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选修2-1 空间向量与立体几何 教案

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富县高级中学集体备课教案
年级: 高二 课 题 科目: 数学 授课人: 授课时间: 序号 第 节

从平面向量到空间向量

第 1 课时

三维目标

1.知识与技能 理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法, 掌握空间向量的方向向量和平面的法向量的概念; 2.过程与方法 通过对平面向量的内容的复习掌握空间向量的基本知识, 掌握类比 的学习方法;体会从二维空间到三维空间的变化,培养学生迁移的能力。 3、情感、态度与价值观 学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断地发 展、变化,会用联系的观点看待事物。 理解空间向量的概念, 直线的方向向量和平面的法向量的概念 正确找出已知平面的法向量 中心发 言人 1 课时

重 难 教 教

点 点 具 法

课 型 学 法

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复习引入: 复习平面向量的一些基本概念:向量、向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、 向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标 表示、向量的夹角、向量的数量积。 新知学习 1.空间向量 (1)在空间中,既有________又有________的量,叫作空间 向量.(2)向量用小写字母表示,如: a , b 或 a,b. → 也可用大写字母表示,如:AB,其中______叫做 向量的起



?

?



点,______叫做向量的终点. (3)数学中所讨论的向量与向量的__无关,称之为自由向量. (4)与平面向量一样,空间向量的大小也叫作向量的长度或


模,用________或______表示. (5)向量夹角的定义:如图所示,两非零向量 a,b,在空间 → → 中任取点 O,作OA=a,OB=b,则________叫作向量 a,b 的夹角,记作________. (6)向量夹角的范围: 规定__________.

[来源:学科网]

π (7)特殊角: 当 〈a, b〉 = 时, 向量 a 与 b____, 记作________; 2 当 〈a, b〉 =0 或 π 时, 向量 a 与 b______, 记作______. 2.向量、直线、平面 (1)所谓直线的方向向量是指和这条直线________或______ 的非零向量,一条直线的方向向量有_______________个.

(2) 如果直线 l 垂直于平面 α,那么把直线 l 的____________, 叫作平面 α 的法向量. 平面 α 有______个法向量,平面 α 的所有法向量都 ________. (3)空间中,若一个向量所在直线__________一个平面,则 称这个向量平行该平面.把__________向量称为共面向量. 例题讲解 例 1:见教材例题 1 例 2:见《新学案》23 页例 2 例 3:见《新学案》24 页例 3 当堂检测 1.下列命题中,假命题是( ) → → A.向量AB与BA的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于 0 D.共线的单位向量都相等 2.给出下列命题 ①空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角; ②相互平行的向量一定共面,共面的向量也一定相互平行; ③空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹 角.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱、面对角线、体对 角线所对应的向量中, 是平面 A1B1CD 的法向量的是_____. 课后小结:

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富县高级中学集体备课教案
年级: 高二 课 题 科目: 数学 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间向量的运算
1.运用类比方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; 2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质; 3.理解空间向量共线的充要条件 . 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质 空间向量的线性运算及其性质

第 1 课时

三维目标 重 难 教 教 点 点 具 法

中心发 言人

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自主学习:

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1 课时

1.空间向量的加法:设 a 和 b 是空间两个向量,过空间一 → → 点 O 作OA=a,OB=b,则平行四边形的对角线 OC 对应的 ____就是 a 与 b 的和,记作________. 2 .空间向量的减法: a 与 b 的差定义为__________,记作





__________,其中-b 是 b 的相反向量. 3.空间向量加减法的运算律 (1)结合律:(a+b)+c=____. (2)交换律:a+b=__________.



4.数乘的定义:空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个_ ,记 作__.(1)|λa|=________.



(2)当________时,λa 与 a 方向相同; 当________时,λa 与 a 方向相反; 当________时,λa=0. (3)交换律:λa=________(λ∈R). (4)分配律: λ(a+b)=___.(λ+μ)a=_____(λ∈R, μ∈R). (5)结合律:(λμ)a=__________(λ∈R,μ∈R). 5.空间两个向量 a 与 b (b≠0)共线的充分必要条件是存在 实数 λ,使得____________. 6.空间向量的数量积:空间两个向量 a 和 b 的数量积是

________,等于_______,记作_________. 7.空间向量的数量积的运算律: (1)交换律:a· b=__________; (2)分配律:a· (b+c)=__________; (3)(3)λ(a· b)=____________ (λ∈R). 8.利用空间向量的数量积得到的结论: (1)|a|=____________;(2)a⊥b ? ____________; (3)cos〈a,b〉=____________ (a≠0,b≠0). 例题讲解 例 1:见教材例题 1 例 2:见教材例题 2 例 3:综合应用:见《新学案》28 页例 3 当堂检测:1.在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,向量

→ -AB → +BC → 化简后的结果是( 表达式DD 1
→ A.BD1 → B.D1B → C.B1D

)
→ D.DB1

→ 1 → → 2. 四面体 ABCD 中, 设 M 是 CD 的中点, 则AB+ (BD+BC) 2 化简的结果是( → A.AM ) → B.BM → C.CM → D.DM

3.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 课后小结:

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空间向量的标准正交分解与坐标表示

第 1 课时

三维目标

1.明确空间向量的标准正交分解的方法和空间向量的坐标表示方法;通过实 际作图会求空间直角坐标系中某一向量的坐标; 2.学会利用坐标来表示向量、表示点,学会利用坐标的方法表示几何图形中 的点、向量,将几何问题代数化; 3. 培养用向量工具将几何问题代数化的转化能力及用代数方法解决立体几何 问题的意识。 空间向量的正交分解 求一个向量的正交分解下的坐标 中心发 言人

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一、复习引入

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1 课时



平面向量的正交分解我们已经解决,那么在空间中, 我们该如何确定一个向量的坐标呢?本节课我们重点来解 决这个问题。 二、新知学习 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 , 这个基底叫单位正交基底,用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} , 以点 O 为原点,分别以 i, j , k

?? ?



?? ?

?? ?



的方向为正方向建立三条 数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它 们都叫坐标轴.我们称建 立了一个空间直角坐标系



O ? xyz ,点 O 叫原点,向量

?? ? i, j , k 都叫坐标向量.通过每
两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面。 (3)作空间直角坐标系 O ? xyz 时,一般使 ?xOy ? 135
?

(或 45 ), ?yOz ? 90? ;
?

(4) 在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向 x 轴的正方向, 食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,称 这个坐标系为右手直角坐标系 规定立几中建立的坐标系为 右手直角坐标系 三、例题精讲 例 1 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB,PC 的三等分点且 PN=2NC,AM=2MB,PA
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

=AB=1,求 MN 的坐标. ∵PA=AB=AD=1, 且 PA 垂直于平面 ABCD,AD⊥AB, ???? ???? → → ∴可设 AD =i,AB=i, AD =j,AP=k. 以 i,j,k 为单位正交基底建立如图所示的空间 直角坐标系. ???? ? ? → 2 2 ??? → → ???? ∵ MN = MA + AP + PN =- AB + AP + 3 3 → PC ? → 2 → → ??? ? 2 ??? =- AB +AP+ (-AP+AD+ AB ) 3 3 ??? ? 1 2→ 1 2→ 2 1 AP +3AD = = k+ AD= i+ k, 3 3 3 3 3 解

???? ?

???? ? 2 1? ∴ MN = ? ?3,0,3?.

例 2(见教材 34 页) 四、课堂小结 五、作业布置

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空间向量基本定理

第 1 课时

三维目标

1. 掌握及其推论, 理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示, 而且这种表示是唯一的; 2.在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量。 3、情感、态度与价值观 学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断地发 展、变化,会用联系的观点看待事物。 空间向量的基本定理及其推论 间向量的基本定理唯一性的理解 中心发 言人

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一、复习引入 平面向量基本定理的内容及其理解 二、新知学习 空间向量的基本定理

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1 课时



? p , 存 在 一 个 唯 一 的 有 序 实 数 组 ( x, y , z ) , 使
p ? xe1 ? ye2 ? ze3

如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么对空间任一向量

C' C

P
B P' B'



证明:(存在性)设 e1 , e2 , e3 不共面,
O

过点 O 作 OA ? e1 , OB ? e2 , OC ? e3 , OP ? p

A A'



过点 P 作直线 PP? 平行于 OC ,交平面 OAB 于点 P? ; 在 平 面 OAB 内 , 过 点

P? 作 直 线

P?A? // OB, P?B? // OA , 分 别 与 直 线 OA, OB 相 交 于 点



A?, B? ,于是,存在三个实数 x, y, z ,使

??? ? ???? ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? OA? ? OB? ? OC? ? xOA ? yOB ? zOC
所以 p ? xe1 ? ye2 ? ze3

OA/ ? OA ? xe1 , OB / ? OB ? ye2 , OC / ? OC ? ze3



( 唯 一 性 ) 假 设 还 存 在

x?, y?, z? 使

p ? x / e1 ? y / e2 ? z / e3


xe1 ? ye2 ? ze3

? x / e1 ? y / e2 ? z / e3

∴ ( x ? x / )e1 ? ( y ? y / )e2 ? ( z ? z / )e3 ? 0

不妨设 x ? x? 即 x ? x? ? 0 y ? y/ z ? z/ e2 ? e3 ∴ e1 ? ? / x?x x ? x/ ∴ e1 , e2 , e3 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 ,综上两方面,原命题成立
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由此定理, 若三向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么空间的任 一向量都可由 e1 , e2 , e3 线性表示,我们把{ e1 , e2 , e3 }叫做空 间的一个基底, e1 , e2 , e3 叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基 底
王新敞
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如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直, 那么这 个基底叫做正交基底,特别地,当一个正交基底的三个基 向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常 用 i, j, k 表示。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P , 存 唯 的?三 个 有 序 实 数 x, y, z , 使 ??? ? 都 ??? ? 在??? ? 一 ???
王新敞
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? ?

三、例题讲解 例 1:已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,那么向 量 a+b,a-b,c 能构成空间的一个基底吗?为什么? → 例 2:在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,OC= → → a,AD=b,AA′=c,P 是 CA′的中点,M 是 CD′的中 点, N 是 C′D′的中点, 点 Q 是 CA′上的点, 且 CQ∶QA′ =4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量: (1) AP ; 四、课堂小结 五、作业布置

OP ? xOA ? yOB ? zOC

??? ?

→ (2)AM;

(3) AN ;

????

→ (4)AQ.

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空间向量运算的坐标表示

第 1 课时

1.通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比,使学生掌握空间向量 运算的坐标表示,渗透类比的数学方法;

三维目标

2.会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题,体会向量方法在研究 空间图形中的作用,培养学生的空间想象能力和几何直观能力. 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示的应用 多媒体、三角板 启发诱导、练讲结合 中心发言 人

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一、复习引入:平面向量的坐标运算: 思考: 你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标 运算吗?它们是否成立?为什么? 二、新授: (一)间向量运算的坐标表示:设

? ? a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ), A( x1, y1, z1), B( x2 , y2 , z2 ) ,
则(1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

? ?



? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )



? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R)
? ? a ? b ? a1b2 ? a2b2 ? a3b3
(2) a // b ? a ? ?b(b ? 0) 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3

?

? ?

?

??

?



? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
(3) | a |? a1 ? a2 ? a1
2 2

?

2

(4)

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos a, b ? ? ? ? 2 2 3 2 | a || b | a1 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

(二)应用举例 ? ? ? ? ? ? 例 1 ()已知 1 a ? (?3, 2, 5), b ? (1, 5, ?1), 则a ? b ? _______, 3a ? b ? ________, ? ? ? ? ? 6a ? ___________, a ? b ? _____, cos ? a, b ?? ______ .

? ? ? ? a ? ( 2 , ? 1 , 3 ), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b , (1)已知向量 ? ? a x ? 则 ______;(2)若 // b 则 x ? ______.
例 2.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E1 , F 1 分别 是A 求直线 BE1 与 DF 1 所成角的 1B 1 , C1D 1 的一个四等分点, 余弦值. 练习: 如图, 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 点M 1B 1C1D 1 中, 是 AB 的中点,求 DB1 与 MC 所成的角的余弦值.
1 思考: 你能总结出利用空间向量的坐标运算解决简单立体几 A 何问题的一般步骤吗? (1)建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标 . (建系求点) (2) 将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示. (构造 A 向量并坐标化) (3)经过向量运算确定几何关系,解决几何问题.(向量运 算、几何结论)

D 1 B 1 D D M

C 1

C B

例3.如图,在棱长为1的正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,点E, F 分别 是BB1 , D1 B1的中点,求证:EF ? DA1 .
练习: 在例3中,若G为的B1C1中点,求证:DA 1 ? 平面EFG. 探究:例3中,在B C 上是否存在一点M,使得DA ? 平面EFM? 1 1 1

若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
三、课堂总结: 四、作业布置:

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年级:高 课 题 科目: 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间的角的计算(一)
能用向量方法解决线与线、线与面的夹角的计算问题 异线角与线面角的计算 异线角与线面角的计算

第 1 课时

三维目标 重 难 教 教 点 点 具 法

中心 发言 人

多媒体
探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景

课 型 学 法

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1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法



2、向量的夹角公式 (二)、探析新课



1、法向量在求面面角中的应用: 原理: 一个二面角的平面角 ? 1 与这个二面角的两个半平 面的法向量所成的角 ? 2 相等或互补。



2、法向量在求线面角中的应用: 原理:设平面 ? 的斜线 l 与平面 ? 所的角为 ? 1,斜线 l



与平面 ? 的法向量所成角 ? 2,则 ? 1 与 ? 2 互余或与 ? 2 的补角互余。 (三)、知识运用 例 1 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 ,E1 , F1 分 别 在 A1B1,,C1D1 上,且 E1B1= 所成的角的大小。 解 1 : ( 几何法 ) 作平行线构造两条异面直线所成的角
?AHG

1 1 A1B1,D1F1= D1C1,求 BE1 与 DF1 4 4

cos ?AHG ?

15 17

解 2: (向量法) 设 DD1 ? 4a, D1 F1 ? b , 则 | a |?| b | 且 a ? b

| DF1 | 2 ?| BE1 | 2 ? (4a ) 2 ? b ? 17a DF1 ? BE1 ? ( 4a ? b)( 4a ? b) ? 15a

2

2

z D1 A1 H

F1 E1

C1

2

B1

cos ? BE1 , DF1 ??

BE1 ? DF1 | BE1 | | DF1 |

?

15 17
A x

D

C y G B

解 3: (坐标法)设正方体棱长为 4,以 DA, DC, DD1 为 正交基底,建立如图所示空间坐标系 D ? xyz

例1图

BE1 ? (0,?1,4) , DF1 ? (0,1,4) , BE1 ? DF1 =15
cos ? BE1 , DF1 ?? BE1 ? DF1 | BE1 | | DF1 | ? 15 17

例 2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, F 分别是 BC 的中 点, 点 E1 在 D1C1 上,且 D1 E1 ? 面 D1AC 所成角的大小 解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基 底,建立如图所示坐标系 D-xyz 向 量 , DB1 ? (1,1,1)

1 D1C1,试求直线 E1F 与平 4
z D1 E1 C1

A1

B1

DB1 为 D1AC 平面的法

1 3 E1 F ? ( , ,?1) 2 4

D F A x B

C y

cos ? DB1 , E1 F ??

87 87 87 87

例2图

所以直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值为

(四)、回顾总结:求异线角与线面角的方法,反思解 题,

教 后 反 思 审核人签字: 年 月 日

富县高级中学集体备课教案
年级:高 课 题 科目: 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间的角的计算(二)
能用向量方法解决二面角的计算问题 二面角的计算 二面角的计算

第 1 课时

三维目标 重 难 教 教 点 点 具 法

中心 发言 人

多媒体
探究归纳,讲练结合 (一)、创设情景

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1、二面角的定义及求解方法 2、平面的法向量的定义 (二)、探析新课



利用向量求二面角的大小。 方法一:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱
l A C B D



都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意:要特别 关注两个向量的方向) 如图:二面角 α -l-β 的大小为 θ ,A,B∈l,AC ? α ,

?
?

?



BD ? β , AC⊥l, BD⊥l 则θ =< AC , BD >=< CA , DB >
方法二:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离
l A

P



及到棱的距离,然后通过解直角三角形求角。 如图:已知二面角 α -l-β ,在 α 内取一点 P, 过 P 作 PO⊥β ,及 PA⊥l,连 AO,则 AO⊥l 成立,∠PAO 就是 二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|, 然后解三角 形 PAO 求出∠PAO。 方法三:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的 补角。 如图(1)P 为二面角 α -l-β 内一点,作 PA⊥α , PB⊥β ,则∠APB 与二面角的平面角互补。 (三)、知识运用

O

?

?
A l

P

?
B

z D1

C1

A1

B1

例 3 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 求 二 面 角

A1 ? BD ? C1 的大小。
解:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz (法一) EA1 ? ( ,? ,1) , EC1 ? (? , ,1)

1 2

1 2

1 1 2 2

cos ? EA1 , EC1 ??

1 3

( 法 二 ) 求 出 平 面 A1 BD 与 平 面 C1 BD 的 法 向 量

n1 ? (1,?1,1) , n2 ? (?1,1,1) cos ? n1 , n 2 ??

n1 ? n 2 | n1 | | n 2 |

?

1 3

例 4 已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所 成角的余弦值; (3)二面角 C ? D1 B1 ? B 的正弦值。
A1 z D1

C1

B1

解:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz

A1D 与 EF 所成角是 60 0
1 ? (2) cos ? A1 F , AB ?? | A1 F | | AB | 3
(3) cos ? AC1 , AC ??

D

F E

C y

A1 F ? AB

A x

B

AC1 ? AC | AC1 | | AC |

?

6 3

二面角 C ? D1 B1 ? B 的正弦值为

6 3

(四)、回顾总结:1、二面角的向量解法;2、法向量 的夹角与二面角相等或互补的判断。

教 后 反 思 审核人签字: 年 月 日富县

高级中学集体备课教案
年级:高 课 题 科目: 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间的距离
能用向量方法进行有关距离的计算。 向量方法求点到面的距离。 向量方法求点到面的距离。

第 1 课时

三维目标 重 难 教 教 点 点 具 法

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探究归纳,讲练结合 (一)、创设情景

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2

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1、 空间中的距离包括: 两点间的距离, 点到直线的距离, 点到平面的距离,平行直线间的距离,异面直线直线间



的距离,直线与平面的距离,两个平行平面间的距离。 这些距离的定义各不相同,但都是转化为平面上两点间



的距离来计算的。 2、求空间中的距离有⑴直接法,即直接求出垂线段的长 度;⑵转化法,转化为线面距或面面距,或转化为某三



棱锥的高,由等积法或等面积法求解;⑶向量法求解。 (二)、新课探析 1、两点间的距离公式










2



A ? x1 , y1 , z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ?
2 2





d AB ?

? x1 ? x2 ?

? ? y1 ? y2 ? ? ? z1 ? z2 ?

2、向量法在求异面直线间的距离 设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的 向量为 a ,与这两条异面直线都垂直的向量为 n ,则两 异面直线间的距离是 a 在 n 方向上的正射影向量的模。

d?

|a?n| |n|

4、向量法在求点到平面的距离中 (1) 设分别以平面外一点 P 与平面内一点 M 为起点和终 点的向量为 a , 平面的法向量为 n , 则 P 到平面的距离 d 等于 a 在 n 方向上正射影向量的模。 d ?

|a?n| |n|

(2)先求出平面的方程,然后用点到平面的距离公式: 点 P( x0,y0,z0)到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为: ︱A x0+B y0+C z0+D︱ d= 2 2 2 A +B +C (三)、知识运用
z

1、 例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 , 底面 Δ ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离。 解:如图建立空间直角坐标系,由已知得直棱柱各顶点 坐标如下: A (1,0,0) , B (0,1,0) , C (0,0,0) A( , 1 1,0, 3 )
B1 A C A1 C1

B1(0,1, 3 ),C1(0,0, 3 )

x

∴ A1 B = (-1,1,- 3 ) ,A1C = (-1,0,- 3 )
y

B

B1 A1 =(1,-1,0)
设 平 面 A1BC 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 则

?x ? ? 3 ? ? ?n ? A1 B ? 0 ? ? y ? 0 即 n ? (? 3,0,1) ? ? ?z ? 1 ?n ? A1C ? 0 ?
例 2、如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中
z A

点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 AB ? AD ? 2 (I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
x B O E C y D

解:(I)略(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角

坐标系, B(1,0,0), D(?1,0,0),

? ???? 1 3 ??? C (0, 3,0), A(0,0,1), E ( , ,0), BA ? (?1,0,1), CD ? (?1, ? 3,0). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? 4 BA CD

? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos

2 . 4

(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

?

? ???? ? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ???? ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0,

? ? ? x ? z ? 0, 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是 平 ?? ? ? 3 y ? z ? 0.
面 ACD 的一个法向量,又 EC ? (? ,

1 3 , 0), 2 2 ??? ?? EC.n 3 21 ? 点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? ? . 7 7 n

??? ?

例 3、直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. 解(Ⅰ)略(Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直 (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离。 (Ⅱ)求二面角 B-AC-E 的大小;线为 x 轴,AB 所在直 线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系 O—xyz,如图.

? AE ? 面 BCE,BE ? 面 BCE, ? AE ? BE ,
在 Rt?AEB中, AB ? 2, O为AB 的中点,

?OE ? 1

? A(0,?1,0), E(1,0,0), C (0,1,2).

AE ? (1,1,0), AC ? (0,2,2). 设平面 AEC 的一个法

向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

? ? y ? ? x, ? AE ? n ? 0, ? x ? y ? 0, 解得 ? 即? 2 y ? 2 x ? 0. ? ? z ? x, ? AC ? n ? 0, ?

令 x ? 1, 得 n ? (1,?1,1) 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

? cos( m, n) ?

m, n | m|?| n|

?

1 3

?

3 . 3

∴二面角 B—AC—E 的大小为 arccos

3 . 3

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ AD ? (0,0,2) , ∴点 D 到平面 ACE 的距离 d ?

| AD ? n | |n|

?

2 3

?

2 3. 3

(四)、回顾总结:向量法求距离,(1)设分别以平面 外一点 P 与平面内一点 M 为起点和终点的向量为 a ,平 面的法向量为 n ,则 P 到平面的距离 d 等于 a 在 n 方向 上正射影向量的模。 d ?

|a?n| |n|

(2)先求出平面的方程,然后用点到平面的距离公式: 点 P( x0,y0,z0)到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为: ︱A x0+B y0+C z0+D︱ d= 。 2 2 2 A +B +C (五)、布置作业:

教 后 反 思 审核人签字: 年 月 日

富县高级中学集体备课教案
年级:高 课 题 科目: 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间向量与立体几何复习与小结(一)
1、掌握空间向量的概念、运算及其应用;

第 1 课时

三维目标
2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

重 难 教 教

点 点 具 法

空间向量及其运算和空间向量的应用 空间向量及其运算和空间向量的应用

中心 发言 人

多媒体
探究归纳,讲练结合 (一)、基本概念 1、共线向量定理:

课 型 学 法

课时 安排

2

个人主页

2、空间向量的数量积: a ? b ? a ? b cos ? a, b ?

? ?

? ?

? ?



空间向量的数量积的性质: 空间向量的数量积的运算律:



3、向量的直角坐标运算: (二)基本方法 1、平面法向量的求法:



2、二面角的求法:

3、点、面距离的求法



设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的斜线段,则点 B 到

?

??? ? ? AB ? n 平面 ? 的距离 d ? ? 。 n
(三)、基本练习 1、如图,长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,AC 与 BD 的交点为

M,设 A1B1 ? a, A1D1 ? b,

A1A ? c ,则下列向量中与 B1M 相等的向量是(



A

1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a? b?c 2 2
A. ?

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.

2、在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( ) C A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D. 与 P 点位置无关 3、如图,正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点, 则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为 ( ) B

A.

3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 6

(四)作业布置:课本复习题(二)A 组中 1、3、4、6

教 后 反 思 审核人签字: 年 月 日

富县高级中学集体备课教案
年级:高 课 题 科目: 授课人: 授课时间: 序号 第 节

空间向量与立体几何复习与小结(二) 1、掌握空间向量的概念、运算及其应用;

第 2 课时

三维目标
2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 掌握空间向量的概念、 运算及其应用及掌握利用空间向量解决




立体几何问题的方法。 掌握空间向量的概念、 运算及其应用及掌握利用空间向量解决




立体几何问题的方法。

中心 发言 人

教 教

具 法

多媒体
探究归纳,讲练结合

课 型 学 法

课时安排

2

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(一)题型探析 1、利用空间向量证明平行、垂直问题 例 1、 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正



方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 于点 F。(1)证明:PA//平面 EDB;(2)证明:



PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小。 如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点。设



DC=a。


2、用空间向量求空间角 例 2、 正方形 ABCD— A1 B1C1 D1 中, E、 F 分别是 A 1 D1 ,

A 1C1 的中点,求:(1)异面直线 AE 与 CF 所成角的余
弦值;(2)二面角 C—AE—F 的余弦值的大小。

3、用空间向量求距离 例 3 、 长方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中, AB=4 , AD=6 ,

AA1 ? 4 ,M 是 A1C1 的中点,P 在线段 BC 上,且|CP|=2,
Q 是 DD1 的中点,求:(1)异面直线 AM 与 PQ 所成角的 余弦值;(2)M 到直线 PQ 的距离;(3)M 到平面 AB1P 的距离。

(三)、作业布置:

教 后 反 思 审核人签字: 年 月 日


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