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高中数学人教B版选修2-1课件:2.5 直线与圆锥曲线_图文

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第二章 2.5 直线与圆锥曲线 学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲线、 抛物线的位置关系. 2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,以及直线与圆锥曲线的 综合问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 观察图形,思考下列问题: 思考1 上面三个图象中直线l与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置 关系是什么? 答案 相交,相切,相离. 思考2 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时,是否一定相切? 答案 不一定,当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴 平行时,直线与双曲线、抛物线只有一个公共点,但此时直 线与双曲线、抛物线相交. 梳理 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立,消元得方程ax2+bx+c=0. 方程特征 a≠0,Δ>0 直线与椭圆 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 a=0 直线与双曲线 a≠0,Δ>0 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 a=0 a≠0,Δ>0 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 交点个数 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 位置关系 相交 相切 相离 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 相交 相切 相离 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 相交 相切 相离 直线与抛物线 知识点二 弦长公式 若直线l :y=kx+b与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1), B(x2, y2) ,则弦长 |AB|= 1+k2|x2-x1| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] . 题型探究 类型一 例1 直线与圆锥曲线的位置关系判定 2 2 x y 已知直线l:y=2x+m,椭圆C: + =1 .试问当m取何值时,直 4 2 线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点; 解答 (2)有且只有一个公共点; 解答 由Δ=0,得m=±3 2 . 也就是当m=±3 2时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有 两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直 线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)没有公共点? 解答 由Δ<0,得m<-3 2 或m>3 2 . 从而当m<-3 2或m>3 2 时,方程③没有实数根,可知原方程组没有 实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 反思与感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程二次项 系数为零的情况,再考虑Δ的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的 情形. 2 y 跟踪训练1 已知双曲线x2- 2 =1,直线l过点P(1,1),当k为何值时, 直线l与双曲线C:(1)有一个公共点; 答案 解析 3 当 k=± 2或 k=2时,直线 l 与双曲线只有一个公共点; (2)有两个公共点; 答案 解析 3 当 k<2且 k≠± 2时,直线 l 与双曲线有两个公共点; (3)无公共点? 答案 解析 3 当 k>2时,直线 l 与双曲线无公共点. 类型二 例2 中点弦及弦长问题 已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM,BM相交于点M,且kMA×kMB =-2. (1)求点M的轨迹C的方程; 解答 y y 设 M(x,y),则 kMA= ,kMB= (x≠± 1), x+1 x-1 2 y y y 2 ∴ × =-2,∴x + 2 =1(x≠± 1). x+1 x-1 3 2 (2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点,且|PQ|= ,求直 2 线PQ的方程. 解答 反思与感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元 二次方程,利用弦长公式和根与系数的关系解决 ( 要考虑特殊情形 ) ; 对于中点弦问题可采用点差法,但要验证得到的直线适合题意. 跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y-1=0相 2 交于A、B,C是AB中点,若|AB|=2 2,OC的斜率为 ,求椭圆的方程. 2 解答 类型三 圆锥曲线中的最值及范围问题 例3 如 图 所 示 , 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 点 1 2=2px(p>0)的准线的距离 P(1, ) 到抛物线 C : y 2 5 为 4 .点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动 点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及t的值; 解答 |AB| (2)记d= 2 ,求d的最大值. 1+4m 解答 反思与感悟 (1)求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系,再求参数范围. (2)求最值问题的方法 ①几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象来解决. ②代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数,再求 这个函数的最值,求最值的常见方法是均值不等式法,单调性法等. 跟踪训练 3 证明 如图,过抛物线 y2 = x上一点 A(4 , 2) 作倾斜角互补的两条 直线AB、AC交抛物线于B、C两点,求证:直线BC的斜率是定值. 当堂训练 x2 y2 1.若直线y=kx+1与椭圆 5 +m=1 总有公共点,则m的取值范围是 答案 解析 A.m>1 C.0<m<5且m≠1 B.m≥1或0<m<1 D.m≥1且m≠5 √ ∵直线y=kx+1恒过(0,1)点,若5>m,则 m ≥1, 若5<m,则必有公共点,∴m≥1且m≠5. 1 2 3 4 5 2.抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点坐标为 答案 解析 √ A.(1,2) ?1 ? ? C. ? ,1? ? 2 ? ? B.(0,0) D.(1,4) 1 2 3 4 5 x2 y2 3.过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点, 5 答案 解析 O为坐标原点,则△O

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