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高一数学人教a版必修4课件1.6三角函数模型的简单应用_图文

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1.6 读教材·填要点 课前预习·巧设计 第 一 章 三 角 函 数 三 角 函 数 模 型 的 简 单 应 用 小问题·大思维 考点一 名师课堂·一点通 考点二 考点三 解题高手 NO.1课堂强化 创新演练·大冲关 NO.2课下检测 返回 返回 返回 [读教材·填要点] (1)三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种 数学模型. (2)y=|sin x|的最小正周期为π ,y=|tan x|的最小正周 期为π . (3)三角函数模型的建立程序. 返回 [小问题·大思维] 处理曲线拟合与预测的问题,通常有几个步骤? 提示:(1)根据原始数据、表格,绘出散点图. (2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线, 即拟合直线和曲线. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的 函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测 和控制,以便为决策和管理提供依据. 返回 返回 [研一题] [例 1] 如图所示,是一个半径为 10 个 长度单位的水轮,水轮的圆心离水面 5 2个长度单位.已知水轮每分钟转 4 圈, 水轮上的点 P 到水面距离 d 与时间 t 满足 d-k t- h 的函数关系是正弦曲线,其表达式为 b =sin( a ). 返回 (1)求正弦曲线的振幅和周期; (2)如果从P点在水中浮现时开始计算时间,写出其有 关d与t的关系式; (3)在(2)的条件下,求P首次到达最高点所用的时间. 60 [自主解答] (1)A=r=10.T= =15(s). 4 d-k t- h t- h (2)由 b =sin a ,得 d=bsin a +k. 2π 15 b=A=10,T= =2πa=15,∴a= . 1 2π a 由于圆心离水面 5 2个长度单位,∴k=5 2. 返回 2π?t-h? ∴d=10sin +5 2. 15 2π 2 2π π 将 t=0,d=0 代入上式,得 sin( h)= , h= , 15 2 15 4 2π π ∴d=10sin( t- )+5 2. 15 4 (3)P 到达最高点时 d=10+5 2. 2π π 2π π π 45 ∴sin( t- )=1,得 t- = ,t= (s). 15 4 15 4 2 8 45 即 P 首次到达最高点所用时间为 s. 8 返回 [悟一法] 解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y= Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题去解决. 返回 [通一类] 1.已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函 π 5π 数 y=10sin( x- )+20,x∈[4,16]. 8 4 (1)求该地区这一段时间内的最大温差;(2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能 生存多长时间? 解:(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,即最高温 度为30℃,当x=6时函数取最小值,即最低温度为10℃, 所以,最大温差为30℃-10℃=20℃. 返回 π 5π (2)令 10sin( x- )+20=15, 8 4 π 5π 1 26 可得 sin( x- )=- ,而 x∈[4,16],所以 x= . 8 4 2 3 π 5π π 5π 1 令 10sin( x- )+20=25, 可得 sin( x- )= , 而 x∈[4,16], 8 4 8 4 2 34 所以 x= . 3 34 26 8 8 又 - = ,故该细菌能生存 h. 3 3 3 3 返回 [研一题] [例 2] 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置的距离 s(单 位:cm)和时间 t(单位:s)的函数关系式为 ? π? s=6sin?2πt+6 ?. ? ? (1)作出函数的图像; (2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (4)单摆来回摆动一次需多长时间? 返回 [自主解答] (1)利用“五点法”可作出其图像. (2)因为当 t=0 时, π s=6sin =3, 6 所以此时离开平衡位置 3 cm. (3)离开平衡位置 6 cm. 2π (4)因为 T= =1, 2π 所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s. 返回 [悟一法] 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中, 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其 要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和 表示方法. 返回 [通一类] 2.交流电的电压 E(单位:V)与时间 t(单位:s)的关系可用 π E=220 3sin(100πt+ )来表示,求: 6 (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 返回 解:(1)当 t=0 时,E=110 3(V), 即开始时的电压为 110 3 V. (2)T= 2π 1 = (s),即时间间隔为 0.02 s. 100π 50 (3)电压的最大值为 220 3 V, π π 1 当 100πt+ = ,即 t= s 时第一次取得最大值. 6 2 300 返回 [例3] [研一题] 已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24) 的函数,下表是某日各时的浪高数据: t(h) y(m) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 21 24 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据,选用一个函数来近似描述y与t的函数 关系; (2)依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开 放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00时至晚上20: 00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 返回 [自主解答] (1)以时间为横坐标,高度为纵坐标,在 直角坐标系中画

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