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高中数学第七节 抛物线

时间:2014-07-05


第七节

抛物线

结束

第七节

抛物线

1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:

(1)在平面内; (2)动点到定点F距离与到定直线l的距离 相等 ; (3)定点 不在 定直线上.

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第七节

抛物线

结束

2.抛物线的标准方程和几何性质

y2=2px

y2 =

x2=

x2=

标准方程

(p>0)

-2px(p>0)

2py(p>0)

-2py(p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)

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抛物线

结束

y2=2px 标准方程 (p>0)

y2 = -2px(p>0)

x2= 2py(p>0)

x2= -2py(p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离 对称轴 焦点 离心率 准线方程
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y= 0
p ( ,0) F 2

x=0
p (0, ) 2 F
p (0,- ) 2 F

p (- ,0) 2 F

e= 1
p x=- 2
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p x= 2
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p y=- 2
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p y= 2

第七节

抛物线

结束

y2=2px

y2 =

x2=

x2=

标准方程

(p>0)

-2px(p>0)

2py(p>0)

-2py(p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离 范围 开口方向 x≥0, y∈ R 向右 x≤0,y∈R 向左 |PF|= p -x0+ 2
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y≥0, x∈R 向上

y≤0, x∈R 向下

焦半径(其
中P(x0,y0)
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|PF|= p x0+ 2
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|PF|= p y0+ 2
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|PF|= p -y0+ 2

第七节

抛物线

结束

1. 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件, 当 定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.

2.抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其几 何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义.

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抛物线

结束

[试一试]

1.抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是________.
解析:抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),准线方程为 x=-2, 所以焦点到准线的距离为 4.

答案:4

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抛物线

结束

2.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨 迹方程为________.
解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距 离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知 动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.

答案:y2=4x

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第七节

抛物线

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1.转化思想在定义中应用

抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离.
2.与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)

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抛物线

结束

2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= . 4

2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). sin θ
1 1 2 (3) + 为定值p. |AF| |BF| (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.

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抛物线

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[练一练]
1.若抛物线 x =ay 过点 为________.
2

? 1? A?1,4?,则点 ? ?

A 到此抛物线的焦点的距离

1 解析:由题意可知,点A在抛物线x =ay上,所以1= a,解得 4
2

a=4,得x2=4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点 4 1 A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为yA+ = + 4 4 5 5 1= . 答案: 4 4

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抛物线

结束

2.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, O 是坐标原点,|AF|=2,则|BF|=________,△OAB 的面积是 ________.

解析:设A(x0,y0),由抛物线定义知x0+1=2, ∴x0=1,则直线AB⊥x轴, ∴|BF|=|AF|=2.|AB|=4. 1 1 故△OAB的面积S= |AB||OF|= ×4×1=2. 2 2

答案:2 2
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抛物线

结束

1.(2013· 南通、扬州、泰州二模)若抛物线 y2=2px(p>0)上的点 A(2,m)到焦点的距离为 6,则 p=________. p 解析:法一:由题知,2+ =6,解得 p=8. 2
m2=4p, ? ? ? 法二:由题意得??p ? -2?2+m2=36, ? ??2 ? 解得 p=8.

答案:8
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抛物线

结束

2.(2013· 苏州模底)抛物线 y2=4x 的准线方程是________.
解析: 给出的是开口向右的抛物线的标准方程, 其准线方 程为 x=-1.

答案:x=-1

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抛物线

结束

3.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M, 且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为 ________.
解析:由题意知,抛物线的准线方程为y=-1,|PM| =|PF|=5, ∴P点的纵坐标为4, 1 ∴S△MPF= ×5×4=10. 2 答案:10
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抛物线

结束

[类题通法]
1.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形 可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征, 体现了数形结合思想解题的直观性. 2.求抛物线方程应注意的问题

(1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四 种类型中的哪一种; (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之
间的对应关系; (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它
的几何意义来解决问题.
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第七节

抛物线

结束

与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最 小等等.归纳起来常见的命题角度有:

?1?动弦中点到坐标轴距离最短问题;
?2?距离之和最小问题; ?3?焦点弦中距离之和最小问题.

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抛物线

结束

角度一

动弦中点到坐标轴距离最短问题

1.已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中 点到 x 轴的最短距离为________.
解析:由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1 ⊥l 交 l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1|= |AA1|+|BB1| .因为|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点),即 2 |AF|+|BF|≥6, 所以|AA1|+|BB1|≥6, 2|MM1|≥6, |MM1|≥3, 故点 M 到 x 轴的距离 d≥2.
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答案:2
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抛物线

结束

角度二

距离之和最小问题

2.(2014· 哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方 程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1, 到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.

解析:由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离 d1=|PF|-1,所以d1+d2=d2+|PF|-1.易知d2+|PF|的最小 值为点F到直线l的距离,故d2+|PF|的最小值为 =3 2,所以d1+d2的最小值为3 2-1. |1+5| 12+?-1?2

答案:3 2-1
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抛物线

结束

角度三 焦点弦中距离之和最小问题 3.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A、B两
点,过A、B分别作y轴垂线,垂足分别为C、D,则|AC|+ |BD|的最小值为________.

解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|- 2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依 抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小 值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
答案:2

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抛物线

结束

[类题通法]
与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点 到点的距离与点到直线的距离的转化.

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距 离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离, 利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

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抛物线

结束

[典例]

(2014· 无锡期末)如图,过抛物线 y2

=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B两 点,交其准线于点 C.若 BC=2BF,且 AF=3,则 此抛物线的方程为________. [解析] 过点 B 作 BH 垂直准线于点 H.由抛物线定义得 BF=
BH 1 BH.因为 BC=2BF,所以 BC=2BH,则 cos∠CBH= BC = ,则 2 ∠CBH=60° ,所以直线 AB 的倾斜角 θ=∠CBH=60° ,过点 A 作 1 AA′垂直准线于点 A′,则 AF=p+AFcos 60° ,即 3=p+3× , 2 3 所以 p= ,抛物线的方程为 y2=3x. 2
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[答案]
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y2=3x

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抛物线

结束

[类题通法]
求解直线与抛物线位置关系问题的方法

在解决直线与抛物线位置关系的问题时, 其方法类似于直线与椭 圆的位置关系.在解决此类问题时,除考虑代数法外,还应借助平面 几何的知识,利用数形结合的思想求解.

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抛物线

结束

[针对训练]
(2014· 南京摸底)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.过点F 作倾斜角为60° 的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过点A 作l的垂线,垂足为A1,则△AA1F的面积是________.
解析:法一:由题知,F(1,0),所以 lAF:y= 3(x-1).将它与 1 ? ? ?x=3, x = 3 , ? y2=4x 联立解得? 或? ? ?y=2 3 ?y=-2 3, 3 ? 1 AF=4,故 S△AA1F= ×4×2 3=4 3. 2
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则 A(3,2 3),AA1=

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抛物线

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法二:设A(m,2 m),则AF=AA1=1+m,又m=1+ 1 AF· cos 60° =1+ (1+m),解得m=3,所以AA1=4,所 2 1 以S△AA1F= ×4×2 3=4 3. 2

答案:4 3

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抛物线

结束

[ 课堂练通考点]
1.(2013· 镇江期末)圆心在抛物线x2=2y上,并且和抛物线的 准线及y轴都相切的圆的标准方程为________.
解析:设圆心P(2a,2a2),根据题设条件知抛物线的准线 1 1 1 2 为y=- ,所以2a + =2|a|,所以a=± ,所以满足条 2 2 2 件的圆的标准方程为(x± 1)
2

? 1 ?2 +?y-2? =1. ? ?

答案:(x± 1)
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2

? 1?2 +?y-2? =1 ? ?

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抛物线

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2.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点, PA⊥l,垂足为A,如果△APF为正三角形,那么|PF|等于 ________.

3 解析:设点P的坐标为(xp,yp),则|PF|=xp+ .过点P作x轴 2 的垂线交x轴于点M,则∠PFM=∠APF=60° ,所以|PF|=
? 3? 3 9 2|MF|,即xp+ =2?xp-2?,解得xp= ,所以|PF|=6. 2 2 ? ? 答案:6

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抛物线

结束

3.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135° 的直线交抛物线于 A,B两点,则弦AB的长为________.
解析:抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾 斜角为135° ,故直线AB的方程为y=-x+2,代入抛物线 方程y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 弦AB的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16.

答案:16

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抛物线

结束

4.设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与 抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则 |AF|+|BF|=________.

解析:分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点 到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.

答案:8

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抛物线

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2 2 x y 5.(2013· 扬州三调)抛物线y2=4mx(m>0)的焦点到双曲线 - 16 9

=1的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为______.

x y 解析:因为双曲线渐近线为 ± =0,抛物线的焦点为(m,0), 4 3 |3m| 所以由 =3得m=5,所以抛物线的方程为y2=20x. 5 答案:y2=20x

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“课下提升考能”见“课 时跟踪检测(五十)”(进 入电子文档)

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结束

谢谢观看

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