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高中常用函数图像与性质

时间:2019-03-01

Mathematics·Physics·Chemistry

高中常用函数图像与性质
一、常值(数)函数
1. 定义:一般地,形如 y ? c(c为常数) ,那么叫做常值(数)函数. 2. 图像与性质: 解析式

y ? c(c ? 0)

y?0

y ? c(c ? 0)

图像

定义域 值域 性质 单调性 奇偶性 对称性

?y y ? c?
不具单调性 偶函数 对称轴: y 轴( x ? 0 )

R

二、一次函数
1. 定义:一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.特别地,当 b=0 时,y=kx,此时 y 叫做 x 的正比例函数,正比例函数是一种特殊的一次函数. 2. 图像与性质: 一次 函数
k ,b 符号 k ?0 b?0 b?0 b?0 b?0 k ? kx ? b ? k ? 0 ? k ?0 b?0 b?0

图象

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

三、二次函数
1. 定义:一般地,形如 y ? ax 2 ? bx ? c ( a , b, c 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数. 2. 解析式: (1)一般式: y ? ax ? bx ? c (c ? 0) ; (2)顶点式: y ? a ( x ? 0779-209-7897
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ( a ? 0) ; 2a 4a
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(3)两点式: a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ? 0) ,其中 ( x1 , 0) , ( x2 , 0) 为图像与 x 轴了两交点的坐标. 3. 二次函数 y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax 2 ? bx ? c 的比较:
2

从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax 2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
2

b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 ? ,其中 . h ? ? , k ? y ? a? x ? ? ? 2a 4a 2a ? 4a ?

2

4. 二次函数的系数 a , b , c 对图像的影响 (1)系数 a : ① a ? 0 ,开口向上; a ? 0 ,开口向下; ② a 越大,开口越大; a 越小,开口越小; (2)系数 b : a , b 的符号共同决定对称轴的位置, “左同右异”

b 在 y 轴左侧, 2a b ②a、 b 异号: ab ? 0 ,对称轴 x ? ? 在 y 轴右侧; 2a
①a、 b 同号: ab ? 0 ,对称轴 x ? ? (3)常数 c :与 y 轴交点坐标 (0 , c) ; 5. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的性质

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ?

a?0

a?0

图像

定义域 对称轴

? ?? , ? ? ?
x?? b 2a

顶点坐标

? b 4ac ? b 2 ? , ?? ? 4a ? ? 2a 4ac ? b 2 ( , ? ?) 4a
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值域

? 4ac ? b 2 ? ? ?? , ? 4a ? ?
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单调区间

Mathematics·Physics·Chemistry b (?? , ? ) 递减 2a b (? , ? ?) 递增 2a

(?? , ? (?

b , ? ?) 递减 2a

b ) 递增 2a

6. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a ( x ? h) 2 ? k ,确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标, 然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、 与 y 轴的交点 ? 0 , c? 、 以及 ? 0 , c ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , c ? 、与 x 轴的交点 ? x1 , 0 ? , ? x2 , 0 ? (若与 x 轴没有交点,则取两组关 于对称轴对称的点). 画草图时应抓住 5 要素:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 7. 二次函数与一元二次方程 (1)当抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 与 x 轴两个交点时,公共点的横坐标 x1 , x2 是一元二次方程
2

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根.
(2)①当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 与 x 轴有两个交点; ②当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 与 x 轴有 1 个交点(顶点) ; ③当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 与 x 轴无交点; (3)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时: ①当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方, y ? 0 恒成立; ②当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方, y ? 0 恒成立;
2 2 2 2 2 2

四、反比例函数
1. 定义:一般地,形如 y ? 2. 图像与性质: 函数解析式

k ( x ? 0) 的函数,称为反比例函数. x k ?0 k ?0

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y?

k x

定义域 值域 性质 单调性 奇偶性 对称性

(?? , 0) ? (0 , ? ?) (?? , 0) ? (0 , ? ?)
单减区间: (?? , 0) , (0 , ? ? ) 奇函数 对称中心: (0 , 0)

(?? , 0) ? (0 , ? ?) (?? , 0) ? (0 , ? ?)
单增区间: (?? , 0) , (0 , ? ? ) 奇函数 对称中心: (0 , 0)

五、指数函数
1. 定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) , x 为自变量,函数定义域为 R . 2. 图像与性质:
0 ? a ?1 a ?1

图像 定义域 值域 性质
R (0, ? ?)

(1)过定点(0,1) ,即 x ? 0时, y ? 1 (2)在 R 上为减函数 (2)在 R 上为增函数

六、对数函数
1. 定义:函数 y ? log a x(a ? 0 , 且a ? 1) , x 为自变量,函数定义域为 (0 , ? ?) . 2. 图像与性质:

0 ? a ?1

a ?1

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图像

定义域 值域 性质

(0,+∞)
R

(1)过定点(1,0) ,即 x ? 1时, y ? 0 (2)在 (0 , ? ?) 上为减函数 (2)在 (0 , ? ?) 上为增函数

七、幂函数
1. 定义:形如 y ? x 叫做幂函数,其中 x 是自变量, ? 为常数. 2. 几种常见幂函数的图像
?

3. 几种常见幂函数.的图像与性质 幂函数 性质

y?x

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x -1

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图像

定义域 值域 奇偶性

R R 奇函数

R [0,+∞) 偶函数 在(-∞,0]是减 函数, 在[0, +∞) 是增函数

R R 奇函数

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶函数

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 在(-∞,0)是减 函数, 在(0, +∞) 是增函数 (1,1)

单调性

增函数

增函数

增函数

定点

(0,0) , (1,1)

八、对勾函数
1. 定义: 2. 图像与性质: 解析式

b f ( x) ? ax ? (a ? 0 , b ? 0) x

图像

定义域 值域

?x x ? 0?
(?? , ? 2 ab ] ? [2 ab , ? ?)
单调增区间: ( ?? , ?

性质 单调性

b b ),( , ? ?) a a

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单调减区间: ( ? 奇偶性 对称性

b b , 0) , ( 0 , ) a a

奇函数 对称中心: ( 0 , 0)

九、分式函数
1. 定义:一般地,形如: f ( x ) ? 2. 图像与性质:

ax ? b (ad ? cb) 叫做分式函数. cx ? d

d a d a , y ? (恰为系数之比)为渐近线的双曲线,对称中心 (? , ) ,通常用代点法确定两支 c c c c 2 x ?1 双曲线的位置。例如: y ? 的图象如图所示: 3x ? 5
图象是以直线 x ? ?

十、三角函数
1. 定义:正弦函数 y ? sin x ,余弦函数 y ? cos x ,正切函数 y ? tan x . 2. 图像与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

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值域

? ?1,1?
当 x ? 2k ? ? 时 ,

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

R

? 2

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

最值

? x ? 2k ? ? 2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

在 ? 2 k? ?

? ?

? ?? , 2 k? ? ? 2 2?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

在 ? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? k ? ? ? 上 是增函数; 在 ? 2 k? , 2 k? ? ? ?

在 ? k? ?

? ?

? ?? , k? ? ? 2 2?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称性 对 称 轴 对 称 中 心 对称中心 ? 无对称轴

x ? k? ?

? ?k ? ? ? 2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

? k? ? , 0? ?k ? ?? ? 2 ?

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