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2018年全国高中数学联赛安徽预赛试题及详解

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绝密★启用前 2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题 8 分,满分 64 分,将答案填在答题纸上) 1.设三个复数 1 , i , z 在复平面上对应的三点共线,且 z ? 5 ,则 z ? 2.设 n 是正整数,且满足 n ? 438427732293 ,则 n ? 5 . . . . . 3.函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? sin ? 3 x ? ? sin ? 4 x ? 的最小正周期= 4.设点 P , Q 分别在函数 y ? 2x 和 y ? log 2 x 的图象上,则 PQ 的最小值= 5.从 1, 2,?,10 中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差 s ? 1 的概率= 2 6.在边长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段 AC1 相切,则小球半径的最大值= . 7.设 H 是 ?ABC 的垂心,且 3HA ? 4HB ? 5HC ? 0 ,则 cos ?AHB ? 2 ??? ? ??? ? ???? . 8.把 1, 2,?, n 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 Tn ,第一行是 1, 2,? , n .例如: ?1 2 3 ? ? T3 ? ? ? 8 9 4 ? .设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列,则 ? i, j ? ? ? ?7 6 5 ? ? . 二、解答题 (本大题共 4 小题,共 86 分. 9. 如图所示,设 ABCD 是矩形,点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点,点 G 在线段 EF 上,点 D , H 关于线段 AG 的垂直平分线 l 对称.求证: ?HAB ? 3?GAB . 10. 设 O 是坐标原点,双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , a 2 b2 B 两点. (1)求证: ?AOB 的面积 S 是定值; (2)求 ?AOB 的外心 P 的轨迹方程. 11. (1)求证:对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 ? xy ? yz ? zx ? . (2)是否存在实数 k ? 3 ,使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立? x2 ? 2 y2 ? 3z 2 ? k ? xy ? yz ? zx ? 试证明你的结论. 12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此 图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018 全国高中数学联赛安徽省初赛答案 一、填空题 1. 4 ? 3i 或 ?3 ? 4i 2. 213 3. 2? 4. 1 ? ln ? ln 2 ? 2 ln 2 5. 1 15 6. 4? 6 5 7. ? 6 6 8. ? 34,95? 二、解答题 9.解:由 E , F 分别是 AD , BC 的中点,得 EF / / AB ? AD . 设 P 是 E 关于 l 的对称点,则 EP / / AG ? l ,故四边形 AEPG 是等腰梯形. 进而 ?PAG ? ?EGA ? ?GAB , ?APG ? ?GEA ,从而 AP ? HG . 再由 HP ? DE ? EA ? PG ,得 ?HAP ? ?PAG ? ?GAB . 因此 ?HAB ? 3?GAB . 10.解: (1) M ? x0 , y0 ? 处的切线方程 x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b ? ? a b 与渐近线方程联立,得 A ? x1 , y1 ? ? ? , ? x0 ? y0 x0 ? y0 ? a b a b ? ? ? a ?b ? B ? x2 , y2 ? ? ? , ?. ? x0 ? y0 x0 ? y0 ? ? a b a b ? 1 从而, S ? x1 y2 ? x2 y1 ? ab 是定值. 2 (2)由(1)可设 A ? ?a, ?b ? , B ? ? ? ?, ? ? ?a b? , ? ? , P ? x, y ? , ? 为非零常数. ?? ?? 2 2 由 PA ? PO ? PB ,得 ? x ? ? a ? ? ? y ? ?b ? ? x 2 ? y 2 ? ? x ? ? ? a? ? b? ? ?? y ? ? . ?? ? ?? 2 2 1 2 a ? b2 ? . ? 2? 1 2 2 2 2 2 2 2 上述两式相乘,得 P 的轨迹方程为 a x ? b y ? ? a ? b ? . 4 从而有 ax ? by ? ? ?a 2 2 ? b 2 ? , ax ? by ? 11.解: (1) 由均值不等式, x ? 2 1 2 3 2 1 3 1 3 y ? 3xy , x 2 ? z 2 ? 3xz , y 2 ? z 2 ? 3 yz . 2 2 2 2 2 故 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 ? xy ? yz ? zx ? . (2) ? ? k2 ? k k ? ? k2 ? k2 ? ? x ? 2 y ? 3z ? k ? xy ? yz ? zx ? ? ? x ? y ? z ? ? ? 2 ? ? y 2 ? ? 3 ? ? z 2 ? ? ? k ? yz 2 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? k2 ? ? k 2 ?? k2 ? k2 ? 0 且 ? ? k ? ? 4 ? 2 ? ?? 3 ? ? . 上式 ? 0 恒成立当且仅当 2 ? 4 ?? 4 ? 4 ? 2 ? ? 化简得 k ? 2 2 且 k ? 6k ? 24 ? 0 .显然, k ? 2 ? 3 满足要求. 3 2 2 12.设 N 是此图形中三边颜色

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