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2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积学案含解析新人教B版必

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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图.(重点) 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积.(重点) 3.了解球的表面积公式,会运用公式求球的表面积.(重点) 4.组合体的表面积计算.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 阅读教材 P25~P26“倒数第 5 行”以上内容,完成下列问题. 棱柱、 棱锥、 棱台是由多个平面图形围成的多面体, 它们的表面积就是各个面的面积和. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) ) ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( (3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等.( 【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. (2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形. (3)错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论 怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理 2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积 阅读教材 P26“倒数第 3 行”~P27“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 S 圆柱=2π r(r+l), 圆柱 r 为底面半径, l 为侧面母线长 1 S 圆锥=π r(r+l), 圆锥 r 为底面半径, l 为侧面母线长 S 圆台=π (r′2+r2+r′l+ rl), 圆台 r′为上底面半径, r 为下底面半径, l 为侧面母线长 2.球的表面积 球的表面积公式 S 球=4π R . 2 1.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 ( ) A.4π C.2π B.3π D.π 【解析】 所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2π rh= 2π ×1×1=2π .故选 C. 【答案】 C 2.已知两个球的半径之比为 1∶2,则这两个球的表面积之比为( A.1∶2 C.1∶6 【解析】 B.1∶4 D.1∶8 ) S1 4π R2 1 ?R1? ?1? 1 = =? ? =? ? = . S2 4π R2 2 ?R2? ?2? 4 2 2 【答案】 B [小组合作型] 求棱柱、棱锥、棱台的表面积 已知正四棱锥底面边长为 4,高与斜高夹角为 30°.求它的侧面积和表面积. 【精彩点拨】 根据多面体的侧面积公式, 可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面 的斜高,进而由公式求解. 【自主解答】 如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底面边心距为 OE,它们 2 组成一个直角三角形 POE. 4 ∵OE= =2,∠OPE=30°, 2 ∴PE= 2 = =4. sin 30° 1 2 OE 1 1 ∴S 正四棱锥侧= ch′= ×(4×4)×4=32, 2 2 S 表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48. 1.要求锥体的侧面积及表面积, 要利用已知条件寻求公式中所需的条件, 一般用锥体的 高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算, 一般是转化为平面几何图形的运算, 往往通过解三角形来 完成. [再练一题] 1.某几何体的三视图如图 1?1?88 所示,则该几何体的表面积为( ) 图 1?1?88 A.180 B.200 C.220 D.240 【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱. 等腰梯形的上底长为 2,下底长为 8,高为 4,腰长为 5,直四棱柱的高为 10,所以 S 底 1 = ×(8+2)×4×2=40,S 侧=10×8+10×2+2×10×5=200,S 表=40+200=240,故选 2 D. 【答案】 D 3 求圆柱、圆锥、圆台的表面积 如图 1?1?89 所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC =16 cm,AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【导学号:45722026】 图 1?1?89 【精彩点拨】 选择表面积公式 分析几何体的形状 ― ― ― ― ― ― ― → 求表面积 【自主解答】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是 4 cm, 下底半径是 16 cm,母线 DC= 5 + 2 - 2 =13 (cm). 2 2 2 ∴该几何体的表面积为 π (4+16)×13+π ×4 +π ×16 =532π (cm ). 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相 关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、 侧棱及其在底面的射影与高、 底面边长等构成 的直角三角形(或梯形)求解. [再练一题] 2.在本例题题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面 积. 【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示: 其中圆锥的高为 16-4=12(cm),圆柱的母线长为 AD=4 cm,故该几何体的表面积为: 2π ×5×4+π ×5 +π ×5×13=130π (cm ). 球的表面积问题 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三 个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 【精彩点拨】 本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之比,可在各几 何体内做出截面,找到球心,易求半径. 【自主解答】 设正方体的棱长为 a. 2 2 4 (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是

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