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9.5空间向量及其运算

时间:2015-05-06


第一课时:§3.1.1

空间向量及其加减与数乘运算

教学要求:理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数乘 向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点:由平面向量类比学习空间向量. 教学过程: 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识:什么叫做向量?向量是怎样表示的呢? ? ? 既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:用有向线段表示;用字母 a 、b 等表示; 用有向线段的起点与终点字母: AB .长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算: 向量的加法: 向量的减法: 实数与向量的积: ? ? ? ? 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,其长度和方向规定如下:|λ a |=|λ || a | ? ? ? ? ? (2)当 λ >0 时,λ a 与 a 同向; 当 λ <0 时,λ a 与 a 反向; 当 λ =0 时,λ a = 0 . ? ? ? ? 3. 向量的运算运算律:加法交换律: a + b = b + a 4. 三个力都是 200N,相互间夹角为 60°,能否提起一块重 500N 的钢板? 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例? 表示?(用有向线段表示) 记法? → 零向量? 单位向量? 相反向量? → 讨论:相等向量? 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. → 讨论:空间任意两个向量是否共面? 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: ? ? OB ? OA ? AB = a + b ,

AB ? OB ? OA (指向被减向量) , ? OP ? λ a (? ? R ) (请学生说说数乘运算的定义?) 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. ? ? ? ? ⑴加法交换律: a + b = b + a ; ? ? ? ? ⑵加法结合律:( a + b )? + c = a + ( b? + c ); ? ? ⑶数乘分配律:λ ( a + b ) =λ a +λ b ; ? ? ⑶数乘结合律:λ ( u a ) =(λ u) a . 4. 推广:⑴ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? An?1 An ? A1 An ;
⑵ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ?

? An?1 An ? An A1 ? 0 ;⑶空间平行四边形法则.

5. 出 示 例 : 已 知 平 行 六 面 体 ( 底 面 是 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱 ) ABCD ? A ' B ' C ' D '(如图) , 化简下列向量表达式, 并标出化简结果的向量:

⑴ AB ? BC;

⑵AB ? AD ? AA '; 1 1 (3) AB ? AD ? CC ' ; ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 2 3

师生共练 → 变式训练 6. 练习:课本 P92 7. 小结:概念、运算、思想(由平面向量类比学习空间向量)

三、巩固练习: 作业:P106 A 组 1、2 题. 第二课时: §3.1.2 空间向量的数乘运算(二) 教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握空 间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. 教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式. 教学过程: 一、复习引入 ? ? 1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量 b 与非零向量 a 是否共线? 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直 线上,所以平行向量也叫做共线向量. ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ , 使 b =λ a .称平面向量共线定 理, 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些 ? ? ? ? 向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: ? ? ? ? ? ? 共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0) ,a // b 的充要条件是存在实数 λ , 使a = ? λ b. ? ? ? ? ? 理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 a ∥ b ( a ≠0) ,则有 b = ? a ,其中 ? ? ? ? ? ? ? ,使 b = ? a ?( a ≠0) 是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ,则有 a ∥ b (若 ? ? ? ? ? 用此结论判断 a 、 b 所在直线平行,还需 a (或 b )上有一点不在 b (或 a )上). ? ? ? ? ? ? ⑵对于确定的 ? 和 a ,b = ? a 表示空间与 a 平行或共线, 长度为 | ? a |, 当 ? >0 时与 a 同 ? 向,当 ? <0 时与 a 反向的所有向量. ? 3. 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a . ? 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 推论证明如下: ∵ ∴ 又∵ 又∵ 对于空间任意一点 O,有 AP ? OP ? OA ,

?

l//a , ∴ 对于 l 上任意一点 P, 存在唯一的实数 t, 使得 AP ? t a . (*)

?

OP ? OA ? t a , OP ? OA ? t a . ①

?

?

若在 l 上取 AB ? a ,则有 OP ? OA ? t AB .(**)

?

AB ? OB ? OA ∴ OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB .② 1 1 当 t ? 时, OP ? (OA ? OB ) .③ 2 2

理解:⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公式.事实 上,表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形式. ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式. ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定. A 空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同, 是平面向量相关知识的推广. C 4. 出示例 1:用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是 D 平行四边形. ( 分析:如何用向量方法来证明?) B
O

5. 出示例 2:如图 O 是空间任意一点,C、 D 是线段 AB 的三等分点,分别用 OA 、OB 表示 OC 、

OD . 三、巩固练习: 作业: 第三课时: §3.1.2 空间向量的数乘运算(三) 教学要求:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解共 面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几中有关的简单 问题. 教学重点:点在已知平面内的充要条件. 教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. 教学过程: 一、复习引入 1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、 共线向量定理及其推论以及空间直线的向 量表示式、中点公式. 2. 必修④《平面向量》 ,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:如果 e 1 、e 2 是同一 平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量 a ,有且只有一对实数 λ 1 、λ 2 , 使 a =λ 1e 1 +λ 2e2 .其中不共线向量 e 1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 二、新课讲授 1. 定义:如果表示空间向量 a 的有向线段所在直线与已知平面 α 平行或在平面 α 内,则称 向量 a 平行于平面 α ,记作 a// α . 向量与平面平行, 向量所在的直线可以在平面内, 而直线与平面平行时两者是没有公共点的. 2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以 平移到同一平面内. 3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明. 结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:对于空间四边形

ABCD, AB 、 AC 、 AD 这三个向量就不是共面向量.
4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢? 5. 得出共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共 面的充要条件是存在实数对 x, y,使得 p= xa+yb . 证明:必要性:由已知,两个向量 a 、b 不共线. ∵ 向量 p 与向量 a 、b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对 x,y,使得 p = xa+yb . 充分性:如图,∵ xa ,yb 分别与 a 、b 共线, ∴ xa ,yb 都在 a 、b 确定的平面内. 又∵ xa+yb 是以|xa |、|yb |为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此 平行四边形在 a 、b 确定的平面内, ∴ p = xa+yb 在 a 、b 确定的平面内,即向量 p 与向量 a 、b 共面. 说明:当 p、a、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共面 的充要条件, 但用于判定时, 还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内. 6. 共面向量定理的推论是:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x, y,使 得 MP ? xMA ? yMB ,① 或对于空间任意一定点 O,有 分析:⑴推论中的 x、 y 是唯一的一对有序实数;

OP ? OM ? xMA ? yMB .②


⑵由 OP ? OM ? xMA ? yMB 得:

OP ? OM ? x(OA ? OM ) ? y(OB ? OM ) , ∴ OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB 公式①②③都是 P、M、A、B 四点共面的充要条件. 7. 例题:课本 P95 例 1 ,解略. → 小结:向量方法证明四点共面

三、巩固练习 1. 练习:课本 P96 练习 3 题. 2. 作业:课本 P96 练习 2 题. 第四课时: §3.1.3 空间向量的数量积运算 教学要求:掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;掌握两个向量数量积的概念、性质和计 算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题. 教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程: 一、复习引入 1.复习平面向量数量积定义: 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授 1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 a 与 b ,在空间 中任取一点 O,作 OA =a , OB =b ,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的 夹角,记作<a ,b >. 说明:⑴规定: 0 ? <a ,b > ? ? . 当<a 、b >=0时,a 与 b 同向; 当<a 、b >=π 时,a 与 b 反向; 当<a 、b >=

? 时,称 a 与 b 垂直,记 a ⊥b . 2

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a ,b >=<b ,a >. ⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. ②<a ,b > ? (a,b) 2. 两个向量的数量积: 已知空间两个向量 a 与 b , |a ||b |cos<a 、 b >叫做向量 a、 b 的数量积, 记作 a ·b ,即 a ·b =|a ||b |cos<a ,b >. 说明:⑴零向量与任一向量的数量积为 0,即 0 ·a =0; ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. 几何意义: 已知向量 AB =a 和轴 l, e 是 l 上和 l 同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A′, 点 B 在 l 上的射影 B′,则 A ' B ' 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 方向上的正射影,简称射影.可 以证明: A' B ' =| AB |cos<a ,e >=a ·e .说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是 a ·e 的几何意义. 3. 空间数量积的性质: 根据定义, 空间向量的数量积和平面向量的数量积一样, 具有以下性质: ⑴a ·e =|a |·cos<a ,e >; ⑵a ⊥b ? a ·b =0 ⑶当 a 与 b 同向时,a ·b =|a |·|b |; 当 a 与 b 反向时,a ·b =-|a |·|b |. 特别地,a ·a =|a |2 或|a |= a ? a ? a2 . a ?b ⑷cos<a ,b >= ; ⑸|a ·b |≤|a |·|b |. a?b 4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律: ⑴(λ a )·b =λ (a ·b )=a ·(λ b ) (数乘结合律); ⑵ a ·b =b ·a (交换律); ⑶a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律) 说明:⑴(a ·b )c ≠a (b ·с ) ;⑵有如下常用性质:a2 =|a |2 ,(a +b )2 =a2 +2a ·b +b2 5. 教学例题:课本 P98 例 2、例 3(略)

三、巩固练习 作业:课本 P101 例 4 第五课时: §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学要求:掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;掌握空间向量的坐标运 算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 教学重点:空间向量基本定理、向量的坐标运算. 教学难点:理解空间向量基本定理. 教学过程: 一、新课引入 1. 回顾:平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算, 2. 复习:平面向量基本定理. 二、讲授新课 1. 类比:由平面向量的基本定理,对平面内的任意向量 a ,均可分解为不共线的两个向量 ?1 a1 和 ?2 a2 , 使 a ? ?1 a1 ? 2 ?a 2 . 如果 a1 ? a2 时, 这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取 a1 , a2 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 i, j ,则存在一对实数 x、y,使得 a ? xi ? y j , 即得到平面向量的坐标表示 a ? ( x, y) . 推广到空间向量,结论会如何呢? (1)空间向量的正交分解:对空间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、

?3 a3 ,使 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序实数组
使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底 (base) ,a, b, c 都叫做基向量. {x, y , z} , 2. 单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1, 则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i ,j ,k }表示. 单位——三个基向量的长度都为 1;正交——三个基向量互相垂直. 选取空间一点 O 和一个单位正交基底 {i ,j ,k } , 以点 O 为原点, 分别以 i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴: x 轴、 y 轴、 z 轴, 得到空间直角坐标系 O-xyz, 3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量 a ,且设 i 、j 、k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使 a = a1 i + a2 j + a 3 k . 空间中相等的向量其坐标是相同的. →讨论: 向量坐标与点的坐标的关系? 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法: 设 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , 则 AB = OB - OA = ( x2 , y2 , z2 ) - ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 4. 向量的直角坐标运算:设 a = (a1 , a2 , a3 ) ,b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a +b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λ a = (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R ) ; ⑵a -b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a ·b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3

证明方法:与平面向量一样,将 a = a1 i + a2 j + a 3 k 和 b = b1 i + b2 j + b3 k 代入即可. 5. 两个向量共线或垂直的判定:设 a = (a1 , a2 , a3 ) ,b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a //b ? a =λ b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , (? ? R ) ? ⑵a ⊥b ? a ·b =0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .

a1 a2 a3 ? ? ; b1 b2 b3

6. 练习:已知 a = (2, ?3,5) ,b = (?3,1, ?4) ,求 a +b ,a -b ,8a ,a ·b .解:略. 7. 出示例:课本 P101 例 4 . (解略) 三、巩固练习 作业:课本 P102 练习 2、3 题 . 第六课时: §3.1.5 空间向量运算的坐标表示 —— 夹角和距离公式 教学要求:掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这 些公式解决有关问题. 教学重点:夹角公式、距离公式. 教学难点:夹角公式、距离公式的应用. 教学过程: 一、复习引入 1. 向量的直角坐标运算法则:设 a = (a1 , a2 , a3 ) ,b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a +b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a -b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λ a = (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R ) ; ⑷a ·b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 上述运算法则怎样证明呢?(将 a = a1 i + a2 j + a 3 k 和 b = b1 i + b2 j + b3 k 代入即可) 2. 怎样求一个空间向量的坐标呢? (表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. ) 二、新课讲授 ⒈ 向量的模:设 a = (a1 , a2 , a3 ) ,b = (b1 , b2 , b3 ) ,求这两个向量的模.
2 2 2 |a |= a12 ? a2 ,|b |= b12 ? b2 ? a3 ? b32 .这两个式子我们称为向量的长度公式.

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度. 2. 夹角公式推导:∵ a ·b =|a ||b |cos<a ,b > ∴

a1 b1 ?

a2 ?b2

2 2 2 2 2 2 = ·cos<a ,b > a3 b a 31 ? a2 ? a3 · b 1 ? b2 ? b3

由此可以得出:cos<a ,b >=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可 以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系: 当 cos<a 、b >=1 时,a 与 b 同向;当 cos<a 、b >=-1 时,a 与 b 反向; 当 cos<a 、b >=0 时,a ⊥b . 3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A、B ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 ,其中 d A、B 表示 A 与 B 两点间的距离. 3. 练习:已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求:⑴线段 AB 的中点坐标和长度;⑵到 A、 B 两点距 3 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 ) 离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、 y、 z 满足的条件. (答案: (2, ,3); 29 ; 2 x ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 1 说明:⑴中点坐标公式: OM ? (OA ? OB ) = ( 1 , , ); 2 2 2 2 ⑵中点 p 的轨迹是线段 AB 的垂直平分平面.在空间中,关于 x、y、z 的三
元一次方程的图形是平面. 4. 出示例 5: 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, B1E1 ? D1F1 ? 与 DF1 所成的角的余弦值. 分析:如何建系? → 点的坐标? → 如何用向量运算求夹角? → 变式:课本 P104 、例 6

A1B1 , 求 BE1 4

5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行. 三.巩固练习 作业:课本 P105 练习 3 题.


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