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2006年上海高考数学(理科含答案)

时间:2013-07-15

2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意: 1.答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有 22 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 一.填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A,则实数 m =
2

. . .

2.已知圆 x -4 x -4+ y 2 =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是 3.若函数 f (x) = a ( a >0,且 a ≠1)的反函数的图像过点(2,-1) ,则 a = 4.计算: lim
n ??
x

2

C = n3 ? 1
? ?

3 n

. .

5.若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = 6.如果 cos? =

1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ? ? ) = . 5 2 7 . 已 知 椭 圆 中 心 在 原 点 , 一 个 焦 点 为 F( - 2 3 , 0 ) 且 长 轴 长 是 短 轴 长 的 2 倍 , 则 该 椭 圆 的 标 准 方 程 ,
是 . 8.在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4,

? 5? ) ,B(5,- ) ,则△OAB 的面积是 6 3



9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们任意地排成一排,左边 4 本恰好都 属于同一部小说的概率是 (结果用分数表示) . 10.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一个正方体中,由两个顶点确 定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 . 11.若曲线 y =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分别应满足的条件是
2 3 2

2



12.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自 的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 . 二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,必本大题满分 16 分)须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出 的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 [答]( )
?? ? ?? ?
?? ?
?? ? ?? ?

?? ?
?? ?

?? ? ?? ? ?

(A) AB = DC ; (B) AD + AB = AC ;
?? ?

D

C

A B (C) AB - AD = BD ; (D) AD + CB = 0 . 14 . 若 空 间 中 有 四 个 点 , 则 “ 这 四 个 点 中 有 三 点 在 同 一 直 线 上 ” 是 “ 这 四 个 点 在 同 一 平 面 上 ” 的 [答]( ) (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. 15.若关于 x 的不等式 (1 ? k ) x ≤ k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k ,总有[答](
2
4



(A)2∈M,0∈M; (B)2 ? M,0 ? M; (C)2∈M,0 ? M; (D)2 ? M,0∈M. 16.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则 称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” .已知常数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: l1 ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点 有且仅有 1 个; M( p , q ) ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为 l2 ( p , q )的点有且仅有 2 个; O ③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 [答]( ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 三.解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 12 分) 求函数 y =2 cos( x ? [解]

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期.

18. (本题满分 12 分) 如图, 当甲船位于 A 处时获悉, 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处 救援(角度精确到 1 )? [解]
? ?



A 10 ?C

20

B ?

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形, ∠DAB=60 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用反 三角函数值表示) . [解](1) A B
? ?

P

E O

D C

(2)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1)
?? ? ?? ?

(2)

21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项 (整数 k ≥2) 首项 a1 =2. , 设该数列的前 n 项和为 S n , a n ?1 = (a ? 1) S n +2 n 且 ( =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列;

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求数列 { bn } 的通项公式; n 3 3 3 3 (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - |≤4,求 k 的值. 2 2 2 2
(2)若 a =2 ,数列 { bn } 满足 bn = [解](1)

2 2 k ?1

(2)

(3)

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分) 已知函数 y = x + 增函数.

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函数,在 [ x

a ,+∞ ) 上是

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的 x x 1 n 1 1 2 n 函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F (x) = ( x ? ) + ( 2 ? x ) ( n 是正整数)在区间[ ,2] x 2 x
(1)如果函数 y = x + 上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) . [解](1)

(2)

(3)

上海数学(理工农医类)参考答案 2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意: 1.答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有 22 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 一.填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. ) 1.已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A,则实数 m =
2

; ;

解:由 m ? 2m ?1? m ?1,经检验, m ? 1 为所求;
2

2.已知圆 x -4 x -4+ y =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是

2

2

|2 ? 0 ?1| 2 ? ; 解:由已知得圆心为: P (2,0) ,由点到直线距离公式得: d ? 2 1?1 x 3.若函数 f (x) = a ( a >0,且 a ≠1)的反函数的图像过点(2,-1) ,则 a = ; 解:由互为反函数关系知, f (x) 过点 (?1,2) ,代入得: a ?1 ? 2 ? a ? 1 ; 2 3 C 4.计算: lim 3 n = ; n ?? n ? 1 1? 3 ? 2 3 Cn n(n ?1)(n ? 2) n3 ? 3n 2 ? 2n ? lim n n 2 ? 1 ; 解: lim 3 ? lim ? lim n?? n ?1 n?? (n3 ?1)? n?? (n3 ?1)? 3! 3! n?? (1? 1 )? 6 3! n3 ? ? 5.若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = ; 解:已知 ? Z ? iZ ? 2i ? Z ? 2i ? i ?1 ; 1? i 1 ? 6.如果 cos? = ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ? ? ) = ; 5 2 解:已知 ? cos(? ? ? ) ? ?sin? ? ?(? 1? cos 2 ? ) ? 2 6 ; 2 5 7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的
标准方程是 ;

?b 2 ? 4 ? ?a ? 2b, c ? 2 3 ? 2 2 y2 ? ? ?a ?16 ? x ? ?1 为所求; 解:已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?F (?2 3,0) ? ? 5? 8.在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, ) ,B(5,- ) ,则△OAB 的面积是 6 3 解:如图△OAB 中, OA ? 4,OB ? 5, ?AOB ? 2? ? (? ? (? 5? )) ? 5? 3 6 6 1 ?4? ? 5? ? 5 (平方单位); ? S?AOB ? 5 sin 2 6



9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们任意地排成 一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 解:分为二步完成: 1) 2) 剩下的一套全排列,有 P4 种方法; 所以,所求概率为:
1 C 2 P4 P4 1 ? ; P8 35

(结果用分数表示) ;

1 两套中任取一套,再作全排列,有 C2 ?P4 种方法;

10.如果一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一个正方体 中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ; 解:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对” ;而正方 体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正交线 面对” ,所以共有 36 个“正交线面对” ; 11.若曲线 y =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分别应满足的条件是 解:作出函数 y 2 ?| x | ?1 ? ? 如右图所示: 所以, k ? 0, b?(?1,1) ;
2



? x ?1, x ? 0 的图象, ?? x ?1, x ? 0

12.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 解:由 x +25+| x -5 x |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | ,
2 3 2

2

3

2



x

x x 且 | x ? 5 x |? 0 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立; 所以, a ? [ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;故 a?(??,10] ; x
2

而 x ? 25 ? 2 x?25 ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;

二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必本大题满分 16 分)须把正确结论的代号写在题 后的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括 号内) ,一律得零分. 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 ) D A B C

???? ???? ???? ???? ???? (A) AB ? DC ; (B) AD ? AB ? AC ; ???? ??? ? ? ???? ???? ???? (C) AB ? AD ? BD ; (D) AD ? CB ? 0 ; ???? ???? ???? 解:由向量定义易得, (C)选项错误; AB ? AD ? DB ;
的 解:

[答](

14.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” [答]( 充分性成立: “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况: 1)第四点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面上” ; 2)第四点不在共线三点所在的直线上,可推出“这四点在唯一的一个平面内” ; 必要性不成立: “四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上” ; 故选(A) 15.若关于 x 的不等式 (1 ? k 2 ) x ≤ k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k ,总有[答](
4



(A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件;



(A)2∈M,0∈M; (B)2 ? M,0 ? M; (C)2∈M,0 ? M; (D)2 ? M,0∈M; 解:选(A) 方法 1:代入判断法,将 x ? 2, x ? 0 分别代入不等式中,判断关于 k 的不等式解集是 否为 R ; 方法 2:求出不等式的解集:
4 (1 ? k 2 ) x ≤ k 4 +4 ? x ? k 2 ? 4 ? (k 2 ?1) ? 25 ? 2 ? x ? [(k 2 ?1) ? 25 ? 2]min ? 2 5 ? 2 ; k ?1 k ?1 k ?1 16.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到 直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” . l1 已知常数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: ① 若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的 M( p , q ) 点有且仅有 1 个; l2 ② 若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为 O ( p , q )的点有且仅有 2 个; ③ 若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个.

上述命题中,正确命题的个数是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 解:选(D)

[答](



① 正确,此点为点 O ; ② 正确,注意到 p, q 为常数,由 p, q 中必有一个为零,另

一个非零,从而可知有且仅有 2 个点,这两点在其中一条直线上,且到另一直线的距 离为 q (或 p ) ③ 正确,四个交点为与直线 l1 相距为 p 的两条平行线和与直线 l 2 ; 相距为 q 的两条平行线的交点; 三.解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 12 分) 求函数 y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域和最小正周期.

4

4

[解]

y ? 2 c o sx(? ? ) c x ? ? ? ) 3 s i n 2 os( x 4 4 ? 2( 1 cos 2 x ? 1 sin 2 x ) ? 3sin 2 x 2 2 ? cos2 x ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? ? ) 6 4 4

∴ 函数 y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域是 [?2,2] ,最小正周期是 ? ; 18. (本题满分 12 分) 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待 营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙 船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1? )? [解] 连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2× 10COS120° 20× =700. 于是,BC=10 7 . ∵
?

sin ACB sin 120? ? , 20 10 7

∴ sin∠ ACB= ∴ ACB=41° ∠

3 , 7

∵ ACB<90° ∠

∴ 乙船应朝北偏东 71° 方向沿直线前往 B 处救援.

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交 于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结果用 反三角函数值表示) . [解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥ 平面 ABCD,得 ∠ PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠ PBO=60° . 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥ =1, BO, 于是,PO=BOtg60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . = A B E O D C
? ?

P

∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 × 3 × 3 =2. 2 3

(2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、 D、P 的坐标分别是 A(0,- 3 ,0), B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, E 是 PB 的中点,则 E(

3 ).
3 ), AP =(0, 2

1 3 3 ,0, ) 于是 DE =( ,0, 2 2 2

3 , 3 ).

3 2 2 2 ? 设 DE AP 的夹角为 θ,有 cosθ= ,θ=arccos , 与 4 4 9 3 ? ? 3?3 4 4
∴ 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥ PA, ∴ FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 ∠ 角(或它的补角), 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30° 3 =OP, = 于是, 在等腰 Rt△POA 中,

2 ; 4

6 . 2 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 ,
PA= 6 ,则 EF=

1 6 EF 2 2 ? 4 = cos∠ FED= DE 3 4
∴ 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

2 . 4

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1)设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6 )、B(3,- 6 ). ∴OA? OB =3;
?? ? ?? ?

2

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,

? y2 ? 2x 由? 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ??6 ? y ? k ( x ? 3)
又 ∵ x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 ,

2

2

∴OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 3 ,

??? ??? ? ?

4

综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB =3”是真命题; (2)逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B(

??? ??? ? ? 1 ,1),此时 OA? OB =3, 2

直线 AB 的方程为: y ? 2 ( x ?1) ,而 T(3,0)不在直线 AB 上;

3

说明:由抛物线 y =2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OA? OB =3,可得 y1y2=-6, 或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2,可证得直线 AB 过点(-1,0),而不过点(3,0). 21. (本题满分 16 分,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分) 已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项 (整数 k ≥2) 首项 a1 =2. , 设该数列的前 n 项和为 S n , a n ?1 = (a ? 1) S n +2 n 且 ( =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列;
2

2

(2)若 a =2 2 k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn = 求数列 { bn } 的通项公式;

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) , n 3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2

(3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - ≤4,求 k 的值. (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则

a2 =a; a1

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴ 数列{an}是等比数列. an
n
1? 2 ??? ( n ?1)

(2) 解:由(1) 得 an=2a bn= [n ?

n ?1

, ∴ 1a2…an=2 a a

=2 a

n

n ( n ?1) 2

n?

=2

n ( n ?1) 2 k ?1

,

n(n ? 1) n ?1 ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 1 n

3 . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
当 n≥k+1 时, bn> =(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 =[ 2 . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1


k2 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 2k ? 1

4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

∴ k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 当 22. (本题满分 18 分,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 9 分) 已知函数 y = x + 增函数.

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函数,在 [ x

a ,+∞ ) 上是

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的 x x 函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F (x) 1 n 1 1 2 n = ( x ? ) + ( 2 ? x ) ( n 是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利 x 2 x
(1)如果函数 y = x + 用你的研究结论) . [解](1)函数 y=x+

2b (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴ b=log29. x
2

(2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ?

c c c 2 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . 2 x2 x1 x1 ? x2
2

c 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x2 c 2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数. x c 2 又 y= x ? 2 是偶函数,于是, x
当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ? 该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函数; (3) 可以把函数推广为 y= x ?
n

a (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn a n 当 n 是奇数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x
在(-∞,- 2 n a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数;

当 n 是偶数时,函数 y= x ?
n

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, xn
在(-∞,- 2 n a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数;

1 n 1 ) + ( 2 ? x) n x x 1 1 1 1 0 2n 1 2 n ?3 r n ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3 r 2 n ?3 r ) ? ? ? C n ( x n ? n ) = Cn ( x ? 2n ) ? Cn ( x x x x x 1 因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2 1 9 9 所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( )n+( )n; 2 2 4
F(x)= ( x ?
2

当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1;


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