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初中数学二次函数综合题及答案

时间:2018-06-27


二次函数题 选择题: 1、y=(m-2)xm2- m 是关于 x 的二次函数,则 m=( A -1 B 2 C -1 或 2
2



D m 不存在 )

2、下列函数关系中,可以看作二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)模型的是( A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B C D 我国人中自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系

4、将一抛物线向下向右各平移 2 个单位得到的抛物线是 y=-x2,则抛物线的解析式是( A y=—( x-2) +2 C y=— ( x+2) +2
2 2



B y=—( x+2) +2 D y=—( x-2)2—2

2

5、抛物线 y=

1 2

y
x2-6x+24 的顶点坐标是( B (—6,6) ) C (6,6) ④ 2c〈3b D(6,—6) )个

A (—6,—6) ①abc〈0 ②a+c〈b A 1 B 2

6、已知函数 y=ax2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( ③ a+b+c 〉0 C 3 D 4

—1 y

0

1

x

7、函数 y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0) ,则

a b?c
A -1

=

b a?c

=

B 1

c a?b 1 C 2

的值是(



-1 0
D

x

1 2


8、已知一次函数 y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ,它们在同一坐标系内的大致图象是图中的(

y x
A 二填空题: B

y

y x
C D

y x x

13、无论 m 为任何实数,总在抛物线 y=x2+2mx+m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=2,最小值为-2,则关于方程 ax2+bx+c=-2的根为————————————。 17、抛物线 y=(k+1)x2+k2-9 开口向下,且经过原点,则 k=————————— 解答题: (二次函数与三角形)

1、已知:二次函数 y= x +bx+c,其图象对称轴为直线 x=1,且经过点(2,﹣ ) .

2

(1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与 x 轴交于 B、C 两点(B 点在 C 点的左侧) ,请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 E,使△EBC 的面积最 大,并求出最大面积.

1

2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 9 轴交于点 C (0,4),顶点为(1, ) . 2 (1)求抛物线的函数表达式; (2)设抛物线的对称轴与轴交于点 D,试在对称轴上找出点 P,使△CDP 为等腰三角 形,请直接写出满足条件的所有点 P 的坐标. (3)若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与 A、B 不重合) ,分别连接 AC、BC,过点 E 作 EF∥AC 交线段 BC 于点 F, 连接 CE, 记△CEF 的面积为 S, 是否存在最大值? S 若存在,求出 S 的最大值及此时 E 点的坐标;若不存在,请说明理由.

y C

A

O

D

B

x

(第 2 题图)

4 3、如图,一次函数 y=-4x-4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点,抛物线 y= x2+bx+ 3 c 的图象经过 A、C 两点,且与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设抛物线的顶点为 D,求四边形 ABDC 的面积; (3)作直线 MN 平行于 x 轴,分别交线段 AC、BC 于点 M、N.问在 x 轴上是否存在点 P,使 得△PMN 是等腰直角三角形?如果存在, 求出所有满足条件的 P 点的坐标; 如果不存在, 请说明理由.

y A O B x

C

(第 3 题图)

(二次函数与四边形)4、已知抛物线

y?

1 2 7 x ? mx ? 2m ? . 2 2

(1)试说明:无论 m 为何实数,该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点; (2)如图,当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时,抛物线的顶点为点 C,直线 y=x-1 与抛物线交于 A、B 两点,并与它的对称轴交 于点 D. ①抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由; ②平移直线 CD,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N,通过怎样的平移能使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形.

2

5、如图,抛物线 y=mx2-11mx+24m (m<0) 与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧) ,抛物线另有一点 A 在第一象限内, 且∠BAC=90° . (1)填空:OB=_ ▲ ,OC=_ ▲ ;

(2)连接 OA,将△OAC 沿 x 轴翻折后得△ODC,当四边形 OACD 是菱形时,求此时抛物线的解析式; (3)如图 2,设垂直于 x 轴的直线 l:x=n 与(2)中所求的抛物线交于点 M,与 CD 交于点 N,若直线 l 沿 x 轴方向左右平移, 且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时,试探究:当 n 为何值时,四边形 AMCN 的面积取得最大值,并求出这个 最大值.

y A O B D C O

y A B

l:x=n M

x

C N D

x

6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A( ?1 ,0 ) ,B( ?1 ,2 ) ,D(3,0) .连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平 移到 ON.若抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 经过点 D、M、N.

(1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点 P,使得 PA=PC,若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,请说明理由. (3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E,点 Q 是抛物线的对称轴上的一个 动点,当点 Q 在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.

3

7、已知抛物线

,与 y ? ax2 ? 2ax ? 3a (a ? 0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) y 轴交于点 C,点 D 为抛物线

的顶点. (1)求 A、B 的坐标; (2)过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H,若 DH=HC,求 a 的值和直线 CD 的解析式; (3)在第(2)小题的条件下,直线 CD 与 x 轴交于点 E,过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴,并交直线 CD 于点 F,则直线 NF 上是否存在点 M,使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明 理由.

(二次函数与圆) 8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 M(1,0)和 N(3,0)两点,且与 y 轴交于 D(0,3) , 直线 l 是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式. 2)若过点 A(﹣1,0)的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6,求此直线的解析式. 3)点 P 在抛物线的对称轴上,⊙ 与直线 AB 和 x 轴都相切,求点 P 的坐标. P

4

9、如图,y 关于 x 的二次函数 y=﹣

(x+m) (x﹣3m)图象的顶点为 M,图象交 x

轴于 A、B 两点,交 y 轴正半轴于 D 点.以 AB 为直径作圆,圆心为 C.定点 E 的坐标 为(﹣3,0) ,连接 ED. (m>0) (1)写出 A、B、D 三点的坐标; (2)当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上?判定此时直线与圆的位置关系; (3)当 m 变化时,用 m 表示△AED 的面积 S,并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m 的函数图象的示意图。

10、已知抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴为直线 x ? 2 ,且与 x 轴交于 A、B 两点.与 y 轴交于点 C.其中 AI(1,0),C(0,

?3 ).
(1) 分)求抛物线的解析式; (3 (2)若点 P 在抛物线上运动(点 P 异于点 A) . ①(4 分)如图 l.当△PBC 面积与△ABC 面积相等时.求 点 P 的坐标; ②(5 分)如图 2.当∠PCB=∠BCA 时,求直线 CP 的解 析式。

答案:

5

1、解: (1)由已知条件得

, 分) (2

解得 b=﹣ ,c=﹣ ,∴此二次函数的解析式为 y= x ﹣ x﹣ ; 分) (1

2

(2)∵ x ﹣ x﹣ =0,∴x1=﹣1,x2=3, ∴B(﹣1,0) ,C(3,0) ,∴BC=4, 分) (1 ∵E 点在 x 轴下方,且△EBC 面积最大,∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(1,﹣3)(1 分) ,

2

∴△EBC 的面积= ×4×3=6. 分) (1 9 2、 (1)∵抛物线的顶点为(1, ) 2 9 ∴设抛物线的函数关系式为 y=a ( x-1) 2+ 2 9 1 ∵抛物线与 y 轴交于点 C (0,4), ∴a (0-1) 2+ =4 解得 a=- 2 2 1 9 ∴所求抛物线的函数关系式为 y=- ( x-1) 2+ 2 2 17 (2)解:P1 (1, 17),P2 (1,- 17), P3 (1,8),P4 (1, ), 8 1 2 9 (3)解:令- ( x-1) + =0,解得 x1=-2,x1=4 2 2 1 9 ∴抛物线 y=- ( x-1) 2+ 与 x 轴的交点为 A (-2,0) C (4,0) 2 2 过点 F 作 FM⊥OB 于点 M, MF EB EB 2 ∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴ = 又 ∵OC=4,AB=6,∴MF= ×OC= EB OC AB AB 3 2 1 1 1 1 设 E 点坐标为 (x,0),则 EB=4-x,MF= (4-x) ∴S=S△BCE-S△BEF= EB·OC- EB·MF= EB(OC-MF)= (4- 3 2 2 2 2 2 1 2 2 8 1 x)[4- (4-x)]=- x + x+ =- ( x-1) 2+3 3 3 3 3 3 y 1 ∵a=- <0,∴S 有最大值 当 x=1 时,S 最大值=3 此时点 E 的坐标为 (1,0) 3 3、 (1)∵一次函数 y=-4x-4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点, E A O B x 4 ∴A (-1,0) C (0,-4) 把 A (-1,0) C (0,-4)代入 y= x2+bx+c 得 3 8 ?4-b+c=0 ?b=-3 4 8 ∴?3 解得? ∴y= x2- x-4 3 3 ?c=-4 ?c=-4 4 2 8 4 16 16 (2)∵y= x - x-4= ( x-1) 2- ∴顶点为 D(1,- ) C 3 3 3 3 3 16 设直线 DC 交 x 轴于点 E 由 D(1,- )C (0,-4) y 3 D 4 易求直线 CD 的解析式为 y=- x-4 3 P (第 3 题图) x 1 16 A O B 易求 E(-3,0) ,B(3,0) S△EDB= ×6× =16 2 3 1 S△ECA= ×2×4=4 S 四边形 ABDC=S△EDB-S△ECA=12 2 M N (3)抛物线的对称轴为 x=-1 做 BC 的垂直平分线交抛物线于 E,交对称轴于点 D3 易求 AB 的 (第 3 题图) C 解析式为 y=- 3x+ 3 ∵D3E 是 BC 的垂直平分线 ∴D3E∥AB 设 D3E 的解析式为 y=- 3x+b ∵D3E 交 x 轴于(-1,0)代入解析式得 b=- 3, ∴y=- 3x - 3 把 x=-1 代入得 y=0 ∴D3 (-1,0), 过 B 做 BH∥x 轴,则 BH=1 11 6

在 Rt△D1HB 中,由勾股定理得 D1H= 11 ∴D1(-1, 11+ 3)同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标 D1(-1, 11+ 3), D2(-1,2 2), D3 (-1,0), D4 (-1, 11- 3)D5(-1,-2 2) 4、(1) ? =

? ?m ?

2

1 ? 7? 2 ? 4 ? ? ? 2m ? ? = m2 ? 4m ? 7 = m2 ? 4m ? 4 ? 3 = ? m ? 2 ? ? 3 ,∵不管 2 ? 2?

m 为何实数,总有

? m ? 2?

2

≥0,∴ ? =

? m ? 2?
y?

2

? 3 >0,∴无论 m 为何实数,该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.

(2)∵ 抛物线的对称轴为直线 x=3,∴ m ? 3 , 抛物线的解析式为

1 2 5 1 2 x ? 3x ? = ? x ? 3? ? 2 ,顶点 C 坐标为(3,-2) , 2 2 2

? y ? x ? 1, ? x1 ? 1 ? x2 ? 7 ? 解方程组 ? 或? ,所以 A 的坐标为(1,0) 的坐标为(7,6) 、B ,∵ x ? 3 时 1 2 5 ,解得 ? ? y1 ? 0 ? y2 ? 6 ? y ? 2 x ? 3x ? 2 ?
y=x-1=3-1=2,∴D 的坐标为(3,2) ,设抛物线的对称轴与 x 轴的交 点为 E,则 E 的坐标为(3,0) ,所以 AE=BE=3, DE=CE=2, ① 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形,则 AP、CD 互相垂直 平分 且相等,于是 P 与点 B 重合,但 AP=6,CD=4,AP≠CD,故抛物线上不存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形. ② (Ⅰ)设直线 CD 向右平移 n 个单位( n >0)可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形 是平行四边形,则直线 CD 的解析式为 x=3 ?n ,直线 CD 与直线 y=x-1 交于点 M (3 ?n ,2 ?n ) ,又∵D 的坐标为(3,2) 坐标为(3,-2) ,C ,∴D 通过向下平 移 4 个单位得到 C. ∵C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形. (ⅰ)当四边形 CDMN 是平行四边形,∴M 向下平移 4 个单位得 N,∴N 坐标为(3 ?n , n ? 2 ) , 又 N 在抛物线 解得 n1

y?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ n ? 2 ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

, ? 0 (不合题意,舍去) n2 ? 2 ,

(ⅱ)当四边形 CDNM 是平行四边形,∴M 向上平移 4 个单位得 N,∴N 坐标为(3 ?n , n ? 6 ) , 又 N 在抛物线 解得 n1

y?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ n ? 6 ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

, ? 1 ? 17 (不合题意,舍去) n2 ? 1 ? 17 ,

(Ⅱ) 设直线 CD 向左平移 n 个单位( n >0)可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,则直线 CD 的解析式为 x=3 ?n ,直线 CD 与直线 y=x-1 交于点 M(3 ?n ,2 ?n ) ,又∵D 的坐标为(3,2) 坐标为(3,-2) ,C ,∴D 通过向 下平移 4 个单位得到 C. ∵C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形. (ⅰ)当四边形 CDMN 是平行四边形,∴M 向下平移 4 个单位得 N,∴N 坐标为(3 ?n , ?2 ? n ) , 又 N 在抛物线 解得 n1

y?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ ?2 ? n ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? 2 2 2 2



, , ? 0 (不合题意,舍去) n2 ? ?2 (不合题意,舍去)

(ⅱ)当四边形 CDNM 是平行四边形,∴M 向上平移 4 个单位得 N,∴N 坐标为(3 ?n , 6 ? n ) , 又 N 在抛物线 解得 n1

y?

1 2 5 1 5 2 x ? 3x ? 上,∴ 6 ? n ? ? 3 ? n ? ? 3 ? 3 ? n ? ? , 2 2 2 2

, ? ?1 ? 17 , n2 ? ?1 ? 17 (不合题意,舍去) 7

综上所述,直线 CD 向右平移 2 或( 1 ? 的四边形是平行四边形. 5、解: (1)OB=3,OC=8 (2)连接 OD,交 OC 于点 E

17

)个单位或向左平移( ?1 ?

17 )个单位,可使得 C、D、M、N 为顶点

∵四边形 OACD 是菱形 ∴AD⊥OC,OE=EC= ∴BE=4-3=1 又∵∠BAC=90° , ∴△ACE∽△BAE

1 ×8=4 2

y A C

AE CE ∴ = BE AE O B E ∴AE2=BE·CE=1×4 ∴AE=2 D ∴点 A 的坐标为 (4,2) 把点 A 的坐标 (4,2)代入抛物线 y=mx2-11mx+24m, 1 1 11 y 得 m=- ∴抛物线的解析式为 y=- x2+ x-12 2 2 2 (3)∵直线 x=n 与抛物线交于点 M 1 11 A ∴点 M 的坐标为 (n,- n2+ n-12) 2 2 由(2)知,点 D 的坐标为(4,-2) , O B E 1 则 C、D 两点的坐标求直线 CD 的解析式为 y= x-4 2 1 1 11 1 1 D ∴点 N 的坐标为 (n, n-4) ∴MN=(- n2+ n-12)-( n-4)=- n2+5n-8 2 2 2 2 2 1 1 1 ∴S 四边形 AMCN=S△AMN+S△CMN= MN·CE= (- n2+5n-8)×4=-(n-5)2+9 2 2 2 ∴当 n=5 时,S 四边形 AMCN=9 6、解: (1)∵BC∥AD,B(-1,2) ,M 是 BC 与 x 轴的交点,∴M(0,2) ,

x

l:x=n M

C N

x

?9a ? 3b ? c ? 0 1 ? 1 2 1 ? ?a ? ? 9 ∵DM∥ON,D(3,0) ,∴N(-3,2) ,则 ?c ? 2 ,解得 ? ,∴ y ? ? x ? x ? 2 ; 1 ? 9 3 ?9a ? 3b ? c ? 0 ?b ? ? 3 ? ?
?c ? 2 ? ?

(2)连接 AC 交 y 轴与 G,∵M 是 BC 的中点,∴AO=BM=MC,AB=BC=2,∴AG=GC,即 G(0,1) , ∵∠ABC=90° ,∴BG⊥AC,即 BG 是 AC 的垂直平分线,要使 PA=PC,即点 P 在 AC 的垂直平分线上,故 P 在直线 BG 上, ∴点 P 为直线 BG 与抛物线的交点, 设直线 BG 的解析式为

??k ? b ? 2 ?k ? ?1 y ? kx ? b ,则 ? ,解得 ? ,∴ y ? ? x ? 1 , ?b ? 1 ?b ? 1

? y ? ?x ?1 ? x1 ? 3 ? 3 2 ? x2 ? 3 ? 3 2 ? ? ? ∴? ,解得 ? ,? , 1 2 1 y ?? x ? x?2 y1 ? ?2 ? 3 2 ? y2 ? ?2 ? 3 2 ? ? ? ? 9 3 ?
∴点 P( 3 ? 3 (3)∵

2 , 2 ? 3 2 )或 P( 3-3 2 , 2 ? 3 2 ) ? ? ,

1 1 1 3 9 3 y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? ( x ? ) 2 ? ,∴对称轴 x ? ? , 9 3 9 2 4 2 1 2 1 令 ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 3 , x2 ? 6 ,∴E( ?6 ,0) , 9 3 3 故 E、D 关于直线 x ? ? 对称,∴QE=QD,∴|QE-QC|=|QD-QC|, 2 3 要使|QE-QC|最大,则延长 DC 与 x ? ? 相交于点 Q,即点 Q 为直线 DC 与 2
8

直线 x

??

3 的交点, 2

由于 M 为 BC 的中点,∴C(1,2) ,设直线 CD 的解析式为 y=kx+b, 则?

?3k ? b ? 0 ?k ? ?1 ,解得 ? ,∴ y ? ? x ? 3 , ?k ? b ? 2 ?b ? 3
?? 3 3 9 3 9 时, y ? ? 3 ? ,故当 Q 在( ? , )的位置时,|QE-QC|最大, 2 2 2 2 2

当x

过点 C 作 CF⊥x 轴,垂足为 F,则 CD= 7、解: (1)由 y=0 得,ax -2ax-3a=0, ∵a≠0,∴x -2x-3=0,
2 2 2 2

CF 2 ? DF 2 ? 22 ? 22 ? 2 2 .
∴点 A 的坐标(-1,0) ,点 B 的坐标(3,0) ;

解得 x1=-1,x2=3,
2

(2)由 y=ax -2ax-3a,令 x=0,得 y=-3a, 又∵y=ax -2ax-3a=a(x-1) -4a, ∴DH=1,CH=-4a-(-3a)=-a,

∴C(0,-3a) , ∴-a=1,∴a=-1, ∴C(0,3) ,D(1,4) , ,解得 ,

得 D(1,-4a) ,

设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,把 C、D 两点的坐标代入得, ∴直线 CD 的解析式为 y=x+3; (3)存在. 由(2)得,E(-3,0) ,N(,0) ∴F( , ) ,EN= ,

作 MQ⊥CD 于 Q,设存在满足条件的点 M(

,m) ,则 FM=

-m,

EF=

=

,MQ=OM= =
2

由题意得:Rt△FQM∽Rt△FNE,∴ m +9m+
2

,整理得 4m +36m-63=0,∴m +9m= m+ =± ∴m1= ,m2=-

2

2

, ,

=

+

(m+

)=

∴点 M 的坐标为 M1(



) 2( ,M

,-

) .

8、解: (1)∵ 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 M(1,0)和 N(3,0)两点,且与 y 轴交于 D(0,3) , ∴ 假设二次函数解析式为:y=a(x﹣1) (x﹣3) , 将 D(0,3) ,代入 y=a(x﹣1) (x﹣3) ,得:3=3a, ∴ 抛物线的解析式为:y=(x﹣1) (x﹣3)=x ﹣4x+3;
2

∴ a=1,

(2)∵ 过点 A(﹣1,0)的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6,∴ AC× BC=6, ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过 M(1,0)和 N(3,0)两点,∴ 二次函数对称轴为 x=2, ∴ AC=3,∴ BC=4,∴ 点坐标为: B (2,4) ,一次函数解析式为;y=kx+b, ∴ ,解得: ,y= x+ ;

(3)∵ 当点 P 在抛物线的对称轴上,⊙ 与直线 AB 和 x 轴都相切, P ∴ MO⊥ AB,AM=AC,PM=PC, ∵ AC=1+2=3,BC=4, ∴ AB=5,AM=3, ∴ BM=2, ∵ MBP=∠ ∠ ABC,∠ BMP=∠ ACB, 9

∴ ABC∽ CBM,∴ △ △





,∴ PC=1.5,P 点坐标为: (2,1.5) .

9、解: (1)A(﹣m,0) ,B(3m,0) ,D(0,

m) .

(2)设直线 ED 的解析式为 y=kx+b,将 E(﹣3,0) ,D(0,

m)代入得:

解得,k=

,b=

m.

∴ 直线 ED 的解析式为 y=

mx+

m.

将 y=﹣

(x+m) (x﹣3m)化为顶点式:y=﹣

(x+m)2+

m.

∴ 顶点 M 的坐标为(m,

m) .代入 y=

mx+

m 得:m2=m

∵ m>0,∴ m=1.所以,当 m=1 时,M 点在直线 DE 上.连接 CD,C 为 AB 中点,C 点坐标为 C(m,0) .

∵ OD=

,OC=1,∴ CD=2,D 点在圆上

又 OE=3,DE2=OD2+OE2=12,EC2=16,CD2=4,∴ 2+DE2=EC2.∴ FDC=90° 直线 ED 与⊙ 相切. CD ∠ ∴ C

(3)当 0<m<3 时,S△AED= AE.?OD=

m(3﹣m)

S=﹣

m2+

m.

当 m>3 时,S△AED= AE.?OD=

m(m﹣3) .

即 S=

m2_

m.

? ?a ? b ? c ? 0 ? a ? ?1 ? ? 2 10、解: (1)由题意,得 ?c ? ?3 ,解得 ?b ? 4 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? 4 x ? 3 。 ? c ? ?3 ? b ? ?? ?2 ? 2a
(2)①令 ? x
2

? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? 1 x2 ? 3 ,

y

∴B(3, 0)
P A O E P3 C B x

当点 P 在 x 轴上方时,如图 1,过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于点 P, 易求直线 BC 的解析式为

y ? x ? 3 ,∴设直线 AP 的解析式为 y ? x ? n ,
? ?1 。∴直线 AP 的解析式为 y ? x ? 1

∵直线 AP 过点 A(1,0) ,代入求得 n

10
第24题 图1 P2

解方程组 ?

? y ? x ?1 ? y ? ?x ? 4x ? 3
2

,得 ?

? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , ? ? y1 ? 0 ? y2 ? 1

∴点 P (2, 1) 1

当点 P 在 x 轴下方时,如图 1

设直线

? AP 交 y 轴于点 E (0, 1) , 1
得直线 P P 的解析式为 2 3

把直线 BC 向下平移 2 个单位,交抛物线于点 P 、P , 2 3

y ? x ?5,

解方程组 ?

?y ? x ?5 ? y ? ?x ? 4x ? 3
2

, ?

? 3 ? 17 ? 3 ? 17 ? x1 ? ? x2 ? ? 2 2 , ? ? ?7 ? 17 ? ?7 ? 17 ?y ? ? 1 ? y2 ? ? 2 ? 2

∴ P2 (

3 ? 17 ?7 ? 17 3 ? 17 ?7 ? 17 , ),P3 ( , ) 2 2 2 2

综上所述,点 P 的坐标为: P (2, , P ( 1) 2 1

3 ? 17 ?7 ? 17 3 ? 17 ?7 ? 17 , ),P3 ( , ) 2 2 2 2
设直线 CP 的解析式为

0) ? ②∵ B(3,,C (0, 3) ∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45° ? α ∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-(45° ? α )=α ∴∠OCA=∠OQC 又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴ ∴Rt△AOC∽Rt△COQ

y ? kx ? 3

如图 2,延长 CP 交 x 轴于点 Q,设∠OCA=α ,则∠ACB=45° ? α

y

OA OC 1 3 0) ? ,∴ ? ,∴OQ=9,∴ Q(9, OC OQ 3 OQ
?3 ? 0

A O

B Q x

0) ∵直线 CP 过点 Q(9, ,∴ 9k
∴直线 CP 的解析式为

1 ∴k ? 3

P C

y?

1 x ? 3。 3

第24题 图2

11


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