nbhkdz.com冰点文库

高中数学必修5:2.5.2等比数列的前n项和

时间:2014-12-27


学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn

全新课标理念, 优质课程资源

2.5.2 等比数列的前 n 项和
教学目的: 1.会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的

S n , an , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题
2.提高分析、解决问题能力. 教学重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 教学难点:灵活使用公式解决问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3. { an }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 6.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
8. 等比数列的增减性: 当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { an }是递增数列;当 q>1, a1 <0, 或 0<q<1, a1 >0 时, { an }是递减数列;当 q=1 时, { an }是常数列;当 q<0 时, { an }是摆动 数列; 9.等比数列的前 n 项和公式:

优课轩资源网 http://www.enteach.net 未经授权,本站资源禁止用于任何商业目的

第 1 页 共 5 页

学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn

全新课标理念, 优质课程资源

∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 10. S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列 二、例题讲解 例 1 已知等差数列{ an }的第二项为 8,前十项的和为 185,从数列{ an }中,依次取出 第 2 项、第 4 项、第 8 项、??、第 2 项按原来的顺序排成一个新数列{ bn },求数列{ bn } 的通项公式和前项和公式 S n 解:∵ ?
n
王新敞
奎屯 新疆

? a1 ? d ? 8 , 解得 a1 =5, d=3, ?10a1 ? 45d ? 185
n

∴ an =3n+2, bn = a 2n =3× 2 +2,

S n =(3×2+2)+ (3× 2 2 +2)+ (3× 2 3 +2)+??+(3× 2 n +2)
=3·

2(2 n ? 1) n +2n=7· 2 -6.(分组求和法) 2 ?1
2 3 n?1

例 2 设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx 解: (用错项相消法)

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和

王新敞
奎屯

新疆

S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nxn?1 xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn
①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x ? ?? ? x
2 n?1

① ②

? nxn ,

当 x ? 1 时,

?1 ? x ?S n

?

1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? 1? x 1? x 1? x

优课轩资源网 http://www.enteach.net 未经授权,本站资源禁止用于任何商业目的

第 2 页 共 5 页

学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn

全新课标理念, 优质课程资源

Sn ?

1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1

?1 ? x?2

当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ?

n?1 ? n ? 2
?1? ' ? 的前 n 项和为 S , ? an ?

例 3 等比数列 ?an ? 前 n 项和与积分别为 S 和 T,数列 ?

?S? 求证: T ? ? ' ? ?S ?
2

n

证:当 q ? 1 时, S ? na1 , T ? a1 , S ?
'

n

n , a1

?S? ∴? ?S ? ? ? 1?

n

? ? ? ? na1 ? 2n ? (成立) ? ? a1 ? T 2 , ? n ? ? ? ? a1 ?

n

当 q ? 1 时, ∵S ?
?n?1?n a1 1 ? q n a 1 ? q ?n qn ?1 , , T ? a1q 2 ,S' ? 1 ? 1? q 1 ? q ?1 a1q n?1 ?q ? 1?
1
n

?

?

?1

?

?

?S? 2 n ?1 ∴ ? ' ? ? a1 q ?S ?

?

?

n

n ? n ?1? ? ? n 1 2 (成立) ? ?a1 q 2 ? ?T , ? ?

2

综上所述:命题成立 例 4 设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2 n 项之和为 6560,且前 n 项中 数值最大的项为 54,求此数列
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

? a1 1 ? q n ? 80 ?1? ? ? 1? q 解:由题意 ? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n a 1 ? q ? 1 ? 6560 ?2? ? ? 1? q

?

?

?

?

代入(1) , a1 1 ? q

?

n

? ? 80?1 ? q? ,得: a

1

? q ? 1 ? 0 ,从而 q ? 1 ,
王新敞
奎屯 新疆

∴ ?an ? 递增,∴前 n 项中数值最大的项应为第 n 项 ∴ a1q ∴q
n ?1

? ?q ? 1?q n?1 ? q n ? q n?1 ? 81? q n?1 ? 54,
qn ?3, q n?1

n ?1

? 81? 54 ? 27, q ?

优课轩资源网 http://www.enteach.net 未经授权,本站资源禁止用于任何商业目的

第 3 页 共 5 页

学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn

全新课标理念, 优质课程资源

∴ a1 ? q ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 , ∴此数列为 2,6,18,54,162??

1 1 1 2 n 例 5 求和: (x+ ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) (其中 x≠0,x≠1,y≠1) y y y
分析: 上面各个括号内的式子均由两项组成, 其中各括号内的前一项与后一项分别组成 等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和. 解:当 x≠0,x≠1,y≠1 时, (x+

1 1 1 ) ? (x 2 ? 2 ) ? ? ? (x n ? n ) y y y

1 1 1 ? (x ? x 2 ? ? ? x n ) ? ( ? 2 ? ? ? n ) y y y
1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) y y x ? x n?1 y n ?1 ? ? ? ? n?1 1 1? x 1? x y ? yn 1? y
n

三、练习: 设数列 ?an ? 前 n 项之和为 S n , 若 S1 ? 1, S 2 ? 2 且 S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0?n ? 2? , 问: 数列 ?an ? 成等比数列吗? 解:∵ S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0 , ∴ ?S n?1 ? S n ? ? 2?S n ? S n?1 ? ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 0 即:

a n ?1 ? 2 ?n ? 2? ,∴ ?an ? 成等比数列 ?n ? 2? an
a2 ? 2, a1

又: a1 ? S1 ? 1, a2 ? S 2 ? S1 ? 1,

∴ ?an ? 不成等比数列,但当 ?n ? 2? 时成 ?n ? 2? , 即: a n ? ?

? 1 ?n ? 1? n ?1 ?n ? 2? ?2

王新敞
奎屯

新疆

四、小结 本节课学习了以下内容:

优课轩资源网 http://www.enteach.net 未经授权,本站资源禁止用于任何商业目的

第 4 页 共 5 页

学英语报社 http://www.e-l-e.net.cn

全新课标理念, 优质课程资源

等比数列前n项和的性质

1.S n ? S m ? q m ? S n ? m
2. 若等比数列?an ? 有2n项, 则 :

S偶 S奇

? q.

3.若等比数列 ?an ?的前 n和为 S n , 且 S n ? 0. 则 : S k , S 2 k ? k , S 3 k ? 2 k , 成等比数列, 且公比为 q k .
熟练求和公式的应用 五、课后作业:课后作业:课本第 70 页 B 组 1---3

优课轩资源网 http://www.enteach.net 未经授权,本站资源禁止用于任何商业目的

第 5 页 共 5 页


高中数学必修五 2.5等比数列的前n项和(一)_图文.ppt

高中数学必修五 2.5等比数列的前n项和(一) - 1.等比数列 ?an ? 的

高中数学必修五 等比数列的前n项和_图文.ppt

高中数学必修五 等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。第二章 数列 §2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和 课前预习目标 课堂互动探究 ...

高中数学必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习).pdf

高中数学必修五 2.5等比数列前n项和(同步练习)_高中教育_教育专区。2. 5等比数列前 n 项和》 (第二课时)作业 1、 在等比数列中, a1 ? a 2 ? a3 ?...

...高中数学人教版必修五练习:2.5.2等比数列前n项和的....doc

【课堂新坐标】高中数学人教版必修五练习:2.5.2等比数列前n项和的性质 - 学

必修5-2.5等比数列前n项和公式_图文.ppt

必修5-2.5等比数列前n项和公式 - 复习: 等差数列 等比数列 定义 通项公

人教版2017高中数学(必修五)2.5.2 等比数列前n项和的性....ppt

人教版2017高中数学(必修五)2.5.2 等比数列前n项和的性质 PPT课件_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.5.2 等比数列前 n 项和的性质 【学习目标】 掌握等比...

高中数学必修5《2.5等比数列的前n项和1》课件人教A版_图文.ppt

高中数学必修52.5等比数列的前n项和1》课件人教A版 - 2.5 等比数列的前n项和(一) 复习回顾 1、等比数列的定义: an+1 an =q . (q=0) 2、等比数列...

高中数学必修5:2.5.2等比数列的前n项和.doc

高中数学必修5:2.5.2等比数列的前n项和 - 学英语报社 http://ww

高中数学(人教A版必修5)作业2.5.1等比数列的前n项和.doc

高中数学(人教A版必修5)作业2.5.1等比数列的前n项和 - 技能演练 基础强

高中数学 2.5等比数列前n项和教案(2) 新人教A版必修5.doc

高中数学 2.5等比数列前n项和教案(2) 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课题: §2.5 等比数列的前 n 项和 ●教学目标 知识与技能: 掌握...

高中数学必修五:2.5《等比数列的前n项和(1)》ppt课件_图文.ppt

高中数学必修五:2.5等比数列的前n项和(1)》ppt课件 - 成才之路

高中数学2.5.2等比数列的前n项和导学案(含解析)新人教....doc

高中数学2.5.2等比数列的前n项和导学案(含解析)新人教版必修5(2) - 第

高中数学必修5高中数学必修5《2.5等比数列前n项和(一)....doc

高中数学必修5高中数学必修52.5等比数列前n项和(一)》教案_数学_高中教育

高中数学 2.5 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5.doc

高中数学 2.5 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育...掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际...

高中数学必修5常考题型:等比数列的前n项和.doc

高中数学必修5常考题型:等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。等比数列...高中数学必修5:2.5.2等... 暂无评价 5页 1下载券 高中数学必修五导学案23...

高中数学2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5.doc

高中数学2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5 - 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和(第 1 课时) 学习目标 1.掌握等比数列前 n 项和公式及其推导...

高中数学必修5课件 2.5.1等比数列的前n项和_图文.ppt

高中数学必修5课件 2.5.1等比数列的前n项和_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.5.1等比数列的前n项和 【课标要求】 1.掌握等比数列的前 n 项和公式,了解...

高中数学 §2.5等比数列的前n项和(1)教案 新人教A版必修5.doc

河北省武邑中学高中数学 9.等比数列的前 n 项和(1)教案 新人教 A 版必修 5 备课人 课题 课标要求 授课时间 §2.5 等比数列的前 n 项和(1) 掌握等比数列...

高中数学必修五课件:2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A....ppt

高中数学必修五课件:2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。等比数列的前n项和(一) (一)知识回顾: 1.等比数列的定义: 2.通...

...配套课件:2.5.1等比数列的前n项和(人教A版必修5)_图....ppt

高中数学全程学习方略配套课件:2.5.1等比数列的前n项和(人教A版必修5) - 点击进入相应模块 【思考】 【点拨】 等比数列的前n项和公式的基本运算 【名师指津】...