函数的定义域为(0,12).当 0<x≤4 时,S=f(x)= 当 4<x≤8 时,S=f(x)=8;当 8<x<12 时,S=f(x)= =24-2x.∴这个函数的解析式为

1 ·4·x=2x; 2

1 ·4· (12-x)=2(12-x) 2

x ? (0,4] ?2 x ? f(x)= ?8 x ? (4,8], ?24 ? 2 x x ? (8,12). ?

y 8 6 4 2 o 2 4 6 8 10 12 x

1

12、 解: f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ? 10 x ? 24,

a2 x2 ? (2ab ? 4a) x ? b2 ? 4b ? 3 ? x2 ? 10x ? 24,
?a 2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 ? ∴ ? 2ab ? 4a ? 10 得 ? ,或 ? ?b ? ?7 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ?b ? 3 ?

∴ 5a ? b ? 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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13、解:由题意设 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? 16,即 f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 16 ? 4a 。 方程 ax ? 4ax ? 16 ? 4a ? 0 的两根, x1 , x 2
2

满足 | x1 ? x2 |? 8 ,

而 | x1 ? x 2 | ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ?
2 2

64 64 ? 8 2 ,所以 a=-1 ,所以 ? a a

所以, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 12 14、解: (1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)其图像由 y ? ?4 x 2 的图像向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到; (3)函数的最大值为 1。 三、函数的定义域和值域 1、 x x ? ?1且x ? 2

?

?

2、 ? -?, 4?

3、 ? 0, 27 ? 4、 a ? 0, ?1 ? a,1 ? a?; a ? 0, ?1 ? a,1 ? a?

5、 (1)

(2)

(3)

(4)

2

(5)

(6)

且 且 (7)令



(8)法一、

法 2、利用斜率公式即几何意义:原式表示 A? cos x,sin x ? , B ? ?2, ?1? 的斜率而 A 点轨迹是单位圆 (9)P( ∴ 6、3 7、3 8、 f ( x) ? ? )A(5,5)B(0,5) ∴

?2 x ? 2, x ? ?3 2 值域为 ? ?8, ?? ? 9、 (1) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 8, x ? ? 3 ?

(2)动轴定区间 3 种情况讨论, a ? ?8 或 0 x a+2 a a x x x x 10、(1) ∵ f(a+2)=18,f(x)=3 ,∴ 3 =18?3 =2,∴ g(x)=(3 ) -4 =2 -4 . ?1 ? ? 1? 2 1 x x x x 2 (2) 由 (2) 知 t = 2 , 2 ∈ ? ,2? ,则方程 g(x)= 2 - 4 =t - t =- ?t- ? + , ?2 ? ? 2? 4 1? ?1 ? ? t∈? ,2?,∴函数 g ( x) 在 ??1,1? 上的值域是?-2, ?. 4? ?2 ? ?
2 2 11、 (1)设比例系数为 k ,则 y ? k[ x ? (100? x) ] (10 ? x ? 90) .

3

又 x ? 40, y ? 1300, 所以 1300? k (402 ? 602 ) ,即 k ? 所以 y ?

1 , 4

1 2 1 [ x ? (100 ? x) 2 ] ? ( x 2 ? 100 x ? 5000 ) (10 ? x ? 90) . 4 2

(2)由于 y ?

1 2 1 ( x ? 100 x ? 5000 ) ? ( x ? 50) 2 ? 1250 , 所以当 x ? 50 时, y 有最 2 2 小值为 1250 万元. 所以当供气站建在距 A 城 50 km , 电费用最小值 1250 万元.

四、函数的解析式 2 2 1、 f(x)=x -4x+3,f(x-2)=x -8x+15 2 2、 f(x)=x (x≥1) 2 3、 f(x)=x -x+1 4、 1 5、

10x ? 10? x (答案:f ( x) ? ) 2
0≤x≤10 或 x≤-2 cos17x 答案:f(

6、 7、 8、

2 )=

1 ) 2

1 1 1 1) 1 ? t , 则x ? 1 , 代入已知得 f(t) ? t ? ,? f ( x) ? . 1 t ?1 x t x ? 1 1? t
2)f(sinx)=-sin x-2sinx+1.
2

10

?2a ? 2 ?a ? 1 ? ? 、 ? 2b ? ?4 ? ?b ? ?2 ? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1. ?2a ? 2c ? 0 ?c ? ?1 ? ?

ax 2 ?
11、f(x)=

a 2 x ? a (ax ? 1) ( x ? R且x ? 0). a2 ? 1 (a 2 ? 1) x

五、函数单调性答案 1、25 2、(-7,-2) 3、(

1 ,+∞) 4、(1,+∞), 5、(-∞,3),6、 ?3, ?? ? , 2

7、 ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

8、a≤3

9、 [0,??), (??,1]

10.解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0.

4



?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36
11.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下: 设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1. f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+ ∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+

x2 2 3 2 ) + x2 ] . 4 2

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2). 4 2

∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数. 12.解析: (- ,

1 2 ) 2 3
7 . 2

13.解析: (1) f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x 设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.

六、函数的奇偶性

1 ,b=0 3、y=x(|x|-2)4、-26 5、奇函数 6、上有最小值 3 1 1 -1.7 奇函数 8 m=0. 9、 0 10、 m ? 11.答案: m ? 2 2
1 奇函数、2、 .a ? 12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) ,又 f(0)≠0,∴可证 f(0) =1.令 x=0, ∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为偶函数. 13.解析:

f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
3 2 3 2

当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1.
3 2

?x 3 ? 因此, f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x 2 ? 1

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2)

5

,即单调减函数. ?f(x1)>f(x2) 七、指数与指数函数 一、1. x ? 6. 四 二、9.

1 8

2. 0 7. ?? ?,0? ? ?0,3?

3. y1 ? y3 ? y 2 8. 2

4. ?2,?2? 5. 12

143 80

10 最大值

5 1 ,最小值 2 2
3. (1)(2)(4) 7.8 11.(1) ?? 2,2?

11.1

12.(1)奇 (2) ?? 1,1?

八、对数与对数函数 一、1. ?2,??? 5.0 二、9. -4 12最小值为 2.(1,2) ? (2,3) 6.奇 10. ?? ?,?3? 4. log0.7 6 ? 0.7 6 ? 60.7 8. ?

3 8
(2) ?0,2?

7 ,此时 x ? 2 4

13 解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点,
x

所以方程有一解; 当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有两个不同交点,
x

所以方程有两解。 九、幂函数、函数与方程、函数的应用 一、1.

1 2

2. -1 或 2 6. 4

3. ? 3,?1,2 7. 1

4. 2 8. 30

5. ?0,1?

二、9. 设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意,y=kx+b,且当 x=4 时,y=16;当 x=7 时, y=10.解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24. 由题意,每次挂车厢最多时,营运人数最多, 设每日拖挂 W 节车厢,则 W=2xy=2x(-2x+24)=-4x2+48x=-4(x-6)2+144, ∴当 x=6 时,Wmax=144,此时,y=12,最多营运 15840 人.

2500 ? 1 ? (t ? 12) 2 ? (0 ? t ? 40) ? ? 12 3 10.解: F (t ) ? f (t ) ? g (t ) ? ? ? 1 (t ? 108) 2 ? 8 (40 ? t ? 100) ? 3 ?6
t ? [0,40] 时 t ? 12 , F (t ) max ?
2500 3

6

t ? (40,100] 时 t ? 41 时, F (t ) max ?
∴ t ? 12 时, F (t ) max ?

4873 6

2500 3

11. 解:设⊙ O1 半径为 r1 ,面积为 S1 ,⊙ O2 半径为 r2 ,面积为 S 2 ∵ r1 ? r2 ? 2r1 ? 2r2 ?

2

r1 ? r2 ?

2 2 ?1

? 2? 2

S ? S1 ? S 2 ? ?r12 ? ?r22 ? ?r12 ? ? (2 ? 2 ? r1 ) 2
? ? [r12 ? (6 ? 4 2 ) ? 2(2 ? 2 )r1 ? r12 ] ? ? [2r12 ? 2(2 ? 2 )r1 ? (6 ? 4 2 )]
? ? [2(r1 ? 2? 2 2 ) ? (3 ? 2 2 )] 2
∴ r1 ? 1 ?

3 1 r1 ? [ ? 2 , ] 2 2

2 时, S min ? 3 ? 2 2 2

r1 ?

1 3 1 ? 2 或 时, S max ? (9 ? 6 2 ) 2 2 2

十、任意角的三角函数 1. 400 2.

? 6

3. -

5 5

4.

?x \ x ? k?, k ? Z ?
??

5.

?? 1,1,3?
?

6.

10 4

7.tanα >α > sinα 11. ?

8.

7?4 3 9

9. ? ? 2k? , ? 2k? ?, K ? ? 3 ?4 ?

?

10. 2

2 13

12.略

十一、同角三角函数的基本关系及诱导公式 答案: 1.

5? 7? 或 6 6

2. ?

2 2 3

3、 ?

24 25

4、4

6、

2 2

9 、 解 : sin(? ? ? ) ?

? 5 3 3 ? ,且 0 ? ? ? ? ? ?, 所 以 0 ? ? ? ? ? 或 3 14 2
7

2? 1 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 。 又 cos? ? ? , 得 ? ? ? ,从而 ?? ? ? ? ? ,于是 3 7 2 3 2 3 11 1 ? cos(? ? ? ) ? ? ,故 cos ? ? ,即? ? 。 14 2 3
10、解: cos(2? ? ∵

?
4

) ? cos 2? cos

?
4

? sin 2? sin

3? ? ? 3? ? ? ? , cos(? ? ) ? 0,由此知 4 4 4 2 ? 4 24 ? sin(? ? ) ? ? ,从而  cos 2? ? ? , 4 5 25 ? 31 2 ? cos(2? ? ) ? ? 4 50

2 (cos2? ? sin 2? ) 4 2 ? 7? ?? ? ? , 4 4 ? 7 sin 2? ? ? cos(2? ? ) ? 2 25 ?

?

11、解: ∵ sin 2 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1 ? 4 sin 2 ? cos2 ? ? 2 sin ? cos2 ? ? 2 cos2 ? , cos2 ? (2 sin 2 ? sin ? ? 1) ? 0, cos2 ? (sin ? ? 1)(2 sin ga ? 1) ? 0

? 1 ?  又? ? (0, ),   ? cos2 ? , sin ? ? 1 ? 0, 故 sin ? ? , ? ? 2 `2 6 3 则 tan? ? 3
十二、三角函数的图象及性质 答案: 一、 1.

1 2

2、 3

3、

二、9、 [n? ?

?

12

, n? ?

5? ]  (k ? Z ) 12

2? 3

-3或3 4、

5、 3

3 6、?    7、 4

8、A>C>B

10.

8

1 1 ? cos 2 x 1 3 1 ? cos 2 x 1 解:y ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2? ? ?? 2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? 1 ? 2 ? 4 4? 2 4 1)当2 x ? 当2 x ? 2)T ?

?
4

?

?
2

? 2 k ? 即x ?

3? 2 ? k? , k ? Z时ymax ? 1 ? 8 2

?

4 2?

?? ?

?
2

? 2 k ? 即x ? ?

?
8

? k? , k ? Z时ymin ? 1 ?

2 2

? ?
8

2? ? ? ? ? ? , (3)令- +2k? ? 2 x ? ? +2k? 2 2 4 2 3? ? 3? ? ? , ? 增区间为 ? k? - ,k? + ( k ?Z) 8 8 8 ? ? ?

得k ? - 4) y ?

? x ? k? +

? 向右平移 个单位 2 2 ?? ? 4 sin x ?????? ?y? sin ? x ? ? 2 2 4? ?

图像上各点的纵坐标不变 ??????? ?y? 1 ? 横坐标变为原来的 倍 2

2 ? ? 向上平移1个单位 2 ? ? sin ? 2 x ? ? ?????? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4? 2 4 ?

11 、解:f ( x) ?

(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 1 ? sin 2 x cos2 x ? 2 ? 2 sin x cos x 2(1 ? sin x cos x) 1 1 1 ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? 2 4 2 3 1 所以函数f ( x)的最小正周期是 ?,最大值是 ,最小值是 4 4
十三、两角和(差)公式

一、填空题: 1、 ? 8、 5

3 2

2、 ? 9、

3 3

3、 3

4、

3? 4 3 10

5、

3 22

6、

? 3

7、

3 3

1 2

10、等腰三角形

二、解答题: 11、解?? ? ? ? ?

?? ? ? 3? ? , ? ? , ? ? ? ? ? , 2? ? ?2 ? ? 2 ?

3 5 ? sin ?? ? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , 5 13

33 65 63 cos 2? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 65 cos 2? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???

9

12、 ? 2sin 50 ? sin10 ? ?
? ?

? ? ?

? cos10? ? 3 sin10? ? ? ? ? ? ? ?? 2 sin 80 cos10 ? ?? ?
?

?

? 2 sin 5 0 c o? s ?1 0

s i n 1 0 ?? c o s 1 0

?

c o s 1? 0

sin10 ?? 3 2 cos10
? ?

? 2 2 sin50? cos10? ? 2 2 cos50? sin10? ? 2 2 sin 60? ? 6
13、证明:左边 ?

sin ?? ? ?? ? ? ? ? sin ?

? 2cos ?? ? ? ?

?

sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? sin ?? ? ? ? ? 2cos ?? ? ? ? sin ? sin ? cos ? sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? sin ? sin ? ?? ? 右边 sin ? sin ?

?

14、 y ? cos x ?

1 3 3 3 ?? ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 cos ? x ? ? 2 2 2 2 6? ?

ymax ? 3
十四、二倍角公式 一、填空题: 1、

2 4
1 16

2、 ?

3 2

3、

1 2

4、 2 cos

?
2

5、 ?

7 9

6、 ?

1 2

7、 ? 1

8、 3 cos1

9、

10、 ? ?3,1?

11、 ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

3? ? ,k ?Z 8 ? ?

二、解答题:

12、 f ( x) ?

1 1 1 2 ?? ? ? sin x cos x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? 1 2 2 2 2 4? ?
3? 2 ?1 时, f ? x ?max ? 8 2

(1) T ? ?

(2)当 x ? k? ?

2 3 sin ? ?48? ? 3 sin12? ? 3cos12? 13、 ? ? ?4 3 。 sin12? ? cos12? ?2cos 24? sin 24? cos 24?

10

14、 (1) y ? ?2cos x sin x ? ? sin 2 x (2) y ?

T ??

1 ? tan 4 x ?? ? ? tan ? 4 x ? ? 1 ? tan 4 x 4? ?

T?

?
4

? tan ? 2? ? ? ?? ? 2 15、 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? 3; 3 2 3 ?2 ? 1 ? tan ? ?tan ? 2 tan
? ? ? ? tan ?tan ? ? 2 ? 3 ? tan ? ? 1 ? ? ? tan ? 1 ? 2 2 ?? ?? 或? ? tan ? 2 ? 3 ? tan ? ? tan ? ? 3 ? 3 ? tan ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2

?

? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 4 ? 6 ?? 或? (舍) ?? ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? ? 2
十五、解三角形 一、填空题: 1、 10

?

3 ?1

?

2、 60 ? 或 120?

3、 45 ? 9、 a

4、等腰或直角三角形 10、 3

5、

24 5

6、 120?

7、钝角 8、

2 39 3

二、解答题:

? ?a ? b ? c ? 20 ?a ? 5 ? 2 ? 2 2 11、 ?b ? a ? b ? 2ac cos 60? ? ?b ? 7 ?1 ? ?c ? 8 ? ac sin 60? ? 10 3 ?2
2 2 12、 a ? b

?

? ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? a
sB i ? n 2b 2
c Ao ?s

2

? b 2 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?

? 2a2 c o A s
? 2 s iAn

A s i n ? B c o2 s

A 2 sA i n ? B c o2 s
s iB n ?2

B s i n A 2 s Bi n
2

s

B 2 s iB n ? c o sA ?

A ? s2 iA n B ? 2B ? ? 2 或

?等腰或直角三角形
13、 (1) 2 2(sin2 A ? sin 2 C) ? (2 2 sin A ? 2 2 sin B)sin B

11

? sin 2 A ? sin 2 C ? sin A sin B ? sin 2 B ? a 2 ? c 2 ? ab ? b 2 ? cos C ?
(2) S? ABC ?

1 ? C ? 60? 2

1 3 ab sin C ? ab ? 2 3 sin A sin B ? 2 3 sin A sin ?120? ? A? 2 4

? 3 ? 1 ? 2 3 sin A ? cos A ? sin A ? 3sin A cos A ? 3 sin 2 A ? ? 2 ? 2 ? ?

?? 3 3 3 ? ? 3 sin ? 2 A ? ? ? ? ? S? ABC ?max ? 6? 2 2 ?
14、在 ? ABC 中, ?BAC ? 15? , ?ACB ? 150? , AC ? 8 可得: ?ABC ? 15
?

? BC ? 8 ,过 B 作 AC 的垂线垂足为 D ,在 ? BCD 中,可得 BD ? 4 ?4 ? 3 .? 8 没有危险。
十六、平面向量的概念和线性运算
1.(3) 2. a ? b ? c

? ? ?

3. OQ

4.3

1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 5. ? 2 ( a ? b ), 2 ( a ? b ), 2 ( a ? b ) 2 ( b ? a ) ,

6.1 9.

7.平行四边形 8.等腰梯形

与 EF 共线的向量有 AB 、 CD ;与 CO 共线的向量有 CE , CA , OE , OA , EA ; 与 EA 相等的向量是 CE 10.

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? PA ? PB ? PC ? AB ? PA ? PA ? AB ? PC ? AB ,故 2PA ? ? PC

?

?

? A 、 P 、 C 三点共线,且 P 是线段 AC 的三分点中靠近 A 的那一个
11.

12.提示:可以证明 MC ? 3MN 十七、向量的坐标表示坐标及数量积 1. (2) 2.6 3.-2 4.90° 5. 3 6、 ( ? 3 , ? 1)

????

???? ?

4

7.

3 10 10 8.2

12

9.

? ? ? ? ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? 3b ? (10, ?4) ? ? ? ? (1) ka ? b ? a ? 3b ,则 ? k ? 3? ?10 ? ? 2k ? 2? ? (?4) ? 0 ,得 k ? 19 ? ? ? ? 1 (2) ka ? b // a ? 3b ,则 ? k ? 3? ? (?4) ? ? 2k ? 2? ?10 ? 0 ,得 k ? ? 3 ? ? ? ? 1 此时 ? a ? b 与 a ? 3b 反向 3
10. (I)∵ a // b ,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (II)∵ a , b 的夹角为 135°,∴ a ? b =| a |?| b |?cos135°=-1 ? ? 2 ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? b =1+2-2=1,∴ | a ? b |? 1 ∴| a + b | =( a + b ) = a + b +2 a ?
11.

①若 a , b 共向,则 a ? b =| a |?| b |= 2 ②若 a , b 异向,则 a ? b =-| a |?| b |=- 2

?

12. ?0,2? 十八、直线的方程 1. tan ? ? ?

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 (a ? 2b)? (a ? 3b) ? a ? a? b ? 6b ? ?72 ? 2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0, ? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4

1 3

2. ?

2 3

3.(4)

4. x ? 3 y ? 2 ? 0

5. x ? y ? 7 ? 0 7.1 8.二

6. 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0

9 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即

3 3 k ? ? , y ? 5 ? ? ( x ? 3),3x ? 5 y ? 52 ? 0 5 5
10 解: x ? 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, k AB ? 4

? y ? 2 ? 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 ? 0
11 解:设 P (2t , t ) ,

4 x ? y ? 2? 0 ,或 x ? 1

2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10

2

2

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P ( , ) 10 5 10

2 2 2 2 12 解: f ( x) ? ( x ? 1) ? (0 ?1) ? ( x ? 2) ? (0 ? 2) 可看作点 ( x, 0)

到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)

? f ( x) min ? 12 ? 32 ? 10
13

十九、圆的方程 1、(x-2)2+(y+3)2=13, 2、(x-4)2+(y-1)2=25 3、(x-5)2+(y-5)2=25 或(x+1)2+(y+1)2=1 4、(x-3)2+y2=4 6、 a ? 3或a ? ?5 8、(x+1)2+y2=2 7、x2+y2-6 x -2y+5=0 9、 ? 5、(x-6)2+y2=36

1 3 3 ? t ? 1 、 t ? 时、 0 ? t ? 7 7 4
3 3 4 x 3、x2+(y± )2= 3 3 3
2 2

10、不能通过

二十、直线与圆、圆与圆 1、x+y-1=0 2、y= 6、 x0 x ? y0 y ? r 2 9、 a ? 1
新疆

1 4、π. 5、 (4- 5) 2 8、 ? 1 ? b ? 1或b ? ? 2
新疆

王新敞
学案

7、 ( x ? 2) ? ( y ? 8) ? 25
王新敞
学案

10、过点 A 的切线方程为: 4 x ? 3 y ? 25 ? 0
新疆

过点 B 的切线方程为: 21x ? 20y ? 145 ? 0 或 x =-5 11、(x-6)2+y2=33(或 x2+y2-12x+3=0). 二十一、平面的基本性质 1、② 2、② 3、1 4、1 5、3 3 二十二、直线与平面的位置关系 1.平行 2.两条 3.垂直 8.(2)
(1)取PD中点E , 又N为PC中点, 连NE , 则NE // CD, NE ? 1 2
?

王新敞
学案

证明略

4.8

5.内,外,垂 6.(1) (3) 7. l // ? 或 l ? ?

1 CD. 2

9. 又 ? AM // CD, AM ? CD,? AM // NE ,?四边形AMNE为平行四边形
? MN // AE ? PA ? 平面ABCD? CD ? PA ? CD ? 平面ADP? , ?? ?? ? ? CD ? AE.(注 : 或直接用三垂线定理 CD ? 面ABCD ? CD ? AD? AE ? 平面ADP?

(2)当?PDA ? 45? 时, Rt?PAD为等腰直角三角形 则AE ? PD, 又MN // AE,? MN ? PD, PD ? CD ? D ? MN ? 平面PCD.

14

10.
(1)证法一 : 取AA1 , A1 B1的中点M , N , 连结MN , NQ, MP 1 1 AD, NQ // A1 D1 , NQ ? A1 D1 2 2 ? MP // ND且MP ? ND ? MP // AD, MP ? ?四边形PQNM为平行四边形 ? PQ // MN ? MN ? 面AA1 B1 B, PQ ? 面AA1 B1 B ? PQ // 面AA1 B1 B 证法二 : 连结AD1 , AB1 , 在?AB1 D1中, 显然P, Q分别是AD1 , D1 B的中点 1 ? PQ // AB, 且PQ AB1 2 ? PQ ? 面AA1 B1 B, AB1 ? 面AA1 B1 B ? PQ // 面AA1 B1 B (2)方法一 : PQ ? MN ? 方法二 : PQ ? A1 M 2 ? A1 N 2 ? 2 a 2

1 2 AB1 ? a. 2 2

? A1 A ? BD? BD ? 平面A1 AD? ?? ? ? BD ? A1O AC ? BD ? A1O ? 面A1 AO ? 2 2 3 2 a) ? a 2 2 2 2 a 3 OG 2 ? OC 2 ? CG 2 ? ( a) ? ( ) 2 ? a 2 2 2 4 11、 2 a 9 2 A1G 2 ? A1C1 ? C1G 2 ? ( 2a) 2 ? ( ) ? a 2 2 4 ? A1O 2 ? OG 2 ? A1G 2 又 ? A1O 2 ? A1 A 2 ? AO 2 ? a 2 ? ( ? A1O ? OG 又BD ? OG ? 0 A1O ? 平面GBD

二十三、平面与平面的位置关系 1.(3) 2.α ∥β 或α 与β 相交 3.平行 4.三个平面共线, 或两个平面平行且都与第三 个平面相交 5.(1) (3) 6.4 7.平行或异面 8.平行或相交 9.证明:取 BC 中点 D, 连接 AD. BP=CP, 则 BC ? PD. ? ABC 是 Rt ? , 则 BD=AD, 又
? BP=AP,PD=PD,所以 ? BPD ? ? APD, 所以 ?BDP ? ?ADP ? 90 , 即 PD ? AD,又 BC ? PD,

所以 PD ? 面 ABC,所以平面 PCB⊥平面 ABC. 10.略 11.略 二十四、空间几何体表面积和体积

a2 ? a2 5 1 ? 2? 1. 2? 2 2. ? 6 a 2? b 6. 7.1:9 a

3.148 cm2

4.2 2 : 5

5.1cm3

A1

C1

8.解:如图,过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面。
15

A

O

C

则 OC1=R,CC1=a,OC=

2 a, 2

所以 a ? (
2

2 2 2 a) ? R 2 ,得 a2= R2, 3 2

所以正方体的表面积是 6a2=4R2. 9.解:棱锥 S-BCD 的截面为 B’C’D’,过 S 作 SF⊥B’C’,垂足为 F,延长 SF 交 BC 于点 E,连结 AF 和 OE, ∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’,平面 B’C’D’∩平面 SOE=AF,平面 BCD ∩平面 SOE=OE, ∴ AF//OE ,于是

AF SA SF 1 1 ? ? ? ,即 SF ? SE ,同理可得 OE SO SE 3 3

1 B ' C ' ? BC , 3 1 1 1 S ?SBC , S ?SB ' D ' ? S ?SBD , S ?SC ' D ' ? S ?SCD , 9 9 9 1 8 ∴ S 棱锥 S-B’C’D’= Q,∴ S 棱台侧= Q. 9 9
∴ S ?SB ' C ' ? 10.解:设放入的球的半径为 R,球心为 S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时,球的 半径最大, 连结 SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱 锥的高均为 R,底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系,得

VP ? ABCD ?

R ( S?PAB ? S?PBC ? S?PCD ? S?PAD ? S? ABCD ) 3

?
?

R 2 2 2 2 1 2 1 2 ( a ? a ? a ? a ? a )2 3 2 2 2 2

R ( 2? 2a )2 3 R 1 1 1 (2 ? 2) a 2 ? a 3 , 又 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= a3,∴ 3 3 3 3
解得 R=

2? 2 a, 2 2? 2 a. 2

故所放入的球的最大半径为

二十五.等差数列 1. 由已知 a1 ? 2, a 2 ? a 3 ? 2a1 ? 3d ? 13 得公差d=3, 所以 a4 ? a5 ? a6 ? 3a5
16

= 3(a1 ? 4d ) ? 3 ? (2 ? 12) ? 42 7 5.3 6.B 7.15秒.

2. 由 a 7 ? a 9 ? a 4 ? a12 ,得 a12 ? 15 3.0 4.200 8. an=4n-3 9.B 10.50 11. 1 1 5 7 , ,1, , 或 3 3 3 3

7 5 1 1 , ,1, , 3 3 3 3

12. 设 两 个 数 列 相 同 项 按 原 来 的 前 后 次 序 组 成 的 新 数 列 为 {an } , 则 5 , 8 , 11 , … 和 3 , 7 , 11… 的 公 差 分 别 为 3 与

a1 ? 11 ∵ 数 列

4 \ {an }的公差d = 3? 4 12, \ an = 12n - 1 又因为数列5,8,11,…和3,7,11…的第100项 分别是302和399,\ an = 12n - 1 #302即n 二十六、等差数列的前 n 项和
5a1 ? 20d ? 15 1.? ?d ?3 ? ?5a1 ? 25d ? 30

25.5, 又n ? N * , 所以两个数列有25个相同的项。

2. 3 3. an =1-2n

5 n 4.180 5. B6. Sn ? ? n 2 ? 2 2

7. an ? 2n-10 =75 10
? S110 ?

k ? 8 8.249. nn=


S n(a1+an) 3+2n+1 10(3+12) = =n+2,其前 10 项和为: 2n 2 2

? S100 ? S10 ?

(a11 ? a100 ) ? 90 ? ?90 ? a11 ? a100 ? ?2 2

110(a1 ? a110 ) (a11 ? a100 ) ? 110 ? ? ?110 2 2

11. (1)公差 d 的取值范围( ? 24 ,-3) (2) s6
7

12. a ? ?5, n ? 1 ? n?1 n

?2 , n ? 2

二十七.等比数列 1. a20 ? a50 ? a80 =16 ? 4=64 2. b=aq,c=aq2,x=
1 1

1 1 1 1 (a+b)= a(1+q), y= (b+c)= aq(1+q), 2 2 2 2
4.4 5. 等差数列 6.C

a 2 q (1 ? q ) ? a 2 q 2 (1 ? q ) 1 a c 2 ? = ay ? cx ? 2 =2 3.2或 x y 2 1 2 xy 2 4 a q (1 ? q )
10

7.

13 16

8. 3 ? 2

n ?3

9.

4 ? 1 10.64或1 11. 设这个等比数列的第 1 项为 a1 ,公比


为 q ,那么 ③ 把③代入①,得

a1q 2 ? 12
a1 ? 16 3

a1q 3 ? 18



①÷ ②,得

q?

3 2

因此, a 2 ? a1 q ?

16 3 ? ?8 3 2

12. 2 n 列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 。①略 ② an = 2 n -1 二十八.等比数列的前 n 项和 1. 1385 2.364 3.5 4.364 5.40 6. an ? 2n+3 7.510 8.2400 元

17

9. n=6 10. 2n ?1 ? n ? 2 11 S10= (

2 n ?1 2 ) 或 ( )1? n 2 2
?

T10 =
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

31 31 (2 ? 2) 或 (2 ? 2) 32 32

12.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1,a n ?1 ? 2a n ? 1 (n∈N ) (Ⅰ) an ? 2n ? 1 (Ⅱ)略 二十九、综合(1) 1. ??1, 2? 2.21 3. 420 4.

? 4

5.-1

6. 3x+4y=0 或 4x-3y-12=0

7. f ? x ? ? ? ? x ? 1

8.

a? 3 1 ? 3a

1 ? 9. y= sin(2x- )+1 2 2 14. -2

10.

3或-3 3

11. ①④

12. [1-2 2,3] 13. 8 3

15. (1) 3x ? 5 y ? 13 ? 0 16. (1) OC =-3 OA +

(2) 5x ? 3 y ? 1 ? 0

??? ? 14 ??? ? OB 表示; (2)m≠6 3 ? ? 2? 17. (1) T ? (2)增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z ; (3)函数的值域为 [ ?1, 2] ?? ; 6 3 2 18.(1) an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 .
(2) Tn ? 19.略 20. 解:(1) a≤0 或 a≥2

????

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

(2)1° 当 a < -1 时,如图 1,g ( a ) = f ( -1 ) = a2 + 2a 2° 当-1 ≤ a ≤ 1 时,如图 2,g ( a ) = f ( a ) = -1 3° 当 a > 1 时,如图 3,g ( a ) = f ( 1 ) = a2 - 2a

? a 2 ? 2a, a ? ?1 ? ? g ? a ? ? ??1, ?1 ? a ? 1 , ? a 2 ? 2a, a ? 1 ?

18

函数 g ? a ? 的图象如右图 三十、综合(2) 1.8 9.7 2. ?x | x ? 2? 3. (0,1) 4. - 3 12. 5. 45? 6. a ? 2 7. 42 8. 2 5或 5

10. (x+5)2+y2=5

11. 395

2 π 3

13. a ? 2
8 5

14. (-13,13)

11 15(1) 3
16. 略.

? 2 (2) a 3 b 2 3

3 1 17. (1) tan ? = ( . 2) 2 3
19.

18. (1)an ? a1q

n ?1

?

1 n ?1 ? 2 ? 2n ?3 4
2

(2)

n( n ? 5) 2

5km. 20. (Ⅰ)解:∵ ? ? ?1, ? ? 1 , ∴ m=0,∴ f ( x) ?

2x x ?1 设 x1 ? x2 , 当x ? 1时, ( x2 ? x1 ) ? 0,(1 ? x1x2 ) ? 0,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

? f ( x)在( 1, ??)上是减函数

当-1 < x <1时, ( x2 ? x1 ) ? 0,(1 ? x1 x2 ) ? 0,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
? f ( x)在(, 1 ? ?,)上是增函数

当x < ?1时, ( x2 ? x1 ) ? 0,(1 ? x1x2 ) ? 0,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
? f ( x)在(-?,?1 )上是减函数.
2 (Ⅱ) ∵ ? , ? 是方程 x ? mx ? 1 ? 0 的两个实根,

?? ? ? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? f (? ) ? 2?2 ? m ? ? ?1 ? f (? ) ? 1 2 ? ( ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?? ?, ? ∴ .∴ ,同理
∴ ? f (? ) ? ? f ( ? ) ? 2 . 三十一、综合试卷 3 1.{0} 9、 2. ?

1 2

3、3

4、2 5、3:2:4 6、-6

7、 [ ?2, ) 13、

7 4

8、 ?

2
n ?1

3 10、等腰或直角三角形 11、40 12、 (4) 2 π 15、 (1) f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 4sin(2 x ? ) 3

3 6

14、 3 ? 2

?2

19

f ( x) 的单调增区间为 [k? ?
(2) f ( x)max ? 4 , f ( x)min ? 2

?
12

, k? ?

5? ](k ? Z) 12
16、略

17、 (1)3 (2)

4 7 7
(2)y=2x+6

18、 (1) x ? 2 y ? 0

? 1 2 ? x ? 40x ? 250, 0 ? x ? 80, ? ? 3 19 (1) L?x ? ? 50x ? C ? x ? ? 250 ? ? 10000? ?1200? ? ?x ? ?, 80 ? x ? 200. ? x ? 80 ? ? ?
(2) 当年产量为 60 万件时,该厂所获利润最大 20、 (1)略 (2) an ? 2n ? 1(3)略 三十二、综合试卷 4 1、 ?? ?,1? ? ?3,??? 7、 ? 2、 3
2

3、 ?
2

3 3

4、 30 5、 45 10、3

?

?

6、 ?

2 3

1 2

8、9 9、 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

11、 [ ?1, )

1 2

12、 x ? ?4 或 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 15、 (1) T ? ? 单调减区间为 [

13、 (2) (3) 14、 2

?
8

? k? ,

5? ? k? ], k ? Z (2)最大值为 2 ,最小值为-1 8
17、略 18、 (1)m=3 (2)奇函数

16、 (1)

3? 4 3 10

(2)

36 ? 9 3 50

(3)单调增函数 19、 (1)m=4 20、 (1)略 三十三、综合五 1.

(2) 4 3

(3) 8 5

(2) S n ? n ? ( ) ? 1
n

1 2

3 2

2.4

3. ?

3 3
1 2

4.

3

5.25

6.

2

7.

? 4
12.

8.

? 4

9.m<

1 2

10.

11. x ? 4 ? 0或4 x ? 3 y ? 25 ? 0

3

13. y ? 2 sin( x ? 16.略

?
3

)

14.②③ 15.⑴ ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 4 ?

⑵ 1,3 ? 2 2

?

?

20

17.⑴ y ? ? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

⑵ ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? k ?Z 3 ? ?

?1? an ? 64 ? ? ? ? 2? 18. ⑴

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?7

?13n ? n 2 ,1 ? n ? 7且n ? N ? ? ? Tn ? ? 2 2 ? n ? 13n ? 84 , n ? 8且n ? N ? . ? ? 2 ⑵

19. ⑴m=4

⑵4 3

⑶8 5

? 2x , x ? ?0,1? ? x ? 4 ?1 20. ⑴ f ( x) ? ? 0, x ? 0 ? 2x , x ? (?1,0) ?? x ? 4 ?1

⑵略

⑶? ?

2 5
1) 3.( ? 7,
11. ?
2

三十四、综合六 1. ?2,3,4? 2. 4? 4. (? 1 , 0) ? ?0, ?? 5.m≧-16.-2<a<0 7.128

8.100

9.4

10. ? ︰6

10 10
2

12.

2 ?2

13.

3 3

14.②③

15. 解: (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ? 16. 证明 (1)∵

1 2 3 ab sin C ? . 2 3

AA1⊥平面 A1B1C1,AA1? 平面 AA1B1B,

∴平面 AA1B1B⊥平面 A1B1C1,且平面 AA1B1B ? 平面 A1B1C1=A1B1. 又△ABC 中,AC=BC,∴△A1B1C1 中,A1C1=B1C1. ∵M 是 A1B1 的中点,∴C1M⊥A1B1.∴C1M⊥平面 AA1B1B; (2)由(1)知,AM 是 AC1 在平面 AA1B1B 内的射影.
21

∵AC1⊥A1B,∴ A1B⊥AM. (3)由(1) (2)知,A1B⊥平面 AMC1. 同理, A1B⊥平面 NB1C.∴平面 AMC1∥平面 NB1C. 17. 由题意得:甲公司的各年的月工资成以 1500 为首项,以 230 为公差为的等差数列。

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1500? (n ? 1 ) 230.
而 10 年的总工资为 12a1 ? 12a2 ? ? ? 12a10 ? 12S10

n(n ? 1) d ? 1500? 10 ? 45 ? 230 ? 25350 . 2 12S10 ? 304200 . S10 ? na1 ?
乙公司和各年的月年工资以 2000 为首项,以 1.05 为公比的等比数列。

bn ? b1q n?1 ? 2000?1.05n?1 ,
’ 12S10 ? 12 ?

‘ 同样的 10 年和总工资为 12S10 ,

2000(1 ? 1.0510 ) ? 301869.420 ? 12S10 . 所以在甲公司获得的报酬比较多。 1 ? 1.05
由 2an ? Sn ? 2n 知 ①

18. (Ⅰ)因为 a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2

2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1
所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8

得 an ? Sn ? 2n?1

a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24

a4 ? S3 ? 24 ? 40

n ?1 ? S n ? 2n (Ⅱ)由题设和①式知 an ?1 ? 2an ? S n ? 2

?

? ?

?

? 2n ?1 ? 2n ? 2n
所以 ?an?1 ? 2an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 (Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ??? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ? 1? ? 2n?1 19. (1) ( ??, 0) ? ( ?

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