nbhkdz.com冰点文库

1高中数学必修2知识点总结

时间:2018-02-14


高中数学必修 2 第一章 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A' B ' C ' D ' E ' 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD ' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平 行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离 与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图: 正视图(光线从几何体的前面向后面正投影); 侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 ' (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线) 1 S圆锥侧面积 ? ?rl S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch ' 2
S正棱台侧面积 ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?
V锥 ? 1 Sh 3

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? ? 2r h

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' 2 V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R )h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 2
3

特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱锥侧面积 ?
S正棱台侧面积 ?

1 ch ' 2

S圆柱侧 ? 2?rh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

?

?
V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

柱体、锥体、台体的体积公式 1 V柱 ? Sh V锥 ? Sh 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. P α 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 · L 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两 直线中的一条上;② 两条异面直线所成的角 θ ∈(0, ); ? ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; 2 ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

β ∥α

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a

L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 β

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章 直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;

?

?

? ? ? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

⑤一般式: Ax ? By ? C

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 a b

y ? b (b 为常数);

1 各式的适用范围○ 2 特殊的方程如:平行于 x 轴的直线: ? 0 (A,B 不全为 0)注意:○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数);

(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

(8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2)

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C 2 2
A ?B

,则

有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 (2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程: 圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆上一点为(x0, y0), 则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= 2 r 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点


赞助商链接

高中数学必修2_知识点总结(史上最全).doc

高中数学必修2_知识点总结(史上最全).doc - 高二数学必修 2 知识点总结 第1章 空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形...

(学生)高一数学必修2第一章知识点总结(空间几何体)

(学生)高一数学必修2第一章知识点总结(空间几何体)_数学_高中教育_教育专区。分段元综合练习及讲解,适合家教及小班教学使用 必修2 第一章空间几何体知识点 1、...

数学必修2知识点总结(全)

数学必修2知识点总结(全) - 、直线与方程 (1)直线的倾斜角 ) 定义: 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜 特别地, 当直线与 x 轴...

高中数学必修2知识点总结归纳

高中数学必修2知识点总结归纳 - 高中数学必修 2 知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 ) 定义:x 轴正向 正向与直线向上方向 向上方向之间所成的角叫直线...

高一数学必修1_2知识点总结(推荐)

高一数学必修1_2知识点总结(推荐) - 高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就...

数学必修2第二章知识点小结及典型习题

数学必修2第二章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第二章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助! ...

总结高一数学人教A版必修一和必修二的知识点

总结一下高一数学人教 A 版必修一和必修二知识点 1-5 的一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无...

高中文科数学必修2知识点总结及配套的3套试题和答案

高中文科数学必修2知识点总结及配套的3套试题和答案 - 高中数学必修 2 第一章 立体几何初步 ' 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l ...

高一数学必修2 流程图(一).doc

高一数学必修 2 流程图()教学目标: 使学生了解顺序结构的特点,并能解决一些与此有关的问题. 教学重点: 顺序结构的特性. 教学难点: 顺序结构的运用. 教学过程...

高中数学必修2知识点总结02点、直线与平面的位置关系

高中数学必修2知识点总结02点、直线与平面的位置关系 - 点、直线、平面是构成空间几何体基本元素,研究它们之间的性质以及相互之间的位置关系,是研究空间几何体性质的...