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最新2017高考数学难点突破

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难点 11 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样. 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题 技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 (★★★★★)设函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=-4. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求 f(x)的最值. ●案例探究 [例 1]设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈[0, 都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),且 f(1)=a>0. (1)求 f( 1 ], 2 1 1 )、f( ); 2 4 1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n (2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(n+ 命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查 运算能力和逻辑思维能力. 知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)找到问题的突破 口. 错解分析:不会利用 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)进行合理变形. 技巧与方法:由 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)变形为 f ( x) ? f ( 的关键. (1) 解:因为对 x1,x2∈[0, x∈[0,1] x x x x x ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题 2 2 2 2 2 1 x x x ],都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),所以 f(x)= f ( ? ) ? f ( ) ≥0, 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + )=f( )?f( )=[f( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )?f( )=[f( )]2 2 4 4 4 4 4 又因为 f(1)=f( 又 f(1)=a>0 ∴f( 1 1 1 )=a 2 ,f( )=a 4 2 4 1 (2)证明:依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x),即 f(x)=f(2-x),x∈R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R. 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个 周期. (3)解:由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1] ∵f( 1 1 1 1 1 1 )=f(n? )=f( +(n-1) )=f( )?f((n-1)? ) 2 2n 2n 2n 2n 2n =?? 1 1 1 )?f( )????f( ) 2n 2n 2n 1 1 =[f( )]n=a 2 2n 1 1 ∴f( )=a 2 n . 2n =f( 又∵f(x)的一个周期是 2 1 1 )=f( ),因此 an=a 2 n 2n 2n 1 ∴ lim (ln an ) ? lim ( ln a) ? 0. n?? n?? 2n ∴f(2n+ [例 2]甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成 正比,比例系数为

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