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最新高中数学解题常用思想方法--数形结合思想方法优秀名师资料

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高中数学解题常用思想方法--数形结合思想方法 高中数学解题常用思想方法--数形结合 思想方法 话题:复数 方程 教育学习 中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程 (组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等; 一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方 法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形: 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的, 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精 确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空 间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分 析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧 妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难 为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无 不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时 难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。数形结合的思想,其实质是将抽象的 数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以 使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要 注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数 学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合 理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的 取值范围。数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数 的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单 位圆来定义的。?、再现性题组:1. 设命题甲:0<x<5;命题乙:|x,2|<3, 那么甲是乙的_____。(90 年全国文)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要 条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若 log 2<log 2<0,则_____。(92 年全 国理)A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>13. 如果|x|? ,那么函数 f(x),cos x,sinx 的最小值是_____。 (89 年全国文)A. B. , C. ,1 D.4. 如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最 小值是 5,那么 f(x)的[-7,-3] 上是____。(91 年全国)A.增函数且最小值为,5 B.增函数且最大值为,5C.减函 数且最小值为,5 D.减函数且最大值为,55. 设全集 I,{(x,y)|x,y?R},集合 M,{(x,y)| ,1},N,{(x,y)|y?x,1},那么 等于_____。 (90 年全国)A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y,x,16. 如果 θ 是第二象限的角,且满足 cos ,sin , , 那么 是_____。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角,也可能第三象限 角 D.第二象限角 7. 已知集合 E,{θ |cosθ <sinθ ,0?θ ?2π }, F,{θ |tgθ <sinθ },那么 E?F 的区间是_____(。93 年全国文理)A. ( ,π ) B. ( , ) C. (π , ) D. ( , )8. 若复数 z 的辐角为 ,实部为,2 ,则 z,_____。A. ,2 ,2, B. ,2 ,2, C. ,2 ,2 , D. ,2 ,2 ,9. 如果实数 x、y 满足等式(x,2) ,y ,3, 那么 的最大值是_____。 (90 年全国理)A. B. C. D.10. 满足方程|z,3, ,|, 的 辐角主值最小的复数 z 是_____。【简解】1 小题:将不等式解集用数轴表示,可以 看出,甲,>乙,选 A;2 小题:由已知画出对数曲线,选 B;3 小题:设 sinx,t 后借 助二次函数的图像求 f(x)的最小值,选 D;4 小题:由奇函数图像关于原点对称画出 图像,选 B;5 小题:将几个集合的几何意义用图形表示出来,选 B;6 小题:利用单位 圆确定符号及象限;选 B;7 小题:利用单位圆,选 A;8 小题:将复数表示在复平面 上,选 B;9 小题:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题;选 D;10 小题:利用复 平面上复数 表示和两点之间的距离公式求解,答案, , ,。【注】 以上各题是历年的高考 客观题,都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题,即借助数轴(?题)、图像 (?、?、?、?题)、单位圆(?、?题)、复平面(?、?题)、方程曲线(?题)。y4 y=1m1O 2 3 x?、示范性题组:例 1. 若方程 lg(,x ,3x,m),lg(3,x)在 x?(0,3)内有唯 一解,求实数 m 的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次 方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。【解】 原方 程变形为即:设曲线 y ,(x,2) , x?(0,3)和直线 y ,1,m,图像如图所示。由图可 知:? 当 1,m,0 时,有唯一解,m,1;?当 1?1,m<4 时,有唯一解,即,3<m?0,? m,1 或,3<m?0 此题也可设曲线 y ,,(x,2) ,1 , x?(0,3)和直线 y ,m 后画出图 像求解。【注】 一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时, 可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。此题也可用代数方法来讨

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