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江苏省徐州市2016-2017学年度第一学期高二期中考试数学试题(含答案)

时间:2017-11-20


2016-2017 学年度第一学期期中考试

高二数学试题
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 参考公式: 圆柱的体积公式: V圆柱 ? Sh, 其中 S 是圆柱的底面积,h 是高.
1 锥体的体积公式: V锥体 ? Sh, 其中 S 是锥体的底面积,h 是高. 3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.) 1.过点 A(?1,3) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 2.过三点 A(4,0) , B (0,?2) 和原点 O (0,0) 的圆的标准方程为 3.在平面直角坐标系 xOy 中,过 A(?1,0) , B (1,2) 两点直线的倾斜角为 4.圆心在 y 轴上,且与直线 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 相切于点 A( 2,2) 的圆的方程是 5. 对于任意的 x ? R , e|2 x ?1| ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 6. 若直线 ax ? 2 y ? a ? 0 和直线 3ax ? (a ? 1) y ? 7 ? 0 平行,则实数 a 的值是 7. 经过点 ( 2,1) ,且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 . . . . . . .

8. 已知圆柱 M 的底面半径为 2 ,高为 6 ,圆锥 N 的底面直径和母线长相等.若 圆柱 M 和圆锥 N 的体积相同,则圆锥 N 的高为 .

9. 在坐标系 xOy 中, 若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? a) 2 ? 16 相 交于 A, B 两点,且 ?ABC 为直角三角形,则实数 a 的值是 .

10.已知点 P ( ?1,1) 和点 Q(2,2) ,若直线 l : x ? my ? m ? 0 与线段 PQ 没有公共点, 则实数 m 的取值范围是 .

11.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? n , n 是平面 ? 内任意的直线,则 m ? ? ;②若 ? ? ? , ? ? ? ? m ,
n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ;

③若 ? ? ? ? m , n ? ? , n ? m ,则 ? ? ? ; .

④若 m ? ? , ? ? ? , m // n ,则 n // ? .其中正确命题的序号为

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,若直线 y ? kx ? 3 上至少存 在一点,使得以该点为圆心, 2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最
1

大值是



13.已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA, PB , PC 三条侧棱剪开,将 其表面展开成一个平面图形, 若这个平面图形外接圆的半径为 6 , 则三棱锥

P ? ABC 的体积为

. .

14.已知实数 x, y 满足 x ? x ? 1 ? y ? 1 ? y ,则 x ? y 的取值范围是 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.)

15.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 M , N 分别为线段

A1B,AC1 的中点.(1)求证: MN // 平面 BB1C1C ;
(2)若 D 在边 BC 上, AD ? DC1 ,求证: MN ? AD .

B A

D

C

M

N C1

B1 A1 (第 15 题)

16.(本小题满分 14 分)命题 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 (其中 a ? 0 ), 命题 q :

| x ? 1 |? 2 ? ? 实数 x 满足 ? x ? 3 . (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; ?0 ? ?x ? 2
(2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

17.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE ,

BE ? EC .(1)求证:平面 AEC ? 平面 ABE ;
(2)点 F 在 BE 上,若 DE // 平面 ACF ,求
BF 的值. BE

A O

D

B F E (第 17 题图)

C

18.(本小题满分 16 分)已知直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 相交于 A, B 两 点,弦 AB 的中点为 M (0,1) .(1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若圆 C 上存在动点 N 使 CN ? 2MN 成立,求实数 a 的取值范围.

3

19.(本小题满分 16 分)设直线 l : x ? my ? 2 3 ? 0 ,圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 ). (1)当 m 取一切实数时,直线 l 与圆 O 都有公共点,求 r 的取值范围; (2)当 r ? 5 时,求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围. (3)当 r ? 1 时,设圆 O 与 x 轴相交于 P, Q 两点, M 是圆 O 上异于 P, Q 的任意 一点,直线 PM 交直线 l ? : x ? 3 于点 P ? ,直线 OM 交直线 l ? 于点 Q ? . 求证:以 P?Q? 为直径的圆 C 总经过定点,并求出定点坐标.

20.(本小题满分 16 分)已知 O 为坐标原点,设动点 M (2, t ) (t ? 0) . (1)若过点 P(0,4 3) 的直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 0 相切,求直线 l 的方程; (2)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 A(1,0) ,过点 A 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N , 求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

4

2016~2017 学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2 x ? y ? 1 ? 0 ; 5. ?- 1, ? ?? ; 8.6; 13. ;
9 8

2. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ;

3.

? 2 ; 4. x 2 ? ? y ? 1? ? 13 ; 4

6.. a ? 0 或 a ? 7 ; 9. -1;

7. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ; 11.①②; 12.
24 ; 7

1 2 10. m ? ? 或 m ? ; 2 3

14. [2, 5 ? 1] .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 证明:(1)如图,连结 A1C.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∴侧面 AA1C1C 为平行四边形. 又 N 为线段 AC1 的中点, ∴A1C 与 AC1 相交于点 N, 即 A1C 经过点 N, 且 N 为线段 A1C 的中点.……… 2 分 ∵为 M 为线段 A1B 的中点, ∴MN∥BC. ……………… 4 分
B1 A1 (第 15 题) M N C1 B A D C

又 MN?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, ∴MN∥平面 BB1C1C. …………………… 6 分

(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,∴CC1⊥AD. ∵AD⊥DC1,DC1?平面 BB1C1C, CC1?平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1, ∴AD⊥平面 BB1C1C. …………………… 10 分 ……………… 8 分

又 BC?平面 BB1C1C,∴AD⊥BC. ……………… 12 分 又由(1)知,MN∥BC,∴MN⊥AD. ………… 14 分
5

16.(本小题满分 14 分) 解: 【答案】(1)由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ?x ? 3a ??x ? a ? ? 0 , 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 , 即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 ,……………2 分

? x ?1 ? 2 ?? 1 ? x ? 3 ? 由?x ?3 得? ,解得 2 ? x ? 3 , ? 0 ? x ? ?3或x ? 2 ? ?x ? 2
即 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 ,……………4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 ?2,3? . ………………………6 分

(2)由(1)知 p: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a , …………8 分

q: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,………………………10 分
因为 ?p 是 ?q 的充分不必要条件, 则 ?p ? ?q ,且 ?q ? ? ?p , 所以 ?
?0 ? a ? 2, 解得 1 ? a ? 2 , ?3a ? 3,

故实数 a 的取值范围是 (1, 2] .

……………………………14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:∵ ABCD 为矩形, ∴AB⊥BC. ∵面 ABCD⊥面 BCE, 面 ABCD∩面 BCE=BC,AB?面 ABCD, ∴AB⊥面 BCE. ……………… 3 分

A O

D

B F E (第 17 题图)

C

∵CE?面 BCE,∴CE⊥AB. ∵CE⊥BE,AB?平面 ABE, BE?平面 ABE,AB∩BE=B, ∴CE⊥平面 ABE. ………………………… 6 分
6

∵CE?平面 AEC,∴平面 AEC⊥平面 ABE. … 8 分 (2)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF. ∵DE∥平面 ACF,DE?平面 BDE, 平面 ACF∩平面 BDE=OF, ∴DE//OF. ………………………… 12 分

又矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, BM 1 ∴F 为 BE 中点,即 BF =2. ………………… 14 分

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? a, C(?1, 2), r ? 5 ? a (a ? 5) …… 2 分 据题意: CM ? 2 ? 5 ? a ? a ? 3 因为 CM ? AB, ? kCM k AB ? ?1, kCM ? ?1 ? k AB ? 1 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 …… 6 分
2

…… 4 分

2? 8 ? 1? ? (2)由 CN=2MN,得 ? x - ? ? ? y ? ? ? , 3? 9 ? 3? ?
2 2 依题意,圆 C 与圆 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 有公共点,

2

…… 10 分

1 3

2 3

8 9

2 2 ? 5?a ≤ 4 2 ≤ 2 2 ? 5?a 3 3 故3 ,

…… 13 分 …… 15 分 …… 16 分

解得 ?3 ≤ a ≤

37 . 9

又因为由(1)知 a ? 3 ,所以 ?3 ? a ? 3

19. (本小题满分 16 分) 解: (1)直线 l 过定点 (?2 3,0) ,当 m 取一切实数时 ,直线 l 与圆 O 都有公共点等价于点 (?2 3,0) 在圆 O 内或在圆 O 上, 所以 (?2 3)2 ? 02 ? r 2 . 解得 r ? 2 3 .
7

………………………2 分

所以 r 的取值范围是 [2 3,??) ;

……………4 分

(2)设坐标为 (?2 3,0) 的点为点 A ,则 | OA |? 2 3 . 则当直线 l 与 OA 垂直时, 由垂径定理得直线 l 被圆 O 截得的弦长为
2 r 2 ? | OA |2 ? 2 52 ? (2 3 ) 2 ? 2 13 ; ……………6 分

当直线过圆心时,弦长最大, 即 x 轴被圆 O 截得的弦长为 2r ? 10 ; 所以 l 被圆 O 截得的弦长的范围是 [2 13,10] .………8 分 (3)对于圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 1,令 x ? ?1 , 即 P(?1,0) , Q (1,0) . 设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?
t ( x ? 1) . s ?1

? 4t ?x ? 3 t P?(3, ), 解方程组 ? y ? ,得 ( x ? 1) s ?1 ? s ?1 ?
同理可得: Q?(3, 所以 C (3,
2t ). s ?1

…………… 10 分

st ? 3t 3st ? t ) ,半径长为 2 , 2 s ?1 s ?1

又点 M ( s, t ) 在圆上,所以 s 2 ? t 2 ? 1 . 故 C (3,

3? s 1 ? 3s ) ,半径长为 , t t
1 ? 3s 2 3? s 2 ) ?( ) ,………12 分 t t

2 所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ?

即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ?
2 2

2(1 ? 3s) y (1 ? 3s) 2 (3 ? s) 2 ? ? ? 0, t t2 t2

2(1 ? 3s ) y 8( s 2 ? 1) ? ? 0, 即 ( x ? 3) ? y ? t t2

又 s2 ? t 2 ? 1,
2 2 故圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? y ?

2(1 ? 3s ) y ?8 ? 0, t

………14 分

令 y ? 0 ,则 ( x ? 3) 2 ? 8 ,
8

所以圆 C 经过定点, y ? 0 ,则 x ? 3 ? 2 2 , 所以圆 C 经过定点且定点坐标为 (3 ? 2 2 ,0) . ……………16 分

20. (本小题满分 16 分) 解:(1)圆 C: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16. 圆心 C(4,0),半径 4 当斜 率不存在时, l : x ? 0 符合题意; ……………2 分

当斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? 4 3,即kx ? y ? 4 3 ? 0, 因为直线 l 与圆 C 相切,所以圆心到直线距离为 4, 所以 | 4k ? 4 3 | ? 4, 解得k ? ? 3 , 2
1? k 3

所以直线 l : y ? ?

3 x ? 4 3,即x ? 3 y ? 12 ? 0. 3
……………5 分

故所求直线 l为x ? 0, 或x ? 3 y ? 12 ? 0.

t t2 (2)以 OM 为直径的圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? ? 1 2 4
t2 t ?1 , 其圆心为 (1, ) ,半径 r ? 4 2
………………………7 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r 2 ? 1 ? 所以
t , ……9 分 2

3 ? 2t ? 5 t ? ,解得 t ? 4 5 2
…………………10 分

所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 , (3)方法一:由平几知: ON 2 ? OK ? OM , 直线 OM: y ?
t 2 x ,直线 AN: y ? ? ( x ? 1) , 2 t

………………12 分

t ? y? x ? 4 ? 2 由? 得 xK ? 2 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?

t2 t2 t2 4 ? ON ? 1 ? xK ? 1 ? xM ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 4 4 4 t ?4
2

9

所以线段 ON 的长为定值 2 .

………………………………16 分

方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN ? ( x0 ? 1, y0 ) , OM ? (2, t ) ,

MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ) , ON ? ( x0 , y0 ) ,

FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又∵ MN ? ON ,∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0 ,
2 2 即 x0 ? y0 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ,

所以, ON ? x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值.

10


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