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《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题 班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分.以下每道小题均给出了代号为 A,B, C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不 填、多填或错填都得 0 分) 4 2 4 1.已知实数 x,y 满足: 4- 2=3,y4+y2=3,则 4+y4 的值为 ( ) x x x 1+ 13 7+ 13 (A)7 (B) (C) (D)5 2 2 2.把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次,若两个 正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y=x2+mx+n 的图象与 x 轴有两个不同交点的概率 ( ) 5 4 17 1 (A) (B) (C) (D) 12 9 36 2 3.有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点可确定的不 同直线最少有 (A)6 条 (B)8 条 (C)10 条 (D)12 ( ) 是 4.已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦,且 AB=a<1.以 AB 为一边在圆 O 内作正△ABC,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DB=AB=a,DC 的延长线交圆 O 于点 E,则 AE 的长为 ( (A) ) 5 3 a (B)1 (C) (D)a 2 2 5.将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和 都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有 (A)2 种 (B)3 种 (C)4 种 (D)5 种 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 1 6.对于实数 u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于 x 的方程 x*(a*x)=- 有两个 4 不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是_______. 7.小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面驶来一 辆 18 路公交车.假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固定时间发 一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟. 8.如图,在△ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则 FC 的长为______. 9.△ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC 的内切圆圆心 I 作 DE∥BC,分别与 AB,AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为 ______. 10.关于 x,y 的方程 x +y =208(x-y)的所有正整数解为________. 三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) 2 2 ( ) A F B D M C 11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点,且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用 b 表示 k;(2)求△OAB 面 积的最小值. 12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程 px2-qx+p=0 有有理数根? 13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的△ABC?证 明你的结论. 14.从 1,2,?,9 中任取 n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它 们的和能被 10 整除,求 n 的最小值. 简答: 一. 选择题 ACBBD; 二. 填空题 6. a > 0 或 a <-1; 7. 4; 2b-b2 ,b > 2 ; 2(b+3) 8. 9; 9. 16 ; 10. x=48, x =160, 3 y=32; y=32. 三.解答题:11. (1)k= (2)当 b=2+ 10, k=-1 时,△OAB 面 积的最小值为 7+2 10; 12. 存在满足题设条件的质数 p,q. 当 p=2,q=5 时,方程 2x2-5x+ 1 2=0 的两根为 x1= , x2=2. 它们都是有理数; 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a= 2 6,b=4,c=5,且∠A=2∠B,证明略. 14. n 的最小值是 5,证明略.

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