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2014-2015学年第二学期高一数学期末考试模拟卷

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2014-2015 学年第二学期高一数学期末考试模拟卷
考试时间:120 分钟;满分:150

第 I 卷(选择题)

评卷人

得分 一、选择题

1. 已知 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0}, B ? {( x ? y, x ? 2 y) | ( x, y) ? A}, 点(u, v) ? B , 则 2u ? v 的最大值为 A.1 B.2 C.3 4

P ,则点 P 到点 A 的距离小等 2.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 内任取一点
于 a 的概率为 A.

2 2

B.

2 ? 2

C.

1 6

D. ?

1 6

3.已知{an}是首项为 50,公差为 2 的等差数列,{bn}是首项为 10,公差为 4 的等差数列,设 以 ak、bk 为相邻两边的矩形内最大圆的面积为 Sk,若 k≤21,那么 Sk 等于( ) 2 2 A.π (2k+1) B.π (2k+3) C.π (k+12)2 D.π (k+24)2 4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 2 , S 6 ? 18 ,则 A.17 B.33 C.-31 D.-3 5.下列赋值语句正确的是( ) A. a ? b ? 2 B. 5 ? a C. a ? b ? 4

S10 ?( S5



D. a ? a ? 2

6.同时抛掷三颗骰子一次,设 A ? “三个点数都不相同”, B ? “至少有一个 6 点” 则 P( B | A) 为( )

1 A. 2
7.函数 y ? A.10

60 B. 91

5 C. 18
)

91 D. 216

x2 ? 2 x ? 6 ( x ? 1) 的最小值为( x ?1
B.9 C.6 D.4

? x ? y ? 0, ? 8.若实数 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3, ?
A. 9 B. 3 C. 0 D. ?3



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9.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ? x, y ? ,则点 M 取自阴影部分的 概率为( y B (1,1) A x B. )
y ? x2

C O

y? x

1 2 1 D. 6
A.

1 3

C.

1 4

10.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为
开始 T=0,S=1 S=S -T T≥0 否 输出S 结束 是 T=T+S

A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 0 11.一支足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a, 与对手踢平(得 1 分)的概率为 b 负于对手(得 0 分)的概率为 c, a, b, c ? ? 0,1? .已知该足球队进行一场比赛得分的期 望是 1, 则 A.

16 3

1 1 ? 的最小值为( a 3b 14 17 10 B. C. D. 3 3 3
B.



12.已知ξ ~B(n,p) ,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于( A.

) D.

1 7

1 6

C.

1 5

1 4

13.已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b , b 与 c 的等差中项,则 为 A.

a c ? 的值 x y

1 2

B. ? 2

C. 2

D. 不确定

14.已知一个数列的前四项为

1 3 5 7 , ? 2 , 2 , ? 2 ,则它的一个通项公式为 2 2 4 8 16

试卷第 2 页,总 8 页

A. (?1)n

2n ? 1 (2n)2

B. ( ?1) n ?1

2n ? 1 (2n) 2

C. (?1)n

2n ? 1 22n

D. (?1)n?1

2n ? 1 22n

15 . 设 {an } 是 等 比 数 列 , 公 比 q ?

2 , Sn 为 {an } 的 前 n 项 和 。 记

Tn ?

17 Sn ? S2 n ,n? N* an ?1


设 Tn0 为数列 {Tn } 的最大项,则 n0 =(

A.3 B.4 C.5 D.6 16.已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题,假命题 ... 的是( ) (A)公差 d<0 (C)满足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 17.数列 1,3,6,10,15, ?的递推公式是 A. ? (B)在所有 Sn<0 中,S13 最大 (D)a6>a7

? a1 ? 1 ? an ?1 ? an ? n, n ? N ?

B. ?

? a1 ? 1 ?an ? an?1 ? n, n ? N ? , n ? 2 ?a1 ? 1 ? an?1 ? an?1 ? (n ? 1), n ? N ? , n ? 2


C. ?

?a1 ? 1 ?an ? an?1 ? (n ? 1), n ? N ?

D. ?

18.如果执行右面的算法语句输出结果是 2,则输入的 x 值是( 输入 x If x ? 1

Then

y ? 2x ? 1
Else

y ? x2 ? x
End If A.0 输出 y B.0 或 2 C.2 D.-1 或 2 )

? x? y?2?0 y x 19. 设实数 x, y 满足 ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? x ? y 的取值范围为( ? y?2?0 ?
A. ? ,2? ?3 ?

?1 ?

B. ?? ,2? ? 3 ?

? 8 ?

C.

? 8 3? ?? 3 , 2 ? ? ?

D. ?0, ? 2

? 3? ? ?

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第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题

20.在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ?
2

5 ,则公比 q 等于 4
把握认为两个变

21.若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k =4.013,那么有 量有关系 22.在

8 27 和 之间插入 3 个数,使这 5 个数成等比数列,则插入的 3 个数乘积为 3 2

23. 已知数列 ▲ .

{a n } , {bn } 满足

a1 ?

bn 1 , a n ? bn ? 1, bn?1 ? 2 b ? 2 1 ? an (n ? N? ) , 则 2012

? x 2 ? 3x ? 0 ? 24.不等式组 ? 1 的解集是 ?x ? ? x

.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 25 . 已 知 x , y 满 足 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 目 标 函 数 z ? 3x ? 4 y 的 最 大 值 ? 3 x ? y ? 3? 0 ?
为 .

? x ? 2 y ? 4 ≥ 0, ? 26. .已知实数 x 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ,y 满足条件 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ?3 x ? y ? 3 ≤ 0, ?
*



27 . 等 比 数 列 ?an ? 满 足 : 对 任 意 n ? N ,2 ? an?2 ? an ? ? 3an?1, an?1 ? an , 则 公 比

q?
28.在等比数列

.

? an ?中, an ? 0 ,且 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a 4 ? a5 的最小值为

29.某高中共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽 取 1 人, 抽到高二年级女生的概率是 0.19, 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生, 则在高三年级应抽取 名学生. 高一 女生 男生 373 377 高二 m 370 高三 n p

评卷人

得分 三、解答题

试卷第 4 页,总 8 页

30. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足

an ? 1 a ? 1 ( a >0,且 ? Sn a

a ? 1 )。数列 {bn } 满足 bn ? an ? lg an
(I)求数列

?a ? 的通项。
n

(II)若对一切 n ? N ? 都有 bn ? bn?1 ,求 a 的取值范围。 31.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 10 , a n?1 ? 9S n ? 10 . ⑴求证:数列 {lg a n } 是等差数列. ⑵设 Tn 是数列 ?

?

? 3 1 2 ? ? 的前 n 项和,求使 Tn ? (m ? 5m) 对所有的 n ? N (lg a )(lg a ) 4 n n ?1 ? ?

都成立的最大正整数 m 的值. (本题满分 12 分) 32 .记数列 {an } 的前 n 项和 S n ,且 S n ?

c 2 c n ? (1 ? )n(c为常数 ,n ? N *) ,且 2 2

a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列。
(1)求 c 的值; (2)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. a n a n ?1

33 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前

?3? n 项 和 Sn ? 3 ? ? ? ?2?

n ?1

? 1? n ? N * ? , 数 列 ?bn ? 满 足

bn ?

an ?1 ?n ? N* ? . log 3 an?1
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式,并说明 ?an ? 是否为等比数列; (2)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?
2

34.已知函数 f (x)=3x -6 x-5 . (1)求不等式 f (x)>4 的解集; (2)设 g (x)=f (x)-2 x +mx ,其中 m ?R,求 g (x) 在区间 l,3 上的最小值.
2

? ?

35. (本小题满分 12 分) 为了解我区中学生的体质状况及城乡大学生的体质差异, 对银川地区部分大学的学生进 行了身高、体重和肺活量的抽样调查。现随机抽取 100 名学生,测得其身高情况如下表 所示

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(1)请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据,并补全频率分布直方图,再 根据频率分布直方图估计众数的值; (2)若按身高分层抽样,抽取 20 人参加 2011 年庆元旦“步步高杯”全民健身运动其 中有 3 名学生参加越野比赛,记这 3 名学生中“身高低于 170Ccm”的人数为 ? ,求 ? 的 分布列及期望。 36 .设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na 1 ? ( n ?1) a 2 ?

?2 a n? 1 ? a n,

n ? N* ,已知 b1 ? m , b2 ?

3m ,其中 m ? 0 . 2

(Ⅰ) 求数列 {an } 的首项和公比; (Ⅱ) 当 m ? 9 时,求 bn ; (Ⅲ) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[2,6] ,求实数

m 的取值范围.
37.在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 3 ,如果向该矩形内随机投一点 P , 求使得△ ABP 与△ CDP 面积都不小于 1 的概率 38. (12 分)在数列{an}中, a1 ? (1)求数列{ an }的通项公式; (2) 计算 lim

3 且满足 a n ?1 ? 2a n ? 1 ? 0 2

sn ? n . n ?? an

39.某厂家拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业

1 方案进行评审.假设评审结果为 “支持 ”或“不支持”的概率都是 2 . 若某人获得两个“ 支
持”,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予 5 万元的资助;若未获 得“支持”,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总额. (Ⅰ)写出 ? 的分布列;
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(Ⅱ)求数学期望 E? . 40. (本题满分 14 分) 某校高三的某次数学测试中,对其中 100 名学生的成绩进行分析,按成绩分组,得到的 频率分布表如下: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 15 ② 20 20 10 100 频率 ① 0.35 0.20 0.20 0.10 1.00

[90,100)
[100,110) [110,120) [120,130) [130,140)

(1)求出频率分布表中①、②位置相应的数据; (2)为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛,学校决定在成绩较高的第 3、 4、5 组中分层抽样取 5 名学生,则第 4、5 组每组各抽取多少名学生? (3)为了了解学生的学习情况,学校又在这 5 名学生当中随机抽取 2 名进行访谈,求 第 4 组中至少有一名学生被抽到的概率是多少? 41.某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组得到的频率分布表如下图所示, 班号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180? ?180,185?

频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 160 165 170 175 180 185 成绩

频率分布直方图

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(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布 直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官的面试, 求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

试卷第 8 页,总 8 页

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参考答案 1.D 【解析】 2.D 【解析】 试题分析:依题意可知与点 A 距离等于 a 的点的轨迹是一个八分之一个球面,其体积为:

1 3 ?a ? 1 4 3 1 3 V1 ? ? ? a ? ? a , 点 P 到点 A 的距离小等于 a 的概率为 6 3 ? . 8 3 6 a 6
考点:本小题注意考查几何概型. 点评:本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识,考查空间想 象能力、化归与转化思想.属于基础题. 3.B 【解析】an=2n+48,bn=4n+6,当 k=21 时,ak≥bk. ∴(Sk)max=π ·( 4.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知

bk 2 ) =π (2k+3)2. 2

a1 (1 ? q3 ) a (1 ? q 6 ) ? 2, 1 ? 18 1? q 1? q







a1 (1 ? q 6 ) 18 1 ? q 6 1? q ? , ? 9, q 6 ? 9q3 ? 8 ? 0, q ? 1 ( 舍 去 ) , a1 (1 ? q3 ) 2 1 ? q 3 1? q
1 0 S10 1 ? q1 0 1 ? 2 ? ? ? 33 ,选 B . S5 1 ? q5 1 ? 25

q?2





考点:等比数列的求和公式 5.D 【解析】解:因为赋值语句就是将数字和式子赋值给变量,一次只能给一个变量赋值,因此 选D 6.A 【解析】根据条件概率的含义,P(A|B)其含义为在 B 发生的情况下,A 发生的概率, 即在“至少出现一个 6 点”的情况下, “三个点数都不相同”的概率, “至少出现一个 6 点”的情况数目为 6×6×6-5×5×5=91, 1 “三个点数都不相同”则只有一个 3 点,共 C3 ×5×4=60 种, 故 P(A|B)=60 ? 91 . 7.A 【解析】 y ? A.
答案第 1 页,总 14 页

x 2 ? 2 x ? 6 ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 9 9 ? ? x ?1? ? 4 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,选 x ?1 x ?1 x ?1

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8.A 【解析】

? x ? y ? 0, ? 试题分析: 作出不等式 ? x ? y ? 3 ? 0, 表示的区域如图所示, 从图可以看出, 当 x ? 3, y ? ?3 ?0 ? x ? 3, ?
时, 2 x ? y 取最大值 2 ? 3 ? (?3) ? 9 .
y 6 5 4 3 A 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 考点:线性规划 . 9.B 【解析】 B 1 2 3 4

试题分析:阴影部分的面积 S ?
2

??
1 0

?2 3 1 ? 1 ,而正方形 OABC 的 x ? x dx ? ? x 2 ? x3 ? 1 0 ? 3 ? 3 ?3
2

?

面积 S ? ? 1 ? 1 ,故点 M 取自阴影部分的概率为 P ? 考点:1.定积分;2.几何概型 10.D 【解析】

S 1 ? ,故选 B. S? 3

试题分析: T ? 0, S ? 1 ? T ? 1, S ? 0 ? T ? 1, S ? ?1

? T ? 0, S ? ?1 ? T ? ?1, S ? 0.
考点:算法和程序框图. 11.A 【解析】 试题分析:根据题意,由于足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a, 与对手踢平(得 1 分)的概率为 b 负于对手(得 0 分)的概率为 c,则可知 a+b+c=1,可知该足球队进行一场比 赛 得 分 的 期 望 3a+b=1 , 则

1 1 ? =( a 3 b

1 b1 )( ? 3 )=a + + 3 a b

a b 3

?

? a=b 时等号成立,故 + ? 2 ,当

1

b 0 a3

a b

1 3

0 a

=

答案第 2 页,总 14 页

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答案为 A。 考点:不等式 点评:主要是考查了均值不等式的求解最值的运用,属于基础题。 12.A 【解析】Eξ =np=7,Dξ =np(1-p)=6,所以 p= 13 . C
1 . 7

a?b b?c ,y ? , 2 2 a(b ? c) c(a ? b) ? a c ay ? cx 2(ab ? ac ? ac ? bc) 2 2 ? ? ? ? ? ?2 2 (b ? c) (a ? b) x y xy ab ? b ? ac ? bc ? 2 2
2 【 解 析 】 由 题 意 得 b ? ac, x ?

14.D 【解析】利用数列的奇数项为正,偶数项为负,判断 A、C 与 B、D 错误的一组,令 n=1,2, 3 判断符合的选项即可. 解答: 解: 因为一个数列的前四项为
1 3 5 7 数列的奇数项为正, 偶数项为负, , ? 2, 2, ? 2, 2 2 4 8 16

所以 A、C 必错误,B、D 中有一个正确,当 n=1,2 时都正确,n=3 时 B 为-5/36,不正确. 故选 D. 15.B 【解析】 试题分析:设等比数列的首项为 a1 ,则 an ? a1 ( 2)n?1,Sn ?

a1[1 ? ( 2)n ] 1? 2

∴ Tn=

17Sn ? S2 n an ?1

a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2 )2 n ] 17 ? ? 1 16 1 ? 2 1? 2 = ? ? [( 2 )n ? ? 17] n a1 ? ( 2 ) 1? 2 ( 2 )n

( 2 )n ?

16 16 ,即 n=4 时取等号,所以当 n0=4 时,Tn ? 8 ,当且仅当 ( 2 )n ? n ( 2) ( 2 )n

有最大值. 故选 B. 考点:1.数列递推式;2 等比数列的通项公式;3.等比数列的前 n 项和. 16.C 【解析】 试题分析:∵等差数列{an}中,S6 最大,且 S6>S7>S5∴a1>0,d<0,A 正确; ∵S6 最大,a6>0,a7<0,∴D 正确;

a1 ? a13 a ? a7 ? 13 ? 7 ×13<0, 2 2 a ? a7 a ? a12 ?12 ? 6 ?12 >0; ∵a6+a7>0,a6>-a7,s12= 1 2 2
∵S13= ∴Sn 的值当 n≤6 递增,当 n≥7 递减,前 12 项和为正,当 n=13 时为负.
答案第 3 页,总 14 页

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故 B 正确;满足 sn>0 的 n 的个数有 12 个,故 C 错误; 故选 C。 考点:本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式。 点评:典型题,在等差数列中 Sn 存在最大值的条件是:a1>0,d<0.一般两种解决问题的 思路: “项分析法”与“和分析法” 。 17.B 【解析】略 18.B 【解析】 试题分析:由题意算法语句是求函数 y ? ?

? 2x ? 1 ?x ? x
2

x ?1 x ?1

的值,算法语句输出结果是 2,即

y ? 2 ,有分段函数求值可得, x ? 0 或 x ? 2 ,故选B.
考点:算法语句,分段函数. 19.C 【解析】 20.

1 2

【解析】

5 a ? a6 4 1 1 ? ? ? q3 ? q ? . 试题分析:将已知条件相除, 4 a1 ? a3 10 8 2
考点:等比数列通项性质. 21.99% 【解析】略 22.216 【解析】本题考查等比数列的性质 设插入的三个数分别为 x, y, z ,则 y2 ? xz ; 因为 8 , x, y, z , 27 成等比数列,则有 y2 ? 8 ? 27 ? 36 ;
3 2 3 2

又因为 8 y ? x2 ? 0 ,所以 y ? 0 ,所以 y ? 6
3

所以 xyz ? 216 即插入的 3 个数乘积为 xyz ? 216

23.

2012 2013

答案第 4 页,总 14 页

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【解析】 bn ?1 ?

bn bn 1 , ? ? 2 2 1 ? an 1 ? (1 ? bn ) 2 ? bn

1 1 2 1 3 1 4 b1 ? 1 ? a1 ? ,?b2 ? ? , b3 ? ? , b4 ? ? ??? 1 3 2 4 3 5 2 2? 2? 2? 2 3 4 2012 b2012 ? 2013
24. {x - 1 ? x ? 3} 【解析】 试题分析:不等式 x 2 ? 3x ? 0, 可化为 x ? ( x ? 3) ? 0, 解得 0 ? x ? 3, 不等式

1 ? x ,可化为 x

1 - x2 x ?0 ?0 ? 0, 分为 {1 解得 x ? 1 或 ? 1 ? x ? 0 ,通过数轴表示出 0 ? x ? 3, 和 , 或 {1x? ? x 2 ?0 x 2 ?0, x
x ? 1 或 ? 1 ? x ? 0 ,求其公共部分.
考点:求不等式组的解集、分式不等式和一元二次不等式的解集. 25. 18 【解析】 试题分析:画出可行域,如下图所示,将目标函数变形为 y ? ? 时,直线的纵截距最大,故将直线 y ? ?

3 z x ? ,当 z 取到最大值 4 4

3 x 向上平移到过点 C 时,目标函数取到最大值, 4

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 C (2,3) ,故 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 . ? ?3x ? y ? 3 ? 0

4 y 3 2 D 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
考点:线性规划.
答案第 5 页,总 14 页

C x

1B 2

3

4

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26. 8 【解析】略 27.2 【解析】
2 试题分析:由已知得, 2q ? 2 ? 3q, q ? 2, ?

1 .因为 an?1 ? an ,所以 q ? 2 . 2

考点:1、等比数列;2、二次方程. 28. 2 2 【解析】先根据等比中项的性质可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6,进而根据 a1?a2???a7?a8=16 求得 a4a5 的值,最后根据均值不等式求得答案. 解答:解:∵数列{an}为等比数列, ∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6, 4 ∴a1?a2???a7?a8=(a4a5) =16, ∴a4a5=2 ∴a4+a5≥2 a 4a 5 ? 2 2 故答案为:2 2 29.16 【解析】 试题分析:抽到高二年级女生的概率是 0.19,属于古典概型,

m ? 0.19 ,∴ m ? 380 , 2000

这样高一学生总数为 750,高二学生总数为 750,那么高三学生总数为 500,应用分层抽样, 样本容量比与总体容量比相等,可得高三应抽取 16 人. 考点:分层抽样. 30.(1) an ? a n (n ? N ? (2) a ? 1 或 0 ? a ? 【解析】 试题分析:解: (1)由题意可知当 n ? 1 时, a1 ? a ????????????2 分 当 n ? 2 时, S n ?

1 2

S n ?1
用(1)式减去(2)式得: 所以数列 ?a n? 是等比数列

a (a n ? 1) (1) a ?1 a ? (a n ?1 ? 1) (2) a ?1

an ?a a n ?1
所以 an ? a n (n ? N ? ) ??????????6 分

(2)因为 bn ? an ? lg an 所以 bn ? n.a n . lg a 当对一切 n ? N ? 都有 bn ? bn?1 即有 n.a . lg a ? (n ? 1).a
n n?1

. lg a

答案第 6 页,总 14 页

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(1)当 lg a ? 0即有a ? 1 时有 a ? (2)当

n 当对一切 n ? N ? 都成立所以 a ? 1 ??9 分 n ?1 n 当 对 一 切 n ? N? 都 成 立 所 以 有 lg a ? 0即有0 ? a ? 1时 有 a ? n ?1

0?a?

1 2

??????????????????11 分

综合以上可知 a ? 1 或 0 ? a ?

1 2 ????????????12 分

考点:本试题考查的数列的通项公式,以及单调性性质。 点评:对于数列的通项公式的求解,一般可以通过前 n 项和与通项公式的关系来解得,也可 以利用递推关系来构造特殊的等差或者等比数列来求解。 而对于数列的单调性的证明, 一般 只能用定义法来说明,进而得到参数的范围,属于中档题。 31.解:⑴依题意,a2 ? 9a1 ? 10 ? 100 ,故 当 n ? 2 时, a n ? 9S n?1 ? 10 ① 又 a n?1 ? 9S n ? 10 ② ②―①整理得: ???????.????. (4 分)

a2 ? 10 ,????????????. (2 分) a1

a n ?1 ? 10 ,故 {an } n ? N ? 为等比数列, an

且 an ? a1q n?1 ? 10 n ,? lg an ? n . ? lg an?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1 , 即 {lg a n } 是等差数列. ⑵由⑴知, Tn ? 3( = 3(1 ? ?????????. (6 分)

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 3 .????????. (9 分) ? ? ? ?? ? ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1 3 3 1 ?Tn ? ,依题意有 ? (m 2 ? 5m) ,解得 ? 1 ? m ? 6 ,????? (11 分) 2 4 2
故所求最大正整数 m 的值为 5 【解析】略 32. (1)c=2 (2) ? ???????. (12 分)

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

【解析】 试 题 分 析 : 解 : ( Ⅰ ) 由

Sn ?

c 2 ? c? n ? ?1 ? ? n 2 ? 2?



n ? 1, a1 ? S1 ? 1; n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? 1 ? (n ?1)c

答案第 7 页,总 14 页

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故 an ? 1 ? (n ?1)c 而 a1 , a 2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列,即 ?1 ? c ? ? 1 ? 4c 且 c ? 0 ,所以 c ? 2
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2n ? 1 . ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ? bn ? 1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 3 3 5 ?( 1 1 ? ? ) 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列的通项公式和裂项求和的运用,属于基础题。

? 2, n ? 1 ? 33. (1)数列 ?an ? 的通项公式为? an ? ?? 3 ? n ?1 , ?an ? 不是等比数列; , n ? 2 ?? ? ?? 2 ?
(2)数列 ? 【解析】 试题分析: (1)已知 S n 求 an ,用 an ? ?

?1? 2 n ? 的前 n 项和 Tn ? 6 ? (6 ? 2n)( ) . 3 ? bn ?

? S1 , n ? 1 即可求出数列 ?an ? 的通项公式,由 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
?1? ? 的通项公式,用错位相减法求出前 n 项 ? bn ?

公式易知 ?an ? 不是等比数列; (2)先求出数列 ? 和 Tn .

(1) n ? 1 时,a1 ? S1 ? 2 , n ? 2时,Sn?1 ? 3 ? ?

?3? ?2?

n ?2

?3? ? 1 ,两式相减得 an ? ? ? ?2?

n ?1

? 2, n ? 1 ? ? an ? ?? 3 ? n ?1 ,故 ?an ? 不是等比数列. ?? ? , n ? 2 ?? 2 ?
(2) bn ?

1 3 n 1 2 ( ) , ? n( ) n n 2 bn 3 2 3 2 3 2 3

n n ?1 n 由错位相减得 Tn ? 6 ? 6( ) ? 3n( ) ? 6 ? (6 ? 2n)( ) .

答案第 8 页,总 14 页

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考点:数列通项公式的求法、数列求和. 34. (1) {x | x ? 3或x ? ?1}

?3m ? 14, m ? 0 ? 2 ? ?m ? 12m ? 56 2 ,0 ? m ? 4 . (2) g ? x ? ? x ? ? m ? 6? x ? 5 , g min ? x ? ? ? 4 ? ? ?m ? 10, m ? 4
【解析】 试题分析: (1)转化成解 x2 ? 2 x ? 3 ? 0, 得到解集为 {x | x ? 3或x ? ?1} . (2)化简得 g ( x) ? x2 ? (m ? 6) x ? 5 ,其图象开口向上,对称轴为 x ? ? 分类讨论,当 ?

m?6 , 2

m?6 m?6 m?6 ? 1, m ? 4 、1 ? ? ? 3, 0 ? m ? 4 、 ? ? 3, m ? 0 时,函教 2 2 2

在区间 l,3 取得最小值的情况. (1) f (x)>4 ,即 3x2 ? 6 x ? 5 ? 4, x2 ? 2 x ? 3 ? 0, 解得 x ? 3 或 x ? ?1 , 解集为 {x | x ? 3或x ? ?1} (2) g (x)=f (x)-2 x2 +mx 即 g ( x) ? x ? (m ? 6) x ? 5 ,其图象开口向上,对称轴为 x ? ?
2

? ?

m?6 , 2

所以,当 ?

m?6 ? 1, m ? 4 时,函教在区间 ?l,3? 单调递增,在 x ? 1 取得最小值,且最小值 2

为 m ? 10 ; 当 1? ?

m?6 m?6 ? 3, 0 ? m ? 4 时 , 函 教 在 x ? ? 取得最小值,且最小值为 2 2

?m 2 ? 12m ? 56 ; 4
当?

m?6 ? 3, m ? 0 时,函教在区间 ?l,3? 单调递减,在 x ? 3 取得最小值,且最小值为 2 3m ? 14 ;

?3m ? 14, m ? 0 ? 2 ? ?m ? 12m ? 56 ,0 ? m ? 4 . 综上知, g min ? x ? ? ? 4 ? ? ?m ? 10, m ? 4
考点:一元二次不等式的解法,二次函数的图象和性质. 35.解: (1) :①②③处分别填 2、35、0.350,众数是 172.5CM,补全频率分布直方图(略) ; (2) :用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则“身高低于 170CM”的有 5 人。所以 ? 的可
答案第 9 页,总 14 页

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能的值为 0,1,2,3 则 P(? ? 0) ?
3 C15 3 C 20

?

C 2 ? C 1 35 91 ; P(? ? 1) ? 15 3 5 ? ; 278 76 C 20
3 C5 5 1 ; ? ; P(? ? 3) ? 3 ? 38 C 20 114

P(? ? 2) ?

1 C15 ? C52 3 C 20

?
P E( ? )=

0

1

2

3

91 278 3 4

35 76

5 38

1 114

【解析】略 36.解:(Ⅰ) 由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ,

b2 ? 2a1 ? a2 , 所以 2a1 ? a2 ?
解得 a2 ? ?

3 m, 2

m 1 ,所以数列 {an } 的公比 q ? ? .???????????2 分 2 2 1 an ? m( ? ) n ?1 , 2

(Ⅱ) 因为

bn ? na1 ? (n ?1)a2 ?

? 2an?1 ? an ,?????①
? 2an ? an ?1 ,?????②

1 ? bn ? na2 ? (n ? 1)a3 ? 2
② ? ①得 ?

3 bn ? ?nm ? a2 ? a3 ? 2

? an ? an ?1 ,??????????4 分

3 所以 ? bn ? ?nm ? 2

1 1 ? m[1 ? (? )n ] 2 2 ? ?nm ? 1 m[1 ? (? 1 )n ] , 1 3 2 1 ? (? ) 2

当 m ? 9 时, bn ? 6n ? 2 ? (?2)1?n .????????????6 分

1 m[1 ? (? )n ] 2 ? 2m ? [1 ? (? 1 )n ] ,????????????7 分 (Ⅲ) Sn ? 1 3 2 1 ? (? ) 2
答案第 10 页,总 14 页

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因为 1 ? (? ) ? 0 ,所以,由 Sn ?[2,6] 得
n

1 2

2 1 1 ? (? ) n 2

?

2m 6 , ? 3 1 ? (? 1 ) n 2
1 2
n

注意到,当 n 为奇数时 1 ? (? ) ? (1, ] ,当 n 为偶数时 1 ? (? ) ? [ ,1) ,
n

1 2

3 2

3 4

所以 1 ? ( ? ) 最大值为
n

1 2

3 3 ,最小值为 .????????????9 分 2 4

对于任意的正整数 n 都有

2 1 1 ? (? ) n 2

?

2m 6 , ? 3 1 ? (? 1 ) n 2

所以

8 2m ? ? 4,4 ? m ? 6. 3 3

即所求实数 m 的取值范围是 {m 4 ? m ? 6} .??????????????10 分 【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解,以及数列前 n 项和的运用。 ( 1 )因为设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? ( n ?1) a2 ?

? 2 an?1 ? an ,

n ? N* ,已知 b1 ? m , b2 ?

3m ,其中 m ? 0 ,那么可知由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m , 2 3 m, 2

b2 ? 2a1 ? a2 , 所以 2a1 ? a2 ?
解得 a2 ? ?

m 1 ,所以数列 {an } 的公比 q ? ? 2 2

(2)利用错位相减法得到数列 bn 的公式。 (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[2,6]

1 m[1 ? (? )n ] 2 ? 2m ? [1 ? (? 1 )n ] ,可以解得。 因为 Sn ? 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 37. 3
【解析】如图:

答案第 11 页,总 14 页

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当 P 点落在如图所示的黄色阴影部分时,△ ABP 的面积

S1 ?

1 1 . AB .h ? .2.h ? h 2 2

其中 h 为高,即 P 到 AB 边的距离, AE ? EF ? FD ? 1 ,故当 P 在矩形 EFMN 内时,满 足要求矩形 EFMN 的面积 S ? 1 ? 2 ? 2 ,矩形 ABCD 的面积为 6 ,

P?
所以所求的概率

S黄 S总

?

2 1 ? 6 3
1 为 2

38.解: (1)由 a n ?1 ? 2a n ? 1 ? 0得 : a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1), 则{a n ? 1}是以 a1 ? 1 ? 首项,以 2 为公比的等比数列, 4分 1 a n ? 1 ? ? 2 n ?1 , 即a n ? 2 n ? 2 ? 1. (也可以求几项,猜结论,数学归纳法证明) 8 分 2
1 1 (2) S n ? ( ? 1) ? (1 ? 1) ? (2 ? 1) ? ? ? (2 n ? 2 ? 1) ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 ) ? n 2 2
1 2 n ?1 ? Sn ? n ? lim ? lim n ? 2 2 ? 2. n ?? n ?? 2 an ?1

?2

n ?1

1 ?n? , 2

12 分

【解析】略 39. 【解析】 解:(1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

P (? ? 0) ?

1 3 P (? ? 5 ) ? 64 32 15 3 P (? ? 20) ? P (? ? 25) ? 64 32 E? ? 5 ?

P(? ? 10) ?

15 64 1 P (? ? 3 0 ? ) 64

P(? ? 1 5 ? )

5 16

(2)

3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 32 64 16 64 32 64 .
②处的数据为: 15 ? 100 ? 0.15

40. (1)①处的数据为: 0.35 ? 100 ? 35 (2)第 4 组抽取的学生人数为: 第 5 组抽取的学生人数为:

5 ? 20 ? 2 (人) ; 50

5 ? 10 ? 1 (人) 50 7 ? 0.7 10

(3)第 4 组中至少有一名学生被抽到的概率是 P( A) ?

答案第 12 页,总 14 页

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【解析】解: (1)①处的数据为: 0.35 ? 100 ? 35 ????2 分 ②处的数据为: 15 ? 100 ? 0.15 ????4 分 (2)第 4 组抽取的学生人数为: 第 5 组抽取的学生人数为:

5 ? 20 ? 2 (人) ; 50

????6 分 ????8 分

5 ? 10 ? 1 (人) ; 50

(3)记“第 4 组中至少有一名学生被抽到”为事件 A, 从“这 5 名学生当中随机抽取 2 名”的总基本事件数有 10 种, ????10 分 而“第 4 组中至少有一名学生被抽到”所包含的基本事件有 7 种, ????12 故 P( A) ?

7 ? 0.7 10

????14 分

41. (1)①应为 100×0.35=35, ②应为

30 ? 0. 3 ; (2)第 3、4、5 组中分别抽取 3 人,2 100

人,1 人,进入第二轮面试; (3)

3 . 5

【解析】 试题分析: (1)根据频数=样本容量×频率,可分别计算; (2)分层抽样是按一定的比例进行抽取,因为第 3、4、5 组人数之比为 30:20:10=3:2: 1,且共抽取 6 人,所以第 3、4、5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人,进入第二轮面试; (3)根据古典概型求概率的公式,先写出基本事件的个数 15 个,而第 4 组至少有一名学生 被 A 面试为事件为 9 个,所以第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为

9 3 ? . 15 5

(1)①应为 100×0.35=35, ②应为

30 ? 0. 3 100

(2)∵第 3、4、5 组人数之比为 30:20:10=3:2:1,且共抽取 6 人, ∴第 3、4、5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人,进入第二轮面试. (3)设这 6 人分别为 A1、A2、A3、B1、B2、C, 设第 4 组至少有一名学生被 A 面试为事件 m 所有基本事件为 ? A1 , A2 ?, ? A1 , A3 ?, ? A1 , B1 ?, ? A1 , B2 ?, ? A1 , C ?

? A2 , A3 ?, ? A2 , B1 ?, ? A2 , B2 ?, ? A1 , C ?, ? A3 , B1 ?, ? A3 , B3 ?, ? A3 , C ?,
?B1 , B2 ?, ?B1 , C ?, ?B2 , C ?
∴共有 15 个基本事件 事件 m 包含 9 个基本事件,每个基本时间被抽中是等可能的

答案第 13 页,总 14 页

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∴ P ?m ? ?

9 3 ? 15 5

考点:频率、频数、直方图的画法、分层抽样、古典概型.

答案第 14 页,总 14 页


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