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最新新人教A版选修1-1高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计

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◆ 2.2.1 椭圆及其标准方程教案 新人教 A 版选修 1-1 ◆ 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标 准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的 伴随点的轨迹 方程的一般方法. . ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与 圆锥侧面的 交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或 圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、 你 能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生 活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P41 页 上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) , 教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当 套上 铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中, 你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准 方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨 迹叫做椭圆(ellipse) .其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆 的焦距.即当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? ?M | MF1 ? MF2 ? 2a? . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的 对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简 过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a, b, c 的关系有明显的 几何意义. y 2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b (iii)例题讲解与引申 ?5 3? 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? , ? ? ,求它 ?2 2? 的标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其 他方法来解. 另解:设椭圆的标准方程为 x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2? 9 ? 25 ?a ? 10 ? 2 ? 2 ?1 ? 则 ? 4a . ?? 4b ?b ? 6 ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ? 例 2 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析:点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是 点 P 的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求 点 M 的轨迹方程. 引申:设定点 A ? 6, 2? , P 是椭 圆 程. 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的 x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方 25 9 ?x ? 2x ? 6 关系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ? 1 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ ? y1 ? 2 y ? 2 x12 y12 ? x ? 3? ? y ? 1? 1 ? ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 ? ? ;④伴随轨迹表示的范围. 25 9 25 9 4 2 2 例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 4 且它们的斜率之积为 ? ,求 点 M 的轨迹方程. 9 分析: 若设点 M ? x, y ? , 则直线 AM ,BM 的斜率就可以用含 x, y 4 的式子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? ,因此,可以求 9 出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解法剖析:设点 M ? x, y ? ,则 k AM ? 代入点 M 的集合有 y y ? x ? ?5? , kBM ? ? x ? 5? ; x?5 x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. x?5 x?5 9 引 申 : 如 图 , 设 △ ABC 的 两 个 顶 点 A ? ?a,0? , B ? a,0? , 顶 点 C 在 移 动 , 且 k A C ? k B C ? k,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程. 引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形;②当 k 值 在变化时,线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲 线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定 义及特殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已 知几何图形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ? a2 ? c2 的意义,培养学生用 对称的美学思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:例 1 使用定义解题是首选 的,但也可以用其他方法来解,培养学生从定义的角度思考问题 的好习惯;例 2 是典 型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的 观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引申、分

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