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【精品】高三数学经典讲义理科拓展专题教师版

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高三数学寒假班(教师版) 教师 学生 课程编号 课题 课型 专题 日期 理科拓展 教学目标 1.掌握半角的正弦、余弦、正切公式和万能置换公式,会运用公式进行计算和三角恒等变形. 2.掌握参数方程与直角坐标系方程的转换;.掌握极坐标方程与直角坐标系方程的转换;能利用参 数方程解题. 3.了解空间向量的概念;掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;理解直线的方向向量与平面的法 向量;能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 教学重点 1.参数方程和极坐标方程以及空间向量在求异面直线夹角、线面角、面面角以及求点到平面的距离 中的应用. 教学安排 版块 1 2 3 4 5 知识梳理 例题解析 巩固训练 师生总结 课后练习 时长 15 40 35 10 20 理科拓展(教师版) 1 / 21 文理科拓展 知识梳理 一、三角恒等变换 1、半角的正弦、余弦公式: sin ? 2 ?? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? 2 ? 2 ? ? ? ( sin , cos ) , cos ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2、半角的正切、余切公式: tan ? 2 ? sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? cot ? 2 ? 1 ? cos ? sin ? tan 2 ? 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 3、万能置换公式: sin ? ? 2 tan ? 2 1 ? tan 2 4、积化和差公式: ? 2 cos ? ? 1 ? tan 2 1 ? tan 2 ? ? 2 2 tan ? ? 2 tan ? 2 1 ? tan 2 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2? 1 cos ? sin ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2? 1 1 cos ? cos ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? 5、和差化积公式: sin ? ? sin ? ? 2sin ? ?? 2 cos ? ?? ? ?? 2 2 sin ?? si ?n? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? ?? 2 cos ? ?? ? ?? 2 cos sin 2 2 ? ?? ? ?? co? s ? co ? s? ? 2 s i n sin 2 2 二、参数方程、极坐标方程 1、参数方程的定义 在直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点 M 的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数 ? ? x ? f (t ) ? y ? g (t ) (1) , 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点 M ( x, y ) 都在曲线 C 上,那么,方程(1) 理科拓展(教师版) 2 / 21 就叫做曲线 C 的参数方程.联系 x , y 之间关系的变数 t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点 M ( x, y ) 的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2、通过“消去参数”可以把曲线 C 的参数方程化为普通方程; 3、通过“选取参数” ,可以把曲线 C 的普通方程化为参数方程. 4、常见的圆锥曲线的参数方程 2 (1).圆 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r : 2 2 ? x ? x0 ? r cos ? ? ? y ? y0 ? r sin ? x2 y 2 (2).椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? : a b ? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ? (3).双曲线 x2 y 2 ? ? 1: a 2 b2 ? x ? a sec? ? ? y ? b tan ? (4).抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? ? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt 5、直线的参数方程 (1).点斜式:经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线参数方程的一般形式是: ? ? x ? x0 ? at ? y ? y0 ? bt (t 是参数) ? x ? x0 ? t cos ? (2). 标准式: 若直线 l 经过点 P 倾斜角为 ? , 则直线参数方程的标准形式是: 0 ( x0 , y0 ) , ? ? y ? y0 ? t sin ? (t 是参数).其中点 P 对应的参数 t 的几何意义是:有向线段 P 0 P 的数量 若点 P1、 P2、 P 是直线 l 上的点, 它们在上述参数方程中对应的参数分别是 t1、t 2 和t, 则 PP 1 2 ? t1 ? t2 ; 理科拓展(教师版) 3 / 21 ? 时, t ? 当点 P 分有向线段 PP 1 2 成定比 6、几种坐标系 (1).直线上的点的坐标 (2).平面直角坐标系: (3).极坐标系: ? ? ,? ? 7、极坐标的定义 t1 ? ?t 2 t ? t2 ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, t ? 1 1? ? 2 ? x, y ? ? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极坐标为 ( ? ,? ), 直角 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? ? 8、极坐标系中两点间的距离公式 2 若点 M ( ?1,? 1 ) 、N ( ? 2,? 2 ) ,则 MN ? ?12 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 2 cos(? 1 ? ? 2 ) x 2

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