高一数学必修1第三章测试题

高一数学必修 1 第三章测试题
注意事项：1.本卷共 150 分，考试时间 120 分钟 2.将答案写在答题卡的相应位置 一、选择题（ 12 小题，每小题 5 分）

1.若 a< ，则化简 (2a－1) 的结果是

1 2

4

2

A. 2a－1 B．－ 2a－1 C. 1－2a D．－ 1－2a
2.若 ?1 ? a ? 0 ，则式子 3
a

, a , a 3 的大小关系是（
a 1 3 a 1 3

1 3

）
3

A、 3 ? a ? a
a 3

1 3

B、 a ? 3 ? a
3

C、 3 ? a ? a

D、 a ? a ? 3
3

1 3

a

1 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 3 3.化简 的结果
A． 6 a B． ? a C． ? 9 a

2 3

1 2

1 2

1 3

1

5

（

） D． 9 a
2

4.对于 0 ? a ? 1 ，给出下列四个不等式

① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ③a
1? a

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④a
1? a

1 ) a

?a

1?

1 a

?a

1?

1 a

其中成立的是（ ） A．①与③ B．①与④
5. a

C．②与③

D．②与④

? log2 3 ， b ? log4 6 ， c ? log8 9 ，则下列关系中正确的是
A． a ? b ? c C． c ? b ? a B． a ? c ? b D． c ? a ? b （ D．1 ）

6. lg 5 ?
2

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? 3
B．3
2y

A．4
x

C．2

7.已知 2 ＝7 ＝A，且 ＋ ＝2，则 A 的值是

1 1 x y A．7 B．7 2 C．± 7 2 D．98
x

8.函数 y ? a 在[0，1]上的最大值与最小值的差为 3，则 a 的值为（

）

A．

1 2

B.2

C.4

D.

1 4
（ ）

9.已知

f (10x ) ? x ，则 f (5) ?
5

A、 10

B、 5

10

C、 lg10

D、 lg 5 ）

10.若 0 ? a ? 1, P ? loga

( a 2 ? a ?1)

3 , Q ? loga (a ?a ?1) ，则 P 与 Q 的大小关系是 （

A． P > Q

B． P < Q

C． P = Q

D． P 与 Q 的大小不确定

4

11.对于幂函数

f ( x) ? x 5 ，若 0 ? x1 ? x2 ，则 f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )， 大小关系是（ 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

）

A． f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

B． f (

C．

f(

D． 无法确定

12 若点 (m, n) 在函数 y ? a x 的图像上，则下列哪一点一定在函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图像上 （ ） B. (?n, m) C. (?m, n) D. (n, m)

A. (m, n)

二、填空题（ 4 小题，每小题 4 分） 13. log 1
2

4 ? (?8) 3 ?

2

.

14.已知 a

?

5 ?1 ，函数 f ( x) ? a x ，若实数 m,n 满足 f(m)>f(n)，则 m,n 的大小关系为 2

15.若集合 {x, xy, lg( xy)} ? {0, |

x |, y}, 则log8 ( x 2 ? y 2 ) =

.

16.下列命题：①幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数；

②图象不经过点 (?1,1) 的幂函数一定不是偶函数； ③如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同； ④幂函数 y ? x 的图象不可能在第四象限内。其中正确的题号是
三、解答题（ 17.已知 x ? x 18.设 f(x)＝
?1

?

6 小题，共 74 分）

? 3 ，求下列各式的值： （1） x 2 ? x 2 ； （2） x 2 ? x 2 .

1

?

1

3

?

3

4x ，若 0<a<1，试求： 4 ＋2 (1)f(a)＋f(1－a)的值； 1 2 3 1 000 (2)f( )＋f( )＋f( )＋…＋f( )的值． 1 001 1 001 1 001 1 001
x

19.已知函数

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) .

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域 I ； (2) 判断函数 f ( x ) 在定义域 I 上的单调性，并说明理由； （3）当 a , b 满足什么关系时， f ( x ) 在 ?1， +? ? 上恒取正值。
20.已知 2 ? 256且 log 2 x ?
x

1 x ，求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值． 2

21.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所获的利润依次为 p （万元）和 q （万元） ，它们与投入的资金

x （万元）的关系，有经验公式为 p ?

1 3 x, q ? x， 5 5

今有 3 万元资金投入经销甲、乙两种商品，为获得最大利润，应对甲、乙两种商品分别投入多少资金， 使总共获得的最大利润最大，并求最大利润是多少万元？
22.已知函数 f ( x ) ? log a
1 ? mx x ?1 ( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称．

(1)求 m 的值； (2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明．

参考答案 一、选择题（ 12 小题，每小题 5 分） 1.C

4 1 解析：∵a< ，∴2a－1<0.于是，原式＝ (1－2a)2＝ 1－2a. 2 解析：由 0 ? a ? 1 得 a ? 1 ?

2.A 3.C 4.D 6.B 7.B

1 1 ,1 ? a ? 1 ? , ②和④都是对的；5.A a a

1 1 1 1 2 解析： 由 2x＝72y＝A 得 x＝log2A， y＝ log7A， 则 ＋ ＝ ＋ ＝logA2＋2logA7＝logA98 2 x y log2A log7A ＝2，A2＝98.又 A>0，故 A＝ 98＝7 2. 8.C 9.D 10.B 11.A 12.D
二、填空题（ 4 小题，每小题 4 分） 13 . 2 14. m ? n 15.

1 3

16.②④ 分）
1 1 ? 1 ? 1

三、解答题（

6 小题，共 74
1 2 1 ? 2 2

17.解析： （1）? ( x
1 ?

? x ) ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x 2 ? ( x 2 )2 ? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ，
?? 5，
? 3 得 x ? 0 ，∴ x 2 ? x
1 ? 1 2

∴ x2 ? x

1 2
?1

又由 x ? x
1 2

? 0，
1 1 1 1 1 2 1

所以 x ? x
3 2

1 ? 2
3 ? 2

? 5.

（2） （法一） x ? x
1 ? 1

＝（x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 x
3 3 3 3 3 2

1

?

1

?

?

? ( x 2 )2 ]

?

? ( x 2 ? x 2 )[( x ? x ?1 ) ? 1] ? 5(3 ?1) ? 2 5 ，
（法二） [( x 2 ) ? ( x 2 )] ? ( x 2 ) ? ( x 2 ) ? 2 x 2 x
2 2 2 3 ? ? ? ?

? x3 ? x?3 ? 2

而x ?x
3

? ( x ? x?1 )( x2 ? x?2 ?1) ? ( x ? x?1 )[( x ? x?1 )2 ? 3] ? 3 ? (32 ? 3) ? 18
3 ? 3 2

?3

∴ ( x 2 ? x 2 ) ? 20 ， 又由 x ? x
?1

? 3 ? 0 得 x ? 0 ，∴ x 2 ? x
4 4a ＋ － 4 ＋2 41 a＋2
a 1－a

3

?

3 2

? 0 ，所以 x 2 ? x

3

?

3 2

? 20 ? 2 5 .

18.解析：(1)f(a)＋f(1－a)＝
a

＝

4 4a 4 ＋ ＝ ＋ 4a＋2 4 4a＋2 4＋2· 4a a ＋2 4

4 4a

4a＋2 4a 2 ＝ a ＋ ＝ ＝1. 4 ＋2 2＋4a 4a＋2 1 2 3 1 000 1 1 000 2 999 (2)f( )＋f( )＋f( )＋…＋f( )＝[f( )＋f( )]＋[f( )＋f( )]＋…＋ 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 500 501 [f( )＋f( )]＝500×1＝500. 1 001 1 001

19.解析： （1）

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) 要意义， a x ? b x ? 0 -----------2 分

（只要学生得出答案，没有过程的，倒扣一分，用指数函数单调性或者直接解出）

a ?a? a x ? b x ? 0 ? ? ? ? 1(a ? 1 ? b ? 0 ? ? 1) b ?b?

x

? 所求定义域为 ? 0, ??? -----------------------------------------4 分
（2）函数在定义域上是单调递增函数------------------------------5 分 证明： ?x1 , x2 ,0 ? x1 ? x2 ---------------------------------------6 分

?a ?1 ? b ? 0

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2 -----------------------------------------7 分
? a x1 ? b x1 ? a x2 ? b x2 ? ln(a x1 ? b x1 ) ? ln(a x2 ? b x2 ) -----------------------------------9 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以原函数在定义域上是单调递增函数-------------------------10 分 （3）要使 f ( x ) 在 ?1， +? ? 上恒取正值 须 f ( x ) 在 ?1， +? ? 上的最小值大于 0--------------------------11 分 由（2） ymax ? f (1) ? ln(a ? b) ------------------------------12 分

? ln(a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1
所以 f ( x ) 在 ?1， +? ? 上恒取正值时有 a ? b ? 1 -------------------14 分
20.解析：由 2 ? 256 得 x ? 8 ， log2
x

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ，当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4

x ? 3即

21.解析：设投入甲商品为 x (0 ? x ? 3) 万元，则投入乙商品为 3 ? x 万元，

总利润为 y 万元 依题意 y ?

…………………………………………1 分

1 3 x? 3 ? x ………………………………………3 分 5 5

令 3 ? x ? t , 则x ? 3 ? t 2 …………………………………………4 分 因为 0 ? x ? 3 ，所以 0 ? t ?

3 ……………………………………5 分

1 3 1 3 21 (3 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? ……………………………8 分 5 5 5 2 20 3 21 当 t ? 即 x ? 0.75 时 y 取最大值 ，此时 3 ? x ? 2.25 ………………11 分 20 2
所以 y ? 答：甲投入 0.75 万元，乙投入 2.25 万元时，总共可获得最大利润 1.05 万元。…12 分
22.解析：由图象关于原点对称知它是奇函数,得 f(x)+f(-x)=0,即 log a
1 ? mx x ?1 ? log a 1 ? mx ?x ?1 ? 0,

得

1? m x
2

2

1? x

2

? 1, m= -1；
x1 ? 1 x1 ? 1 ?

(2)由(1)得 f ( x ) ? log a
x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x ?1 x ?1

,定义域是 ( ??, ?1) ? (1, ??) ,

设 1 ? x1 ? x2 ,得

? 0 ,所以当 a>1 时，f(x) 在 (1, ??) 上单调递减;当 0<a<1

时，f(x) 在 (1, ??) 上单调递增．