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最新2017高考数学难点突破_难点11-20

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难点 11 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题 技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 (★★★★★)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=-4. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求 f(x)的最值. ●案例探究 [例 1]设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈[0, 都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),且 f(1)=a>0. (1)求 f( 1 ], 2 1 1 )、f( ); 2 4 1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n (2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(n+ 命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查 运算能力和逻辑思维能力. 知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)找到问题的突破 口. 错解分析:不会利用 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)进行合理变形. 技巧与方法:由 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)变形为 f ( x) ? f ( 的关键. (1) 解:因为对 x1,x2∈[0, x∈[0,1] x x x x x ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题 2 2 2 2 2 1 x x x ],都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),所以 f(x)= f ( ? ) ? f ( ) ≥0, 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + )=f( )?f( )=[f( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )?f( )=[f( )]2 2 4 4 4 4 4 又因为 f(1)=f( 又 f(1)=a>0 ∴f( 1 1 1 )=a 2 ,f( )=a 4 2 4 1 (2)证明:依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x),即 f(x)=f(2-x),x∈R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R. 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个 周期. (3)解:由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1] ∵f( 1 1 1 1 1 1 )=f(n? )=f( +(n-1) )=f( )?f((n-1)? ) 2 2n 2n 2n 2n 2n =?? 1 1 1 )?f( )????f( ) 2n 2n 2n 1 1 =[f( )]n=a 2 2n 1 1 ∴f( )=a 2 n . 2n =f( 又∵f(x)的一个周期是 2 1 1 )=f( ),因此 an=a 2 n 2n 2n 1 ∴ lim (ln an ) ? lim ( ln a) ? 0. n?? n?? 2n ∴f(2n+ [例 2]甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成 正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数 学知识解决实际问题的能力. 知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法. 错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件. 技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价. 解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 y=a ? 1 S ,全程运输成本为 v S S a +bv2? =S( +bv) v v v a +bv),v∈(0,c ] . v ∴所求函数及其定义域为 y=S( (2)依题意知,S、a、b、v 均为正数 a +bv)≥2S ab ① v a a a a 当且仅当 =bv,即 v= 时,①式中等号成立.若 ≤c 则当 v= 时,有 ymin; b b b v a a a 若 >c,则当 v∈(0,c ] 时,有 S( +bv)-S( +bc) b v c a a S =S[( - )+(bv-bc)]= (c-v)(a-bcv) v c vc ∴S ( ∵c-v≥0,且 c>bc2,∴a-bcv≥a-bc2>0 ∴S ( a a +bv)≥S( +bc),当且仅当 v=c 时等号成立,也即当 v=c 时,有 ymin; v c ab ab ab 综上可知,为使全程运输成本 y 最小,当 ≤c 时,行驶速度应为 v= ,当 >c 时行 b b b 驶速度应为 v=c. 解法二:(1)同解法一. k (k>0),x∈(0,+∞),当 x∈(0, k )时,y 单调减小,当 x∈( k ,+∞)时 y 单调增 x a 加,当 x= k 时 y 取得最小值,而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ b ),v∈(0,c ] . v a a a ∴当 ≤c 时,则当 v= 时,y 最小,若 >c 时,则当 v=c 时,y 最小.结论同上. b b b (2)∵函数 y=x+ ●锦囊妙计 在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和 方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类

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