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2.1《从位移速度力到向量》(北师大版必修4)

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§1.从位移、速度、力到向量
【教材版本】北师大版 【教材分析】
随着人类新型知识体系的构建和形成,新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战, 促使其必须进行重大革命, 以适应高度发展起来的新型知识体系。 直到 19 世纪末 20 世纪初 才发展起来的“向量数学” ,以其在物理学、空间物质结构中的广泛应用,而备受人们所观 注,进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系,现已被纳入中学数学基础教程中, 成为数学新教材改革的一大闪光点。 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.传统的欧几里得几 何是进行严谨思维训练的典范,但是几何学要进一步发展,就必须采用数量化的方法,通过 数量化的方法,可以化抽象为具体,将技巧性比较强的问题逐渐程序化解决。而中学教育是 基础教育,是大众教育,是需要普及的教育,问题的程序化解决是普及的关键。在这方面, 与导数的引入有异曲同工之妙。 归纳起来讲, 这些内容的引入, 扫除了学生学习数学的障碍, 有利于数学的普及。从另一方面讲,向量发展的前景是广阔的,它含盖了平面几何、立体几 何、解析几何、三角函数、复数等领域,为学习这些方面的知识提供了新的工具。 向量作为一种新的量,它不同于数量,数量的代数运算在向量范围不一定能施行,因此 在实际教学中,应明确数量和向量的区别,并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的 积、向量的数性积和矢性积等运算法则。并在引入二维坐标系后,将向量与坐标紧紧联系起 来,增加了向量的渗透性和实用性,更体现了向量运算的价值。 实际上,如果引进了向量和向量代数,简单几何(比如中学数学中的平面几何和立体几 何)中的许多知识和问题都可以有新的向量的解释。新教材在引入向量以后,使得平面几何 和空间几何中许多定理、公式及一些相关问题变得直观、浅显、易理解。 中学阶段要学习平面向量和空间向量, 而对于学生而言, 不仅是因为向量是一个新的知 识,关键是它的运算是一个新的体系,有新的法则,这是前面无论那一章的知识都从未涉及 的,所以教材将向量分两个阶段来安排,首先学习平面向量。

【教学目标】
1.知识与技能 ①了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;

②掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并能弄 清平行向量、相等向量、共线向量的关系; ③通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2.过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课,概念与知识点较多,在对学生进行适 当的引导之后,应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通 过学生主动地参与到课堂教学中,提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下,学生的 的主体地位和作用。 向量是一个全新的概念, 一定要从生活中的例子入手, 尤其是同学比较熟悉的物理知识 中的位移、速度、力等概念入手,说明客观存在一部分量仅通过数量是不能准确地描述的, 或者说用数量来描述不符合客观事实, 那么非常有必要引进新的一个量——向量。 课本内容 比较少,但由于向量是初步学习,它有一套新的规则及运算体系,一定要注意循序渐进,从 简单、 直观、 熟悉的例子入手, 忌讳一蹴而就的做法, 试图通过几节课学生就理解掌握向量。 3.情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较, 培养学生认识客观事物的数学本质的能力, 并且意识到数学 与现实生活是密不可分的,是源于生活,用于生活的。 从情感上讲, 数量在学生心目中的位置已经十分牢固, 学生对数学的认识大多数停留在 数量的层次上,已经形成思维定势。那么,通过学生比较熟悉的物理量结合实际,首先得出 用数量描述这些量和客观实际是矛盾的,那么用什么量,怎样描述,从而激发学生兴趣,进 一步打破思维定势,跳出数量的圈子,让学生认识到学习向量的必要性和重要性。

【重点难点】
1.重点:向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示等 2.难点:向量的概念和共线向量的概念 本节重点是向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示.向量在数学和物理学中应 用很广泛,提供了一种便于空间数形问题研究的方法.对学生来说向量是一种新的量,其特 征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键,还要让 学生理解向量和数量的区别联系,建立一种新的量的思维体系.相等向量只与方向、大小有

关,与位置没有关系,进一步理了解学习的向量是自由向量,为以后运用向量解决平面数形 问题奠定基础. 向量的几种表示方法在运算中必须用到, 掌握这几种表示法及几何表示的意 义. 本节难点是向量概念的理解.由于向量是一种新的量,与以前的数量是不同的体系,两 者之间既有联系又有区别,数量的运算律、性质等对于向量是不适合的,让学生先直观上认 识,再逐步抽象使学生建立向量的运算、性质体系,改变学生误认为:数量的运算律对于向 量也适合的. 引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量, 相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的 区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、 平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.

【学情分析】
本节课是向量的第一节, 通过学生比较熟悉的几何、 物理及实际例子让学生明白学习向 量的必要性(用数量的知识不能解决如位移、速度、力的运算等问题) 。由于实数的概念和 运算在学生的脑海里已经根深蒂固,在学习向量时,既要联系实数的有关性质、运算法则, 又要注意向量和实数的区别,不能想当然。另外向量的概念比较多,避免采用严格的规范的 定义来从理论上描述,引导学生直观接受和理解。当然,为了学生更准确地理解这些概念, 培养学生分析问题的全面性,我们应该重视关于向量的概念的练习题。

【教学环境】
◆多媒体教室 ◆课件

【教学设计】 一、情景引入
在物理中,我们已经学习了位移、速度和力的概念,那么通过熟悉的例子入手,来归纳 位移、速度和力这些量的共同特点,主要突出它们不同于数量的特点。 实例 1:如图 1,飞机从甲地飞向乙、丙两地,假设甲分别到乙、丙两地的距离相等, 但我们不能说位移相等。

丙 乙 丙 乙 乙 丙

甲 图1

甲 甲 图2 图3

甲到乙的位移与甲到丙的位移是不相等的,通过图形,尽管甲分别到乙、丙两地的距离 相等,但飞机的运动状态和目的地不一样。即位移既有大小又有方向,它和数量是不同的。 请同学们观察图 2 和图 3,飞机从甲地飞向乙、丙两地,飞机的位移相等吗? 实例 2:运动员投掷标枪,标枪的初速度的表示,既要记录标枪出手速度的大小,又要 记录标枪出手倾斜角度。

u

?

速度的描述, 既要描述大小, 又要描述方向。 这是由于运动状态不仅与速度的大小有关, 而且与速度的方向有关。 即使两名运动员投掷标枪的出手速度大小和方向有一个量相同, 标 枪的飞行还是有差距的。即速度既有大小又有方向,它和数量是不同的。 实例 3:吊车吊装重物时,物体受到竖直向下的重力,同时又受到竖直向上的拉力,这 两个力是不同的。

F

mg
力的描述,既要描述大小,又要描述方向。无论吊车吊起重物后是停止还是运动,重物 所受的两个力方向是不相同的,那么重物所受的两个力是不同的。即力既有大小又有方向, 它和数量是不同的。 通过上面的几个例子,我们发现,位移、速度和力是既有大小又有方向的量,它和数量 是不同的。 当然, 现实生活中, 大量存在这样的既有大小又有方向的量。 既然它是客观存在,

我们就有必要认识和学习这些量。

二、新知探究
1.向量的定义 在平时的学习中,我们遇到许多量,例如温度、时间、质量、密度、功、长度、面积和 体积等,这些量在规定单位的情况下,都可以完全由一个数来确定,这种只有大小的量叫做 数量(或标量) 。另外,还有一些比较复杂的量如位移、力、速度、加速度等,它们不只有 大小,没有方向的量叫作数量。如长度、面积、体积、质量、功等。 既有大小又有方向的量叫作向量。如力、速度、加速度、位移等。 注:数量和向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向和大小,具有双重性,不能比较大小。 2.表示方法 向量的表示通常有三种方法:几何表示、字母表示、坐标表示。 ①几何表示:具有一定方向的线段 AB ,读做向量 AB ; ②字母表示:具有一定方向的线段 AB ,记作 AB 或 a ③坐标表示:建立直角坐标系后,可以利用坐标来表示向量; 有向线段的三要素:起点、方向、长度 3.向量的模 向量的大小,也叫做向量的的长度(或向量的模) 。记做 | AB | 或 | a | 或者 | a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。即 a ? b 是没有意义的,但 | a |?| b | 有 意义。 注: ①有向线段有三个要素(大小、方向、起点) ,向量有两个要素(大小和方向) ; 有向线段是向量的表示方法之一,反过来,有向线段还可以表示其它量,两个不能等同。 ②我们在本章学习的是自由向量(可以平移的向量) ,只有大小和方向两个要素。它的 起点是任意的,在保证大小和方向不变的情况下,它是可以平移的,自由向量与起点无关。 4.几个特殊的向量 从向量长度的角度来讲有: ①零向量:长度为零(模为零)的向量叫零向量; (联想代数中的零)零向量的方向是 A B

任意的,零向量与任意方向的向量平行。 ②单位向量:长度等于一个单位的向量叫做单位向量; (联想代数中的 1) 从向量方向的角度来讲有: ③平行向量(共线向量) :方向相同或相反的向量叫做平行向量。如果向量 a ,b ,c 是 非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合) ,记作 a ∥ b ∥ c 共线的向量有四种情况: 方向相同且模相等; 方向相同且模不相等; 方向相反且模相等; 方向相反且模不相等; 平行向量也就是共线向量。任意一个向量(包括零向量)都和自身是平行向量;零向量 和任何向量都是平行向量。 从向量的大小和方向两个角度来讲有相等向量 ④相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如果向量 a, b 是相等向量,记 做 a ? b 。当然,零向量和零向量相等,任何相等的向量都可以用一条有向线段来表示。

三、典例精析
例 1、 判断下列命题是否正确 (1)、 如果a // b , b // c , 那么 a // c. (2)、 如果a ? b, b ? c, 那么 a ? c. (3)、 如果两个向量相等 , 那么它们一定平行 . (4)、 零向量都相等, 单位向量也都相等 . (5)、 表示两个相等向量的有 向线段一定重合 .

例2 D,E,F依次是等边三角形ABC的边AB,BC,AC的中点,在以A,B,C,D,E,F为 起点或终点的向量中。 (1)找出与向量 DE 相等的向量; (2)找出与向量 DF 共线的向量。

四、当堂练习
1、下列各量:①密度;②浮力;③温度;④风速;⑤重量;⑥面积,其中是向量的有 哪些? 2、不相等的两个向量有可能平行吗?若不可能,请说明理由;若有可能,请把各种可

能的情形一一列出。 3、把所有单位向量平移到同一起点,向量的终点构成什么图形? 4、课本 71 页练习题。

五、思考探究
问题:据新华社电: 神七发射最怕的是风,风速过大将影响飞船发射。酒泉卫星发射中 心首席预报员刘汉涛 24 日说,“除了风以外,9 月底的其他气象条件是飞船发射的理想状 态。但在发射时,如果距地面 9 公里到 12 公里的高空风速超过 70 米/秒,就可能使火箭的 飞行状态发生改变”,你知道这是为什么吗?

六、布置作业
习题 2-1


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