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2[1].1曲线与方程_图文

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2.1曲线和方程
2.1.1曲线和方程

曲线和方程(一)
在高一,我们认识了直线和圆的方程. 1.经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 的方
y ? kx ? b 程为______________________.

2.圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆 C 的方程 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为_______________________.

为什么?

答:∵直线 l 与方程 y ? k x ? b 有如下关系:

为什么经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 方 程是 y ? k x ? b ?

⑴若点 M ( x0 , y0 ) 直线 l 上的一点,则它的坐标 ( x0 , y0 ) 都 是方程 y ? k x ? b 的解. (∵ PM 与方向向量 (1,k ) 共线,即 ( x0 , y0 ? b) //(1, k)

∴ y0 ? b ? k x0 ∴ y0 ? k x0 ? b ,) ⑵若 ( x0 , y0 ) 是方程 y ? k x ? b 的解 ,则 M ( x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
∵由 y0 ? k x0 ? b 得 y0 ? b ? k x0 ,∴ ( x0 , y0 ? b) //(1, k) , 以 ( x0 , y0 ) 为坐标的点记为 M,有 PM = ( x0 , y0 ? b) ,

∴ PM 与方向向量 (1,k ) 共线. ∴说直线 l 的方程是 y ? k x ? b ,也说方程 y ? k x ? b 的直线是 l .
继续

曲线和方程之间有什么对应关系呢?
(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0.
第一、三象限角平分线

l?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

曲线 x=y(或x- y=0) 方程
y

l
0

x-y=0 x

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上 ∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .
继续

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作

点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: ? (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; ? (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y ? 那么,这个方程f(x,y)=0叫做 f(x,y)=0 这条曲线C的方程; x 0 ? 这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0 的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形. 继续

例1判断下列结论的正误并说明理由 对 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线 的方程为x=3; 错 (2)到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ; 错 (3)到两坐标轴距离乘积等于k 的点的 轨迹方程为xy=k.
证明:与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k ? 0) 的点的轨迹方程是 xy ? ?k .

自学课本 P35 例 1

例2 证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的 方程是x2 +y2 = 25.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距 x0 2 ? y0 2 ? 5, 离等于5,所以 也就是x02 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解,那么x 2 +y 2 = 25
0 0

两边开方取算术根,得

x0 ? y0 ? 5,

2

2

即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5,点M (x0,y0)是这个 圆上的一点.

由(1)、(2)可知, x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心,半径等于5的圆的方程. 小结

归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤 第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明 点M (x0,y0)在曲线C上.

变式练习

课堂练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方 程是所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的 折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方 程为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴 的距离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
1 x 1

y
1

y
1

-1

0

-2 -1 0 1 2

x

-2 -1 0 1 2

x




练习2 练习3



课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个?
① x - y =0
Y

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 Y

1
O 1 X

1
O 1 X -1 O

1
1 X O -1 1 X

-1

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

继续

课堂练习3:

设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 , 直线
2 2

么( C ) A.点P在直线上,但不在圆上

l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那
B.点P在圆上,但不在直线上;
C.点P既在圆上,也在直线上

D.点P既不在圆上,也不在直线上

布置作业:课本练习第2题 习题A1、

⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;(纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;(完备性) 就说这条曲线是这个方程的曲线 ,这个方程是 这条曲线的方程.

方程的曲线和曲线的方程: 一、

二、坐标法

形成

解析几何

y

在平面上建立直角坐标系: 一一对应 ???? ? 坐标(x,y) 点 坐标化 ? ? 曲线的方程 曲线 ???
平面解析几何研究的主要问题是:
研究

f(x,y)=0
x

0

迪卡尔

1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.

问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?

法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (

2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2

需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2

坐标化 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2x ? 1 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? 6x ? 9 ? y 2 ?14 y ? 49 化简
⑴由上面过程可知 , 垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;

∴ x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)

证明

⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 M1 A ? M1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 . 1 方法小结

第一种方法运用现成的结论当然快 , 但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤: 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;



3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂 ). √

2.写出适合条件 P 的几何点集: P ? ?M P ( M )? ;



以上过程可以概括为一句话:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . ..

例 3 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.

y
解:设曲线上任一点 M 的坐标为(x,y)
(0, 2)

.M
0

( x, y )

F.
l
x

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

化简

思考:( P 练习第 3 题)

37

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 y 轨迹方程. B

活用几何性质来找关系

思维漂亮!

M( x , y )

?

C

作业:课本 P37 习题 2.1A 组第 3.4 题 0 同步完成必修 3 至 P95 模块测试周六交. 同步 P30~32(1)~(12).

A

x


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