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高考数学复习点拨:正切函数的应用策略

时间:2011-03-06


正切函数的应用策略
在给出某个角的正切值, 求三角函数式的值或化简三角函数式的问题的求解过程中, 常 见的有以下几种处理方法,现举例说明. 一、根据某个角的正切值求出其正、余弦值 根据某个角的正切值求出其正、 根据某个角的正切值求出其正 2 ? sin θ 的值. 例1 已知 tan θ = 2 ,求 1 + cos θ 分析:本题须由 tan θ = 2 求出 sin θ, θ 的值,才能求得结果. 分析: cos 解:由 tan θ = 2 ,可得 sin θ =
2 5 5 2 5 5 , cos θ = ,或 sin θ = ? , cos θ = ? . 5 5 5 5 2? 2 5 5 =3? 5 ; 5 1+ 5 2+ 2 5 5 = 3+ 5 . 5 1? 5

2 5 5 2 ? sin θ (1) 当 sin θ = , cos θ = 时, = 5 5 1 + cos θ

2 5 5 2 ? sin θ (2) 当 sin θ = ? , θ =? cos 时, = 5 5 1 + cos θ

说明: 已知某个角的正切值求其正、 余弦值可用三角函数的定义. 三角函数有如下定义: 说明: y 已知某个角 α 的终边上一点( x,y ) x,y 不全为 0 ) ( ,设 r = x 2 + y 2 ,则 sin α = , r cos α =
x y y , tan α = .上例中 tan α = = 2 ,不妨设 x = k ( k > 0) ,则 y = 2k,r = 5k ,因 r x x
x r = k 5k = 5 , 5

为 tan α = 2 > 0 ,所以 α 在第一、三象限.当 α 在第一象限时, cos α =

sin α =

y r

=

2k 5k =?

=

x 2 5 k 5 . 当 α 在 第 三 象 限 时 , cos α = ? = ? =? , 5 5 r 5k =? 2 5 .上述解法中,也可直接取 k = 1 ,以简化运算. 5

sin α = ?

y r

2k 5k

二、将正切函数转化为正弦或余弦函数 sin θ 应用公式 tan θ = 可使得正切函数与正余弦函数相互转化.上例中,由 tan θ = 2 得 cos θ sin θ 2 ? sin θ 2 ? sin θ 2 ? 2 cos θ = 2 , sin θ = 2cos θ , 即 代入 可得 = , 要求得结果只需求 cos θ cos θ 1 + cos θ 1 + cos θ 1 + cos θ 一项即可. 例2 已知 tan θ = 3 ,求 sin θ ? 2 cos θ 的值. 2sin θ + cos θ sin θ = 3 是解题方向之一. cos θ

分析: cos 分析:由于结论式中有 sin θ, θ ,所以把 tan θ = 3 转化为

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解:由 tan θ = 3 ,得 得

sin θ = 3 ,即 sin θ = 3cos θ ,代入原式, cos θ

sin θ ? 2 cos θ 3cos θ ? 2cos θ cos θ 1 = = = . 2sin θ + cos θ 2 × 3cos θ + cos θ 7 cos θ 7

三、整体处理 从问题的结论入手分析,如能通过等价变形,使得结论式中只含有 tan θ 这一种三角函 sin θ ? 2 cos θ 的分子、分母同时除以 cos θ , 数,则把条件代入问题即可解决.如例 2 中,将 2sin θ + cos θ 则可得到
tan θ ? 2 3?2 1 = = .在一般的分式中,若分子、分母中的每个式子中都含有 2 tan θ + 1 2 × 3 + 1 7

正、余弦函数且其次数相同,往往可以应用分子分母同除以余弦函数这一技巧.若结论不是 分式,有时可以构造成分式形式,下面举一例说明. 例3 已知 tan θ =
1 ,求 2sin 2 θ ? cos 2 θ 的值. 2

分析: 分析:结论式中正、余弦函数均为二次,由 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , 2sin 2 θ ? cos 2 θ ,再将分子、分母同除以 cos 2 θ . 可得 2sin 2 θ ? cos 2 θ = sin 2 θ + cos 2 θ
?1? 2× ? ? ?1 2 2 2 2sin θ ? cos θ 2 tan θ ? 1 2 ?2? = = =? . 解: 2sin 2 θ ? cos 2 θ = 2 sin 2 θ + cos 2 θ tan 2 θ + 1 5 ?1? ? ? +1 ?2?
2

说明: 说明:上述分子、分母同除以 cos θ 或 cos 2 θ 过程中,因为已知角的正切值存在,所以 其余弦函数值不会为零.

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