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2018全国高中数学联赛安徽省初赛答案

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参考答案和评分标准 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1 2 3 4 1 ? ln(ln 2) 2 2π 213 4 ? 3i 或 ? 3 ? 4 i ln 2 5 1 15 6 4? 6 5 7 8 ? 6 6 (34,95) 二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题每题 22 分,共 86 分) 9.由 E , F 分别是 AD, BC 的中点,得 EF // AB ? AD . 设 P 是 E 关于 l 的对称点,则 EP // AG ? l ,故四边形 AEPG 是等腰梯形. 进而 ?PAG ? ?EGA ? ?GAB , ?APG ? ?GEA ,从而 AP ? HG . 再由 HP ? DE ? EA ? PG ,得 ?HAP ? ?PAG ? ?GAB . 因此, ?HAB ? 3?GAB . (3 分) (8 分) (13 分) (18 分) (21 分) x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b ? a b 与渐近线方程联立,得 A( x1 , y1 ) ? ? ? x0 ? y 0 , x0 ? y 0 ? a b a b 10.(1) M ( x0 , y0 ) 处的切线方程 从而, S ? 1 2 (3 分) ? ? ? , B ( x2 , y2 ) ? ? ? ? ? ? x0 a a ? y0 b , x0 a ?b ? yb0 x1 y 2 ? x2 y1 ? ab 是定值. 2 2 2 2 a 2 b 2 ? ? .(6 分) ? ? (9 分) (12 分) b (2) 由 (1) 可设 A( λa, λb), B( a λ ,? λ ), P ( x, y ) , λ 为非零常数. 由 PA ? PO ? PB ,得 ( x ? ?a ) ? ( y ? ?b) ? x ? y ? ( x ? ? ) ? ( y ? ? ) . 从而有 ax ? by ? ? (a 2 ? b 2 ) , ax ? by ? 2 2 2 2 上述两式相乘,得 P 的轨迹方程为 a x ? b 2 y 2 ? 1 4 (a ? b ) . 1 2? 2 2 (15 分) (18 分) (21 分) (a 2 ? b2 ) . 故 x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 3 ? xy ? yz ? zx ? . 2 2 2 k k2 k2 k2 (2) x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? k ?xy ? yz ? zx? ? ( x ? k 2 y ? 2 z ) ? (2 ? 4 ) y ? (3 ? 4 ) z ? ( 2 ? k ) yz 上式 ? 0 恒成立当且仅当 2 ? k4 ? 0 且 ( k2 ? k ) 2 ? 4(2 ? k4 )(3 ? k4 ) . 2 2 2 2 11.(1) 由均值不等式, 1 x2 ? 3 y 2 ? 3 xy,1 x2 ? 3 z 2 ? 3 xz,1 y2 ? 3 z 2 ? 3 yz . 2 2 2 2 2 2 (8 分) (14 分) (18 分) (22 分) 化简得 k ? 2 2 且 k 3 ? 6k 2 ? 24 ? 0 .显然, k ? 2 ? 3 满足要求. 12.设 N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目, M 是此图形中三边颜色不全相同 的三角形数目, xi 是以第 i 个顶点为端点的红色线段数目,则有 3 , ? xi (2017 ? xi ) ? 2M . M ?

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