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高中数学

时间:2012-10-23


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三角函数的图象与性质
(一)知识要点 1 正弦、余弦、正切函数的图像和性质
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

R
[ ? 1, ? 1]

R
[ ? 1, ? 1]

R
?

2?

2?

奇函数
?
2 ? 2 k? ,

偶函数 [ ? 2 k ? 1 ?? ,
2 k? ]

奇函数 ;
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

?
2

? 2 k? ]

上为增函 数
[2 k? ,

上 为 增 函 数 (k ? Z )

上为增函 数 ; 单调性
[

? 2 k ? 1 ?? ]
上为减函 数 (k ? Z )

?
2

? 2 k? , ? 2 k? ]

3? 2

上为减函 数 k?Z ) (

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

y=cosx
o
3? 2 ? ? 2 2? 5? 3? 2 7? 2 4?

y
? -? - 2 -2? -3? 2

1 -1
y

x

-5? -3? 2 -4? -7? 2

1 o -1
? 2

3? ? 2 2? 5? 2

7? 3? 2 4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像和性质 y

x (1)定义域 (3)周期性 (5)单调性 (二)学习要点
第 1 页 共 11 页

(2)值域 (4)奇偶性

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1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域

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3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 y ? 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 函数的要求 (1)五点法作简图

sin x

与y

? cos x

的周期是 ? .

(2)会写 y ? sin x 变为 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的步骤 (3)会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式 (4)知道 y ? A co s(? x ? ? ) , y ? A tan(? x ? ? ) 的简单性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 (三)例题讲解 3? ) 的定义域,周期和单调区间。 例 1 求函数 y ? ? tan ( 2 x ?
4

例 2 已知函数 f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; 3? ] ,求 f ( x ) 的取值范围; (6)若 x ? [0,
4

(7)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心; (8)若 f ( x ? ? ) 为奇函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? ;若 f ( x ? ? ) 为偶函数, ? ? [0, 2? ) ,求
? 。

例 3. 1)将函数 y ? (
y ? 1 2 sin 2 的 x

1 2

sin(2 ? x

?
4

) 图 象 向 ______ 平 移 _______ 个 单 位 得 到 函 数 的

图象(只要求写出一个值) (2) 要 得 到 y ?
1 2 co s( 2 x ?

?
4

) 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y ? sin ( x ?

?
6

) co s( x ?

?
6

) 的图象向

______平移_______个单位(只要求写出一个值).

第 2 页 共 11 页

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2

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1 2 ( ? ? 0, o ? ? ?

例 4.设 x ? R ,函数 f ( x ) ? co s (? x ? ? ) ? 为 ? ,且 f (
?
8 )? 1 4

?
2

) ,已知 f ( x ) 的最小正周期

.

(1)求 ? 和 ? 的值;

(2)求的单调增区间.

例 5.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 y 温度/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
30 20 10 时间/h 6 10 14

o
(四)练习题 一、选择题 1.将函数 y ? sin ? x (? ? 0) 的图象向左平移 的图象所对应函数的解析式是 ? A. y ? sin ( x ? )
6

x

?
6

个单位,平移后的图象如图所示,则平移后

B. y ? sin ( x ? D. y ? sin ( 2 x ?
sin x ? a sin x

?
6

) )

C. y ? sin ( 2 x ?

?
3

)

?
3

2.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? 正确的是 A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称

(0 ? x ? ? ) ,下列结论

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 (B)关于 y 轴对称 ? (D)关于直线 x= 对称
2

4.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.
2 3

?
3

,

?
4

]上的最小值是-2,则? 的最小值等于 D.3

B.
f ( x ) ? sin ? x

3 2

C.2

5.设点 P 是函数 的最小值
?
4

的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离

,则

f ( x ) 的最小正周期是

A.2π

B. π

C.

?
2

D. )

?
4

6.已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? sin x ? | a |, x ? R 为奇函数,则 a=( (A)0
第 3 页 共 11 页

(B)1

(C)-1

(D)±1

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7 为了得到函数 y 点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移
?
6
? 2 sin( x 3 ?

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的图像,只需把函数 y ? 2 sin x , x ? R 的图像上所有的

?
6

), x ? R

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

1

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

1

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变)
(sin x ? co s x ) ? 1 2 sin x ? co s x ,则 f ( x ) 的值域是

(D) 向右平移 8.已知函数 f ( x ) ? (A) ? ? 1,1 ? 9.函数 y ? | sin ( A.
π 2

?
6

1 2

(B) ? ?
?

?

? ,1 ? 2 ? 2

(C) ? ? 1,
?

?

2? ? 2 ?

(D) ? ? 1, ?
?

?

2? ? 2 ?

1 2

x ? 3) | 的最小正周期是(

) D. 4 π

B. π
? ?

C. 2 π

10.函数 f ? x ? ? tan ? x ?
? ?

? ?

? 的单调增区间为 4 ?

A. ? k ? ?
? ?

?
2

, k? ?

? ?

?,k ? Z 2 ?

B. ? k ? , ? k ? 1 ? ? ? , k ? Z
?
4 3? ? ?,k ? Z 4 ?

C. ? k ? ?

3? 4

, k? ?

? ?

?,k ? Z 4 ?

D. ? k ? ?
?

?

, k? ?

11.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ? x ?
? ? ? ?

? ?
? 6 ?

(B) y ? sin ? 2 x ?
? ? ?

?

? ?
? 6 ?

(C) y ? co s ? 4 x ?

? ?
? 3 ?

(D) y ? co s ? 2 x ?

? ?
? 6 ?

12.已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 小值,则函数 y ? f (
3? 4 ? x ) 是(

?
4

处取得最

) B.偶函数且它的图象关于点 (
3? 2 , 0 ) 对称

A.偶函数且它的图象关于点 (? , 0 ) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (
第 4 页 共 11 页

3? 2

, 0 ) 对称

D.奇函数且它的图象关于点 (? , 0 ) 对称

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13 设 ? , ? ? ? ?
? ?

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π π? , ? ,那么“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? ”的( 2 2?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 14.函数 y=
1 2
2 2 1 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

1 2

sin2+4sin x,x ? R 的值域是
3 2
2 2 1 2

(A) [ -

,



(B) [ -

3 2

,

1 2



(C) [ ?

2 2

?

1 2

,

2 2

?

1 2



(D)

[?

?

,

?



二、填空题 15. y ? sin ( ? x ?
?
4 ) 在 x ? [0, 2 ? ] 的增区间是

16.满足 2 ? 2 cos x ? 0( x ? R ) 的 x 的集合是 17. y ? 8 sin (
x 4 ?

?
8

) 的振幅,初相,相位分别是

18. tan x ? 1 ,且 x 是直线的倾斜角,则 x ? 19.已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x (? ? 0) 在区间 ? ?
? ?

? ? ?
, 3 4? ?

上的最小值是 ? 2 ,则 ? 的最小值是

____。 20.若
f ( x ) ? a sin( x ?

?
4

) ? 3 sin( x ?

?
4

)

是偶函数,则 a=

.

21.如图,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈记 水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数) ,则 d (米)与时间 t (秒)之间满足关系式: ? ? d ? A sin ? ? t ? ? ? ? k ? A ? 0 , ? ? 0 ? , ? ?? ? ,且当 P 点
2 2

从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论: (1) A ? 10 ; ? 2 ? ? ?

2? 15

;?3?? ?

?
6



?4? k

? 5 ,则其中所有正确结论的序号是



三.解答题 22 设函数 y ? 3 co s( 2 x ?
?
3 )

(1)用“五点法”作出在一个周期内的简图; (2)写出它可由 y ? cos x 的图像经怎样的变化得到。

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?
6

23 已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线 x ? ?

对称,求 a 的值。

24 已知 f ( x ) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R 是常数
2

(1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ? [0,
?
2 ] 时, f ( x ) 的最大值为 4,求 a 的值。

? ( , , 25 已 知 函 数 y ? A s i n ? x ? ? )? B ( A ? 0? ? 0 ?| ? |
2
( 2 , 2 ) 最低点为 (8, ? 4) 。求函数解析式。 ,

在)同 一 个 周 期 上 的 最 高 点 为

26 已知某海滨浴场的海浪高度 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位小时)的函数,记作:
y ? f ( t ) 下表是某日各时的浪高数据:

t 时 y 米

0 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观测, y ? f ( t ) 的曲线可近似地看成是函数 y ? A cos ? t ? b 。 (1)根据以上数据,求函数的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放。由(1)的结论,判断一天内 的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

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?
2

27 已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? < 象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+? +f(2 008).

函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图

三角函数的图象与性质答案
k? 2 5? 8

例 1. 定义域 x ? 例 2 .(1) R

?

,周期

?
2

,单调减区间 ( (3) T ? ?

k? 2

?

?
8

,

k? 2

?

5? 8

)

(2) [ ? 2 , 2 ]
3? 8

(4) f ( x ) 的最大值为 2,此时 x 的取

值 集 合 为 {x | x ?
{x | x ? ? [ 3? 8

? k ? , k ? Z } ; f ( x ) 的 最 小 值 为 -2 , 此 时 x 的 取 值 集 合 为

?

? k? , k ? Z } ; 5) f ( x ) 的增区间 [? ( ? k? ] 。 (6)[ ? 2 , 2 ] , 0 ), k ? Z 。 (8)当 ? ?
7? 8

?
8

? k? ,

3? 8

? k? ] ; f ( x ) 的减区 间 3? 8 ? k? 2 , k ? Z ;对称

? k? ,

8 7? 8 k?

(7) f ( x ) 的对称轴为 x ? ,或
5? 8

中心 (

?

?

?
8

,或

9? 8

,或

13 ? 8

, f ( x ? ? ) 为奇函数;

当? ?

8 2 3?
8

,或

,或
?
8

11 ? 8

,或

15 ? 8

, f ( x ? ? ) 为偶函数。
7? 24

例 3. (1)向左平移 例 4. (1) ? ? 1

个单位; (2)向左平移
?
24

个单位。
?
24 ]( k ? Z )

? ?

(2) [ k ? ?

1 3? 24

, k? ?

例 5.解 (1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象 ∴
1 2? ? ? =14-6,解得ω = , 2 ? 8
1 2

由图示 A=

(30-10)=10,b=
3 4

1 2

(30+10)=20,这时 y=10sin(

?
8

x+φ )+20,将 x=6,y=10 代入

上式可取φ =

π
?
8

综上所求的解析式为 y=10sin( 一、选择题

x+ π )+20,x∈[6,14]
4

3

1. 解:将函数 y ? sin ? x (? ? 0) 的图象向左平移

?
6

个单位,平移后的图象所对应的函数

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y ? sin ? ( x ?

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?
6 3? 2

?
6

) ,由图象知, ? (

7? 12

?

)?



所以 ? ? 2 ,因此选 C。 2.解:令 t ? sin x , t ? (0,1] , 则 函 数 f ?x? ?
y ? 1? a t sin x ? a sin x a t , t ? (0,1] (0 ? x ? ? ) 的 值 域 为 函 数

, t ? (0,1] 的值域, a ? 0 , 又 所以 y ? 1 ?

是一个减函减,故选 B。 3. 解:函数 y=1+cos 是偶函数,故选 B
? ? ? ? 4. 解:函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ( ? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 ω x 的取值范 ? 3 4?

围是 ? ?
?

?

?? ?? ?
, 3 4 ? ?



∴ ?

??
3

≤ ?

?
2



??
4



3? 2

,∴ ? 的最小值等于

3 2

,选 B.

5. 解析: 设点 P 是函数 的距离的最小值
?
4

f ( x ) ? sin ? x

的图象 C 的一个对称中心, 若点 P 到图象 C 的对称轴上

,∴ 最小正周期为 π ,选 B.

6.解法 1 由题意可知, f ( x ) ? ? f ( ? x ) 得 a=0 解法 2:函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 f ? x ? ? sin x ? a , x ? R 的图象选 A 7.先将 y ? 2 sin x , x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2 sin ( x ?
?
6

?
6

个单位长度,

), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 x 3 ?

(纵坐标不变)得到函数 y ? 2 sin(
1 2 1

?
6

), x ? R 的图像,选择 C。

8. 解: f ( x ) ?

(sin x ? co s x ) ?

? co s x (sin x ? co s x ) sin x ? co s x ? ? 2 ? sin x (sin x ? co s x )

即等价于 { sin x , co s x } m in ,故选择答案 C。 9. 解: y ? sin (
1 2 x ? 3) 的 T ?
2? 1 2 ? 4 ? ,选 C

10. 解:函数 f ? x ? ? tan ? x ?
?

?

? ?

? x? ? k? ? , ? 的单调增区间满足 k ? ? 4 ? 2 4 2

?

?

?

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∴ 单调增区间为 ? k ? ?
? ? 3? 4 , k? ?

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? ?
? , k ? Z ,选 C. 4 ?

11. 解析:从图象看出,

1 4

T=

?
12

?

?
6

?

?
4

,所以函数的最小
? 6

正周期为 π ,函数应为 y= sin 2 x 向左平移了
y ? sin 2( x ?

个单位,即
?
6 ) ,选

?
6

) = sin(2 x ?

?
3

) ? cos( ?

?
2

? 2x ?

?
3

) ? cos(2 x ?

D. 12. 解 : 函 数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x
2 2

(a 、 b

为 常 数 , a ? 0, x ? R ) , ∴
?
4 3? 4

f ( x) ?

a ? b sin( x ? ? ) 的 周 期 为 2π , 若 函 数 在 x ?

处取得最小值,不妨设
?x? 3? 4 ) ? sin x , 所 以

f ( x ) ? sin ( x ? y ? f( 3? 4

3? 4

) , 则 函 数 y ? f(

3? 4

? x ) = sin (

? x ) 是奇函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称,选 D.

13. 解析: 在开区间 ( ?

? ?
, 2 2

) 中, 函数 y ? tan x 为单调增函数, 所以设 ? , ? ? ( ?

? ?
, 2 2

), 那

么 " ? ? ? " 是 " tan ? ? tan ? " 的充分必要条件,选 C. 14. 解析: y ?
1 2 sin 2 x ? sin
2

x ?

1 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ?

1 2

?

? ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? ,故选 2 4 ? 2 ?
2

择 C。 本题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为 y ? A sin ?? x ? ? ? ? b 或 y ? A cos ?? x ? ? ? ? b 的模式。 二、填空题 15. [0, 17.
3 4 7

? ] ? [ ? , 2? ]
4 ?

16. { x | 2 k ? ? 18.

?
4

? x ? 2k? ? ]?[ 3 4

5? 4

,k ? Z}

8,

?
8

,

x 4

?

?
8

[0,

?
4

? , 2? )

? ? ? ? 19. 解:函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ( ? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 ω x 的取值范 ? 3 4? ? ?

围是 ? ?

?? ?? ?
, 3

, 4 ? ?

∴ ?

??
3

≤ ?

?
2



??
4



3? 2

,∴ ? 的最小值等于

3 2

.

20.解析: f ( x ) ? a sin ( x ?

?
4

) ? 3 sin ( x ?

?
4

) ? a(

2 2

sin x ?

2 2

co s x ) ? 3(

2 2

sin x ?

2 2

co s x )

是偶函数,取 a=-3,可得 f ( x ) ? ? 3 2 co s x 为偶函数。 21.(1) (4) (2)
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三.解答题 22(2) y ? cos x 左移
?
3

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个单位得 y ? co s( x ?

?
3

) 横坐标变为

1 2

倍得 y ? co s( 2 x ?

?
3

)

纵坐标变为 3 倍得 y ? 3 co s(2 x ?

?
3

)

23 a ? ?

3 3

24(1) [ k ? ? 25 y ? 3 sin (

?
3

, k? ? x?

?
6

]( k ? Z )

(2) a ? 1

?
6

?
6

) ?1 2? T ?

26 (1)由表知 T ? 12 ,? ? ? 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5
? y ? 1 2 co s

?
6 1 2

由 t=3,y=1.0,得 b=1.0

所以 A=0.5,b=1,? A ?

?
6

t ?1

(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放. 1 ? ? ? ? ? ? co s t ? 1 ? 1 ,? co s t ? 0 ? 2 k ? ? ? t ? 2k? ?
2 6 6 2 6 2

即 12k-3<t<12k+3 因为 0 ? t ? 24 ,故 k 分别为 0,1,2,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 所以在规定时间内,有 6 个小时可供冲浪者运动,即上午 9:00 至下午 15:00. 27. 解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

A 2

? A 2

A 2 ?

co s( 2 ? x ? 2 ? ). A 2 1 2? ? ( ) ? 2, ? ? . 2 2? 4 ? 2, A ? 2 .

? y ? f ( x ) 的最大值为 2, A ? 0 .?

又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,?
? f (x) ? 2 2 ? 2 2 co s(

?
2

x ? 2 ? ) ? 1 ? co s(

?
2

x ? 2? ) .

? y ? f ( x ) 过 (1, 2) 点,? co s(

?
2

? 2? ) ? ? 1 .

?

?
2

? 2? ? 2 k ? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2 k ? ?

?
2

, k ? Z , ? ? ? k? ?

?
4

,k ? Z,

又? 0 ? ? ?

?
2

,?? ?

?
4

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(II)解法一:? ? ?

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又? y ? f ( x ) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,
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解法二:? f ( x ) ? 2 sin (
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2

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2008 ? 4 ? 502 , f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008. ? 又 y ? f ( x ) 的周期为 4,

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