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广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷(理科)

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广东省广州六中 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选择香中,只有一项是 符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 M={x|x =9},N={x∈Z|﹣3≤x<3},则 M∩N=() A.? B.{﹣3} C.{﹣3,3} D.{﹣3,﹣2,0,1,2} 2. (5 分)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线 x+y+1=0 与圆 其中真命题的序号是() A.①②③ B.①② 相切.
2

C.①③

D.②③

3. (5 分)不等式( ﹣x) (x﹣ )>0 的解集为() A.{x| <x< } B.{x|x> } C.{x|x< } D.{x|x< 或 x> }

4. (5 分)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为() 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 5. (5 分)已知向量 B.07 的夹角为 ,且 C.02 , =() D.4 D.01 ,在△ ABC 中,

,D 为 BC 边的中点,则 A.1 B. 2 C. 3

6. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲

线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

7. (5 分) 在数列{an}中, 若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 (n∈N ) , 且 a7=2, a9=3, a98=4, 则数列{an}的前 100 项的和 S100=() A.132 B.299 C.68 D.99 8. (5 分)将 n 个正整数 1、2、3、…、n (n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表, 计算某行或某列中的任意两个数 a、b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的 “特征值”.当 n=2 时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为() A. B. C. 2 D.3
2 2

*

二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 满分 25 分. 本大题分为必做题和选做题两部分. (一) 必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分)函数 单调增区间为.

10. (5 分)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为.

11. (5 分)现有 4 名教师参加说课比赛,共有 4 道备选题目,若每位教师从中有放回地随机 选出一道题目进行说课,其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有. 12. (5 分)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 的最小值为.

13. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,若 z=kx+y 的最大值为 5,则实数 k=.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分) 已知圆的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 , 则|CP|=.

【几何证明选讲选做题】 15.如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣ (Ⅰ)求 ω; (Ⅱ)若 f( + )= ,且 α∈(﹣ , ) ,求 tanα 的值. ) (ω>0)的最小正周期为 π

(Ⅲ)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象(完成列表并作图) . (1)列表 x 0 ﹣1 1 π

y (2)描点,连线

17. (12 分)某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此作了四次试验, 得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 2 3 4 5

加工的时间 y(小时) 2.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

3

4

4.5

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?

(注: =

, = ﹣



18. (14 分)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB= CD,AB⊥BC,平面 ABCD⊥平面 BCE,△ BCE 为等边三角形,M,F 分别是 BE,BC 的中点,DN= DC. (1)证明:EF⊥AD; (2)证明:MN∥平面 ADE; (3)若 AB=1,BC=2,求几何体 ABCDE 的体积.

19. (14 分)设正数数列{an}为等比数列,a2=4,a4=16,记 bn=2?log2an (1)求 an 和 bn; (2)证明:对任意的 n∈N ,有
+

?





成立.

20. (14 分)焦点在 x 轴的椭圆 C1: y=k(x﹣a) (k>0)与曲线 C2:y=x ﹣ (1)若 C1 的离心率为
2

+

=1(3≤a≤4) ,过 C1 右顶点 A2(a,0)的直线 l: 相切,交 C1 于 A2、E 二点.

,求 C1 的方程.

(2)求|A2E|取得最小值时 C2 的方程.
x

21. (14 分)设函数 f(x)=ae lnx+ y=e(x﹣1)+2. (Ⅰ)求 a、b; (Ⅱ)证明:f(x)>1.

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处得切线方程为

广东省广州六中 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选择香中,只有一项是 符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 M={x|x =9},N={x∈Z|﹣3≤x<3},则 M∩N=() A.? B.{﹣3} C.{﹣3,3} D.{﹣3,﹣2,0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 M 和集合 N 的公共元素构成集合 M∩N,由此利用集合 M={x|x =9}={﹣3, 3},N={x∈Z|﹣3≤x<3}={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},能求出 M∩N. 2 解答: 解:∵集合 M={x|x =9}={﹣3,3}, N={x∈Z|﹣3≤x<3}={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴M∩N={﹣3}. 故选 B. 点评: 本题考查集合的交集的概念及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2. (5 分)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线 x+y+1=0 与圆 相切.
2 2

其中真命题的序号是() A.①②③ B.①② 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 对于①由球的体积公式 V=

C.①③

D.②③

可知①正确;对于②通过举反例,如 2,2,2

和 1, 2, 3; 这两组数据的平均数相等, 它们的标准差不相等, 故②错; 对于③利用圆 的圆心到直线 x+y+1=0 的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可. 解答: 解:①由球的体积公式 V= 缩小到原来的 ;故①正确; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差不一定相等,如 2,2,2 和 1,2,3;这两组 数据的平均数相等,它们的标准差不相等,故②错; ③圆 的圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= 相切,③正确. 故选 C. 点评: 本题主要考查了命题的真假判断与应用,主要考查了球的体积公式、平均数和方差、 直线与圆的位置关系等,属于基础题. =半径 r,故直线 x+y+1=0 与圆 可知,若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积

3. (5 分)不等式( ﹣x) (x﹣ )>0 的解集为() A.{x| <x< } B.{x|x> } C.{x|x< } D.{x|x< 或 x> }

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把不等式( ﹣x) (x﹣ )>0 化为(x﹣ ) (x﹣ )<0,求出它的解集即可. 解答: 解:不等式( ﹣x) (x﹣ )>0 可化为 (x﹣ ) (x﹣ )<0; 解得 <x< ; ∴原不等式的解集为{x| <x< }. 故选:A. 点评: 本题考查了求一元二次不等式的解集问题,解题时应根据解一元二次不等式的基本 步骤,进行解答即可,是容易题.

4. (5 分)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为() 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01

考点: 简单随机抽样. 专题: 概率与统计. 分析: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右 读,依次为 65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中 08,02, 14,07,01 符合条件,故可得结论. 解答: 解:从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始 向右读, 第一个数为 65,不符合条件,第二个数为 72,不符合条件, 第三个数为 08,符合条件, 以下符合条件依次为:08,02,14,07,01, 故第 5 个数为 01. 故选 D. 点评: 本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的, 所以每个数被抽到的概率是一样的. ,在△ ABC 中, =() D.4

5. (5 分)已知向量

的夹角为

,且



,D 为 BC 边的中点,则 A.1 B. 2 C. 3

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模;向量的加法及其几何意义. 分析: 利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积;利用三角形的平行四边形法则表示 出 ;利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模.

解答: 解: = = = =

= 故选 A 点评: 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则:平行四边形法则、向量模的平方等 于向量的平方.

6. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲

线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出焦点坐标,利用双曲线
2 2 2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:

y=2x+10,可得 =2,结合 c =a +b ,求出 a,b,即可求出双曲线的方程. 解答: 解:∵双曲线的一个焦点在直线 l 上, 令 y=0,可得 x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0) ,∴c=5, ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,

∴ =2, ∵c =a +b , 2 2 ∴a =5,b =20, ∴双曲线的方程为 ﹣ =1.
2 2 2

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 7. (5 分) 在数列{an}中, 若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 (n∈N ) , 且 a7=2, a9=3, a98=4, 则数列{an}的前 100 项的和 S100=() A.132 B.299 C.68 D.99 考点: 数列的求和.
*

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意数列各项以 3 为周期呈周期变化,所以 a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3,进而 S100=33×(a1+a2+a3)+a1.由此能够求出 S100. * 解答: 解:∵在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) , ∴an+3=an.即数列各项以 3 为周期呈周期变化 ∵98=3×32+2, ∴a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3, a1+a2+a3=2+3+4=9, ∴S100=33×(a1+a2+a3)+a100=33×(a1+a2+a3)+a1 =33×9+2=299. 故选 B 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 8. (5 分)将 n 个正整数 1、2、3、…、n (n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表, 计算某行或某列中的任意两个数 a、b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的 “特征值”.当 n=2 时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为() A. B. C. 2 D.3
2 2

考点: 归纳推理. 专题: 简易逻辑. 分析: 可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数的可能,可得特征值,比较 后可得答案. 解答: 解:当 n=2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表, 当 1、2 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 ; 当 1、3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ; 当 1、4 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 , 故这些可能的“特征值”的最大值为 . 故选:B. 点评: 题考查类比推理和归纳推理,属基础题. 二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 满分 25 分. 本大题分为必做题和选做题两部分. (一) 必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分)函数 单调增区间为(﹣∞,﹣2) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 先求原函数的定义域,再将原函数分解成两个简单函数 y= ﹣4,因为 y=

、g(x)=x
2

2

单调递减,求原函数的单调递增区间,即求 g(x)=x ﹣4 的减区

间(根据同增异减的性质) ,再结合定义域即可得到答案. 解答: 解:∵
2



∴要使得函数有意义,则 x ﹣4>0,即(x+2) (x﹣2)>0,解得,x<﹣2 或 x>2, ∴ 的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,

要求函数
2

的单调递增区间,即求 g(x)=x ﹣4 的单调递减区间,

2

g(x)=x ﹣4,开口向上,对称轴为 x=0, 2 ∴g(x)=x ﹣4 的单调递减区间是(﹣∞,0) , 又∵ 的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,

∴函数

,的单调递增区间是(﹣∞,﹣2) .

故答案为: (﹣∞,﹣2) . 点评: 本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法 等基础知识,考查运算求解能力,求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可,求单调区间 特别要注意先求出定义域,单调区间是定义域的子集.属于基础题.

10. (5 分)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 几何体是圆柱与 球体的组合体,根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径,判 断球的半径,把数据代入圆柱与球的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆柱与 球体的组合体, 圆柱的高为 1,圆柱底面圆的半径与球的半径都为 1, ∴几何体的体积 V=π×1 ×1+ × π×1 = 故答案为: .
2 3



点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解答此类问题的关键. 11. (5 分)现有 4 名教师参加说课比赛,共有 4 道备选题目,若每位教师从中有放回地随机 选出一道题目进行说课,其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有 144. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 利用间接法,先确定 4 个老师无遗漏的选择,再去掉恰好 2、3、4 道题目未被选的 情况,即可得出结论 解答: 解:由题意,每个老师都有 4 种选择,所以 4 个老师无遗漏的选择是 4 =256 种, 其中恰好 2 道题目未被选的有 ( + )=84、恰好 3 道目未被选(四人选了同一道题, =24 种) .
4

有 4 种) 、恰好 0 道题目未被选的(四道题都被选,有

故共有 256﹣84﹣4﹣24=144, 点评: 本题考查计数原理的应用,考查间接法,解题的关键是去掉恰好 2、3、4 道题目未 被选的情况,属于中档题.

12. (5 分)已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则

的最小值为 18.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ∴

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 解:∵正数 x,y 满足 x+2y=1, =(x+2y) =10+ =18,当且仅当 x=4y= 时取等号.

的最小值为 18.

故答案为:18. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

13. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,若 z=kx+y 的最大值为 5,则实数 k=﹣1

或 .

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,进一步利

用目标函数 z=kx+y 的最大值为 11,判断目标函数经过的点,即可求出 k 的值.

解答: 解:由变量 x,y 满足约束条件

,作出可行域:

∵z=kx+y 的最大值为 5,即 y=﹣kx+z 在 y 轴上的截距是 5, ∴目标函数 z=kx+y 经过 的交点 B(﹣2,3) ,

∴5=k×(﹣2)+3;解得 k=﹣1. 目标函数 z=kx+y 经过 的交点 A(4,3) ,

∴5=4k+3;解得 k= . 故答案为:﹣1 或 .

点评: 本题考查简单的线性规划的应用,在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤 为: ①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数 ?④验证,求出最优解.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cosθ,圆心为 C,点 P 的极坐标为 |CP|= . ,则

考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 求出圆的直角坐标方程,求出圆的圆心坐标,化 P 的极坐标为直角坐标,利用两点 间距离公式求出距离即可. 解答: 解:圆的极坐标方程为 ρ=4cosθ,圆的方程为:x +y =4x,圆心为 C(2,0) , 点 P 的极坐标为 所以|CP|= ,所以 P 的直角坐标(2,2 =2 . ) ,
2 2

故答案为:2 . 点评: 本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化,点的极坐标与直角坐标的互化, 两点的距离公式的应用,考查计算能力. 【几何证明选讲选做题】 15.如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用切割线定理求出 EB,证明四边形 AEBC 是平行四边形,通过三角形相似求出 CF 即可. 解答: 解:如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB,又因为,AB=AC,所以∠EAB=∠ABC, 所以直线 AE∥直线 BC,又因为 AC∥BE,所以是平行四边形. 因为 AB=AC,AE=6,BD=5,∴AC=AB=4,BC=6. △ AFC∽△DFB,

即:



CF= , 故答案为: .

点评: 本题考查圆的切割线定理,三角形相似,考查逻辑推理能力与计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣ (Ⅰ)求 ω; (Ⅱ)若 f( + )= ,且 α∈(﹣ , ) ,求 tanα 的值. ) (ω>0)的最小正周期为 π

(Ⅲ)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象(完成列表并作图) . (1)列表 x 0 ﹣1 1 π

y (2)描点,连线

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin (ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用函数的周期公式直接求 ω; (Ⅱ)通过 f( + )= ,且 α∈(﹣ , ) ,求出 sinα,利用三角函数的基本关系式

即可求 tanα 的值. (Ⅲ)结合表格,通过函数的解析式,直接填补,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象(完 成列表并作图) .

解答: 解: (Ⅰ)∵函数 ∴ ,



∴ω=2.…(2 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 由 ∵ ∴ ∴ . …(8 分) 得: ,…(4 分) …(6 分)

(其他写法参照给分) (Ⅲ)由(Ⅰ)知 (1)列表 x y 0 ﹣1 0 1 0 a,b ,于是有

…(11 分) (2)描点,连线函数 y=f(x)在区间[0,π]上图象如下…(14 分)

点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的画法,基本性质以及基本知识的 考查. 17. (12 分)某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此作了四次试验, 得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?

(注: =

, = ﹣



考点: 回归分析. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)由数据表可得四个点的坐标,在坐标系中描点作图; (2)利用最小二乘法求得回归直线方程的系数 b,再求系数 a,得回归直线方程; (3)把 x=10 代入回归直线方程,求得预报变量 y 的值. 解答: 解(1)散点图如图所示.

(2)由表中数据得:

xiyi=52.5, =3.5, =3.5,

=54,∴b=0.7,a=1.05. ∴回归直线方程为 y=0.7x+1.05. (3)将 x=10 代入回归直线方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时) , ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. 点评: 本题考查了线性回归方程的求法及应用,熟练掌握最小二乘法求回归直线方程的系 数是关键.

18. (14 分)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB= CD,AB⊥BC,平面 ABCD⊥平面 BCE,△ BCE 为等边三角形,M,F 分别是 BE,BC 的中点,DN= DC.

(1)证明:EF⊥AD; (2)证明:MN∥平面 ADE; (3)若 AB=1,BC=2,求几何体 ABCDE 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明出 EF⊥BC,进而根据面面垂直的性质判断出 EF⊥平面 ABCD,最后根 据线面垂直的性质证明出 EF⊥AD. (2) 取 AE 中点 G, 连接 MG, DG, 先证明出四边形 DGMN 是平行四边形, 推断出 DG∥MN, 进而根据线面平行的判定定理证明出 MN∥平面 ADE. (3)利用梯形面积公式求得底面面积,进而在三角形△ BCE 中求得 EF,最后求得体积. 解答: (1)证明:∵△BCE 为等边三角形,F 是 BC 的中点, ∴EF⊥BC, 又∵平面 ABCD⊥平面 BCE,交线为 BC,EF?平面 BCE ∴EF⊥平面 ABCD; 又∵AD?平面 ABCD, ∴EF⊥AD.

(2)证明:取 AE 中点 G,连接 MG,DG, ∵AG=GE,BM=ME, ∴GM∥AB,且 ∵ , , ,

∴DN∥AB,且



∴四边形 DGMN 是平行四边形, ∴DG∥MN, 又∵DG?平面 ADE,MN?平面 ADE, ∴MN∥平面 ADE (3)依题,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,CD=2,BC=2 则直角梯形 ABCD 的面积为 由(1)可知 EF⊥平面 ABCD,即 EF 是四棱锥 E﹣ABCD 的高 在等边△ BCE 中,由边长 BC=2,得 故几何体 ABCDE 的体积为 , . ,

点评: 本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用.考查了学生分析能力和空 间观察能力. 19. (14 分)设正数数列{an}为等比数列,a2=4,a4=16,记 bn=2?log2an (1)求 an 和 bn; (2)证明:对任意的 n∈N ,有
+

?





成立.

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的性质. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用. 分析: (1)先根据 a2=4,a4=16 求出数列{an}的通项公式,利用 bn=2?log2an,求出 bn; (2)利用数学归纳法进行证明,①当 n=1 时,不等式成立,②假设当 n=k 时不等式成立, 然后证明当 n=k+1 时,不等式成立,从而证得结论. 2 解答: (1)解:正数数列{an}为等比数列,a2=4,a4=16,可知 q =4, n 又 an>0,∴an=2 , ∴bn=2?log2an=2n. (2)证明:①当 n=1 时,左边= ,右边= ,因为 > ,所以不等式成立.

②假设当 n=k 时不等式成立,即

?





成立.

则当 n=k+1 时, 左边=

?



?



?

=

> ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

点评: 本题主要考查了数列与不等式的综合,以及等差数列求和和利用数学归纳法证明不 等式,属于中档题.

20. (14 分)焦点在 x 轴的椭圆 C1: y=k(x﹣a) (k>0)与曲线 C2:y=x ﹣ (1)若 C1 的离心率为
2

+

=1(3≤a≤4) ,过 C1 右顶点 A2(a,0)的直线 l: 相切,交 C1 于 A2、E 二点.

,求 C1 的方程.

(2)求|A2E|取得最小值时 C2 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 C1 的离心率 得 a =9,即可求出 C1 的方程.
2

(2)利用韦达定理,表示出|A2E|,利用换元,导数法,即可求|A2E|取得最小值时 C2 的方程. 解答: 解: (1)由 C1 的离心率 得 a =9…(2 分)
2



…(3 分)

(2)l 与 C2 方程联立消 y 得 由 l 与 C2 相切知△ =k ﹣3ak=0,由 k>0 知 k=3a…(5 分) 2 2 2 3 2 4 2 2 l 与 C1 方程联立消 y 得(4+a k )x ﹣2a k x+a k ﹣4a =0…①…(6 分) 设点 E(xE,yE) ,则 ∵l 交 C1 于 A2、E 二点,∴xE、a 是①的二根, ∴ ,故 …(8 分)
2



=

…(10 分)

令 t=a ∈[9,16],则

2



,则

在 t∈[9,16]上恒成立 故 f(t)在[9,16]上单减 此时 …(14 分) …(12 分)

故 t=16 即 a=4,k=12 时 f(t)取得最小值,则|A2E|取得最小值

点评: 本题考查椭圆、抛物线的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查导数知识的运用, 难度大.
x

21. (14 分)设函数 f(x)=ae lnx+ y=e(x﹣1)+2. (Ⅰ)求 a、b; (Ⅱ)证明:f(x)>1.

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处得切线方程为

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出定义域,导数 f′(x) ,根据题意有 f(1)=2,f′(1)=e,解出即可; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, ( f x) >1 等价于 xlnx>xe ﹣ , 设函数 g (x) =xlnx, 函数 h (x) = 只需证明 g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得 g(x)min,h(x)max; 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= 由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e, 故 a=1,b=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e lnx+
﹣x ﹣x



+



x



从而 f(x)>1 等价于 xlnx>xe ﹣ ,设函数 g(x)=xlnx,则 g′(x)=1+lnx, ∴当 x∈(0, )时,g′(x)<0;当 x∈( ,+∞)时,g′(x)>0. 故 g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的 最小值为 g( )=﹣ . 设函数 h(x)=xe ﹣ ,则 h′(x)=e (1﹣x) . ∴当 x∈(0,1)时,h′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
﹣x ﹣x

从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=﹣ . 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x) ,即 f(x)>1. 点评: 本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想, 考查学生分析解决问题的能力.


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