nbhkdz.com冰点文库

高中数学不等式证明的常用方法经典例题

时间:2012-11-26


关于不等式证明的常用方法 重难点归纳
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述 作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

如果

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

不等式证明还有一些常用的方法

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

换元法主要

有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性 等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法 典型题例
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 1 证明不等式 1 ? 知识依托 例 2 求使
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n (n∈N*)

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

本题是一个与自然数 n 有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等

x ? y ≤a x ? y (x>0,y>0)恒成立的 a 的最小值
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目,所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a 呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 例 3 已知 a>0,b>0,且 a+b=1 证法一 巩固练习
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

求证
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(a+

1 1 25 )(b+ )≥ b a 4
证法三
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(分析综合法)

证法二

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(均值代换法)

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(比较法)

证法四

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(综合法)

证法五

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(三角代换法)

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 已知 x、y 是正变数,a、b 是正常数,且
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a b ? =1,x+y 的最小值为 _ x y

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 3 4

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设正数 a、b、c、d 满足 a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则 ad 与 bc 的大小关系是_________ 已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1 求证

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

若 m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则 m、n、p、q 的大小顺序是__________
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 (2) 3a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3c ? 2 ≤6 3 1 2 5 已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x2+y2+z2= ,证明 x,y,z∈[0, ] 2 3
(1)a2+b2+c2≥
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

6

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

证明下列不等式

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

b?c 2 c?a 2 a?b 2 z ≥2(xy+yz+zx) x ? y ? a b c y?z z?x x? y 1 1 1 ? ? (2)若 x,y,z∈R+,且 x+y+z=xyz,则 ≥2( ? ? ) x y z x y z
(1)若 x,y,z∈R,a,b,c∈R+,则 7
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

已知 i,m、n 是正整数,且 1<i≤m<n
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)证明
8
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

niA im <miA in

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)证明
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1+m)n>(1+n)m
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

若 a>0,b>0,a3+b3=2,求证

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a+b≤2,ab≤1

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

不等式知识的综合应用 典型题例
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为 h 米,盖子边长为 a 米,(1)求 a 关于 h 的解析式;(2)设容器的容积为 V 立方米,则当 h 为何值时,V 最大?求出 V 的最大值(求解本题时,不计容 器厚度) 知识依托
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

本题求得体积 V 的关系式后,应用均值定理可求得最值

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 2 已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时|f(x)|≤1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)证明 (2)证明

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

|c|≤1; 当-1 ≤x≤1 时,|g(x)|≤2;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(3)设 a>0,有-1≤x≤1 时, g(x)的最大值为 2,求 f(x) 知识依托
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

二次函数的有关性质、函数的单调性,绝对值不等式

例 3 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1、x2 满足 0<x1<x2< (1)当 x∈[0,x1 ) 时,证明 x<f(x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 巩固练习 1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

1 a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

x0<

x1 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等 )

式,其中正确不等式的序号是(

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①③ 下列四个命题中
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

B
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

②④

C

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①④

D

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

②③

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①a+b≥2

ab

②sin2x+

1 9 4 ≥4 ③设 x, 都是正数, y 若 ? =1, x+y 的最小值是 12 ④ 则 2 x y sin x
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

若|x-2|<ε ,|y-2|<ε ,则|x-y|<2ε ,其中所有真命题的序号是__________ 4
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两实数根为 x1,x2

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证 x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求 b 的取值范围 6
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设函数 f(x)定义在 R 上,对任意 m、n 恒有 f(m+n)=f(m)·f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)求证 (2)求证

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; f(x)在 R 上单调递减;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(3)设集合 A={ (x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围 已知函数 f(x)=

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

7

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 x 2 ? bx ? c (b<0)的值域是[1,3] , x2 ?1

(1)求 b、c 的值; (2)判断函数 F(x)=lgf(x),当 x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论; (3)若 t∈R,求证
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

lg

7 1 1 13 ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 5 6 6 5

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现, 试题还可能涉及到与导数、 函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通 项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取 值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数 f(x)在定义域为 D,则当 x∈D 时,有 f(x)≥M 恒 成立?f(x)min≥M;f(x)≤M 恒成立?f(x)max≤M;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 1 1 1 【例 1】等比数列{an}的公比 q>1,第 17 项的平方等于第 24 项,求使 a1+a2+…+an> + +…+ 恒成立的正整数 n 的取 a1 a2 an 值范围. 【例 2】 (08· 全国Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (Ⅰ)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 【点评】 一般地,如果求条件与前 n

项和相关的数列的通项公式,则可考虑 Sn 与 an 的关系求解 题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分 析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【例 3】 已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=7,S4=24.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设 p、q 都是正整 1 数,且 p≠q,证明:Sp+q< (S2p+S2q). 【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有: (1) 2 因式分解; (2)化平方和的形式; (3)如果涉及分式,则利用通分; (4)如果涉及根式,则利用分子或分母有理化. 【例 4】 (08· 安徽高考)设数列{an}满足 a1=0,an+1=can3+1-c,c∈N*,其中 c 为实数.(Ⅰ)证明:an∈[0,1]对任意 n∈N* 1 1 成立的充分必要条件是 c∈[0,1];(Ⅱ)设 0<c< ,证明:an≥1-(3c)n?1,n∈N*; (Ⅲ)设 0<c< ,证明:a12+a22+…+an2 3 3 2 >n+1- ,n∈N*. 1-3c 题型三 求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:(1)建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进 而求得最值;(2)首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值;(3)利用条件中的不等式关系确定最值. (08· 四川)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为______. 1 【例 6】 等比数列{an}的首项为 a1=2002,公比 q=- .(Ⅰ)设 f(n)表示该数列的前 n 项的积,求 f(n)的表达式;(Ⅱ)当 n 2 取何值时,f(n)有最大值. 【例 5】 题型四 求解探索性问题

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提 条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得 在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果. 【例 7】 已知{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=4.(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)是否存在正整数 k,使 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”,这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱. 【例 8】 数. 2 (08· 湖北)已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 λ 为实数,n 为正整 3 Sk+1-2 >2 成立. Sk-2

(Ⅰ)对任意实数 λ,证明数列{an}不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0

<a<b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数 λ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在, 说明理由. 数列与不等式命题新亮点 例 1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数?,循环分为 (1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) ?,则第 50 个括号内各数之和为_____. 点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设 A.

?an ? 是由正数构成的等比数列,
B.

bn ? an?1 ? an?2 , cn ? an ? an?3 ,则(
D.

)

bn ? cn

bn ? cn

C.

bn ? cn

bn ? cn
S

点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例 3 若对 x ? (??, ?1] ,不等式 (m
2

1 ? m)2 x ? ( ) x ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围( 2

)
C A B D

A.

(?2,3)

B.

(?3,3)

C.

(?2,2)

D.

(?3,4)

例 4 四棱锥 S-ABCD 的所有棱长均为 1 米,一只小虫从 S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能 的.设小虫爬行 n 米后恰好回到 S 点的概率为 Pn (1)求 P2 、 P3 的值; 例 5 已知函数 (2)求证:

3Pn?1 ? Pn ? 1(n ? 2, n ? N ) (3)求证: P2 ? P3 ? ? ? Pn > 6n ? 5 (n ? 2, n ? N )
24

f ? x ? ? x2 ? x .
a1 ? 0 , an ?1 ? f ? ? an ? ,若 ?

(1)数列

?an ? 满足: ?bn ? 满足:

1 1 ? 对任意的 n ? N 恒成立,试求 a1 的取值范围; 2 i ?1 1 ? ai
1 , S k 为数列 ?cn ? 的前 k 项和, Tk 为数列 ?cn ? 的 1 ? bn

n

(2)数列

b1 ? 1 , bn ?1 ? f ? bn ? ? n ? N ? ,记 cn ?

前 k 项积,求证

?S
k ?1

n

Tk 7 ? . 10 k ? Tk
(2)数列

例 6 (1)证明:

ln ?1 ? x ? ? x( x ? 0)

?an ? 中.

1 ? 1 ? a1 ? 1 ,且 an ? ?1 ? n ?1 ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ; n ? 2 ?

①证明: 【专题训练】

an ?

7 ? n ? 2? 4

② an

? e 2 ? n ? 1?

1.已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列,则有 a4 a6 A. < a6 a8 a4 a6 B. ≤ a6 a8 a4 a6 C. > a6 a8 a4 a6 D. ≥ a6 a8 ( )





2.设{an}是由正数构成的等比数列,bn=an+1+an+2,cn=an+an+3,则 A.bn>cn B.bn<cn C.bn≥cn

D.bn≤cn )

3.已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公比 q≠1,若 a1=b1,a11=b11,则( A.a6=b6 A.9 A.S4a5<S5a4 B.a6>b6
2

C.a6<b6 C.7 C.S4a5=S5a4 Sn 的最大值为 (n+32)Sn+1 1 C. 40

D.a6>b6 或 a6<b6 ( D.6 ) )

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足5<ak<8,则 k= B.8 B.S4a5>S5a4

5.已知等比数列{an}的公比 q>0,其前 n 项的和为 Sn,则 S4a5 与 S5a4 的大小关系是( D.不确定 ( 1 50 ) )

6.设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,则函数 f(n)= 1 20 1 30

A.

B.

D. (

1 7.已知 y 是 x 的函数,且 lg3,lg(sinx- ),lg(1-y)顺次成等差数列,则 2 A.y 有最大值 1,无最小值 B.y 有最小值

11 11 ,无最大值 C.y 有最小值 ,最大值 1D.y 有最小值-1,最大值 1 12 12 ( ) C.?3,+∞) D.(-∞,-1?∪?3,+∞)

8.已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 A.(-∞,-1? B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

9.设 3b 是 1-a 和 1+a 的等比中项,则 a+3b 的最大值为( A.1 ( ) B.必要不充分条件 B.2 C.3

) D.4

10.设等比数列{an}的首相为 a1,公比为 q,则“a1<0,且 0<q<1”是“对于任意 n∈N*都有 an+1>an”的 A.充分不必要条件 11.{an}为等差数列,若 A.11 C.充分比要条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正值时,n= a10 B.17 C.19 D.21

1 12.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x、y∈R,都有 f(x)f(y)=f(x+y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an} 2 的前 n 项和 Sn 的取值范围是 1 A.? ,2) 2 1 B.[ ,2] 2 ( ) 1 D.[ ,1] 2

1 C.? ,1) 2

Sn 13.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正整数 M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都 n 成立.则 M 的最小值是__________. 14.无穷等比数列{an}中,a1>1,|q|<1,且除 a1 外其余各项之和不大于 a1 的一半,则 q 的取值范围是________. 15.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 A.0 B.1 C.2 (a+b)2 的最小值是________. cd D.4

16.等差数列{an}的公差 d 不为零,Sn 是其前 n 项和,给出下列四个命题:①A.若 d<0,且 S3=S8,则{Sn}中,S5 和 S6 都是 {Sn}中的最大项;②给定 n,对于一定 k∈N*(k<n),都有 an?k+an+k=2an;③若 d>0,则{Sn}中一定有最小的项;④存在 k∈N*,使 ak-ak+1 和 ak-ak?1 同号 其中真命题的序号是____________. 17.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (Ⅰ)求{an}的通项 an ; (Ⅱ)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 18.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ) 若列数{b }满足 b =1,b =b +2an,求证:b · <b2 . b
n 1 n+1 n n n+2 n+1

19.设数列{an}的首项 a1∈(0,1),an=

3-an?1 ,n=2,3,4,…. 2

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=an 3-2an,证明 bn<bn+1,其中 n 为正整数. 20.已知数列{an}中 a1=2,an+1=( 2-1)( an+2),n=1,2,3,…. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{an}中 b1=2,bn+1= 3bn+4 ,n=1,2,3,….证明: 2<bn≤a4n?3,n=1,2,3,… 2bn+3

21.已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为 f?(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函 数 y=f(x)的图像上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 1 m (Ⅱ)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m 20 anan+1 22.数列 (Ⅰ)当 a2 ? ?1 时,求 ? 及 a3 的值; (Ⅱ) 2, , ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an?1 ? (n2 ? n ? ? )an ( n ? 1,? ) ? 是常数. 数列 ? an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅲ)求 ? 的取值范围,使得存在正 整数 m ,当 n ? m 时总有 an 一、 利用导数证明不等式 (一) 、利用导数得出函数单调性来证明不等式

? 0.
利用导数处理与不等式有关的问题

某个区间上导数大于(或小于)0 时,则该单调递增(或递减) 。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函 数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。 1、 直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减)区间,自变量越大,函数值越大 (小) ,来证明不等式成立。 例 1:x>0 时,求证;x ?

x2 -ln(1+x)<0 2

2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的。 例 2:已知:a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a, (e 为自然对数的底) (二) 、利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值; 由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例 3、求证:n∈N*,n≥3 时,2n >2n+1 例 4、 g

x b (x) ? ( ? 1)2 ? ( ? 1)2 的定义域是 A=[a,b ) ,其中 a,b∈R+,a<b A a x

若 x1∈Ik=[k2,(k+1)2 ) , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2 ) 3、利用导数求出函数的值域,再证明不等式。 例 5:f(x)=

4 1 3 x -x, x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 3 3

二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为 m>f(x) (或 m<f(x))恒成立,于是 m 大于 f(x) 的最大值(或 m 小于 f(x)的最小值) ,从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此,利用导数求函数最值是解决不 等式恒成立问题的一种重要方法。

a ? ( ? x)9 (a ? R) ,对 f(x)定义域内任意的 x 的值,f(x)≥27 恒成立,求 a 的取值范围 x n n ?1 例 7、已知 a>0,n 为正整数, (Ⅰ)设 y= ( x ? a ) ,证明 y ? ? n( x ? a) ; n (Ⅱ)设 fn(x)=xn- ( x ? a ) ,对任意 n≥a,证明 f ’n+1 (n+1)>(n+1)f ’n(n) 。
例 6、已知函数 f (x) 三、利用导数解不等式 例 8:函数 f(x)=

x 2 ? 1 ? ax(a ? 0) ,解不等式 f(x)≤1


赞助商链接

基本不等式经典例题(学生用)

不等式| 例题| 学生|基本不等式经典例题(学生用)_数学_高中教育_教育专区。基本...(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题...

高中基本不等式经典例题教案

高中基本不等式经典例题教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中基本不等式经典类型与方法归纳。全方位教学辅导教案学科: 数学 姓名教内教目重难学容学标点点 ...

高中数学不等式典型例题解析

高中数学不等式典型例题解析 - 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一.不等式性质: c? b? d 1. 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: ...

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

高中不等式所有知识及典型例题(超全) - 一.不等式的性质: 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2....

必修5数学不等式典型例题解析(整理)

必修5数学不等式典型例题解析(整理)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学...2 2 五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是...

高中数学常见题型解法归纳 数列不等式的证明方法

高中数学常见题型解法归纳 数列不等式的证明方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学常见题型解法归纳 数列不等式的证明方法 【知识要点】 证明数列不等式常用的有数学...

高中数学不等式的证明方法典型例题

高中数学不等式的证明方法典型例题_数学_高中教育_教育专区。高中数学三种不等式的证明方法典型例题 浅谈高中数学不等式的证明方法一.比较法 所谓比较法, 就是通过两...

2015级高一数学不等式证明的基本方法

2015级高一数学不等式证明的基本方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015级...经典例题透析 类型一:比较法证明不等式例 1、用作差比较法证明下列不等式: (...

专题复习:高中数学必修5基本不等式经典例题(学生用)

专题复习:高中数学必修5基本不等式经典例题(学生用) - 基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 解题技巧 技巧一:凑项 例 ...

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

高中不等式所有知识及典型例题(超全) - 一.不等式的性质: 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2....