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数学理卷·2014届湖北省襄阳市高三统一调研测试(2013.12)word版

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襄阳市 2013-2014 学年普通高中调研统一测试 高三数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 2 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(СRB)= A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4) 2.设 a、b 为实数,若复数 A.a=

1 + 2i =1+i 则 a + bi
C.a=

1 3 ,b= D.a=1,b=3 2 2 1 2 3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ) ,则 log4f(2)的值为 2 2 1 1 B.C.2 D.-2 A. 4 4 4.已知向量 a=(cos α ,sin α ) ,向量 b=( 3 ,-1) ,则|2a-b|的最大值,最小值分别是 A.4 2 ,0 B.4,4 2 C.16,0 D.4,0
B.a=3,b=1 5.命题甲:p 是 q 的充分条件,命题乙:p 是 q 的充分必要条件,则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知 f (x) , g (x) 是定义为 R 的函数, 在有穷数列 ≤k≤10) ,则前 k 项和大于 的概率是 中,任意取正整数 k(1

3 1 ,b= 2 2

7.执行如右图所示的程序框图,若输出的值为-105,则输入的 n 值可能为

A.5 B.7 C.8 D.10 8.已知正数 x、y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为 A.8 B.4 C.2 D.0 9.给出下面结论: ①命题 p: “ ?x0 ∈ R ,x0 ? 3 x0 + 2 ≥0”的否定为 ?p : “ ?x ∈ R ,x0 ? 3 x0 + 2 < 0 ”.
2 2

第 1 页 共 9 页

②若 ③函数 ④设函数

,则实数 m 的值为 在 内没有零点; 则 f(x)为周期函数,最小正周期为 D.4 有两个极值点 ,若 ,则关于 x 的方程

其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 10.已知函数

的不同实根个数为 A.4 B.4 C.5 D.6 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答 全品 案填在答题卡相应位置 上。 ) (一)必做题 11.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积

1 ,则这个小矩形对应的频数是 ▲ . 5 π π (2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与 f 12.若函数 f(x)=2sin( x+ ) 6 3 uuu v uuuv uuu v (x)的图象交于 B、C 两点,O 为坐标原点,则( OB + OC ) · OA = ▲ .
等于其余 n-1 个小矩形面积和的 13.设变量 x、y 满足约束条件 (1)当 k=1 时,则 (2)若 的最大值为 ,其中

的最大值为 ▲ . ,则实数 k 的取值范围是____。

14.5 位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学报的数是 1,第二位同学报的数也 是 1,之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和;若报的数为 3 的倍数,则报该数 的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, (1)当 5 位同学依次循环共报 20 个数时,甲同学拍手的次数为 ▲ ; (2)当甲同学开始第 10 次拍手时,这 5 位同学己经循环报数到第 ▲ 个数. (二|选题题(14、15 题任选题作答) 15、如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD,连 PD 交圆 O 于点 E,则 PE=____

16、已知曲线 C:

,则曲线 C 被直线

所截得的弦长为____

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本大题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin ω x cos ω x +2 3 sin ω x - 3 ( ω >0)的最小正周期为 π . (1)求函数 f(x)的单调增区间;
2

(2)将函数 f(x)的图象向左平移

π 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x) 6

的图象,若 y=g(x)在[0,b](b>O)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

18. (本大题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1,2,…,8,其中 ξ ≥5 为 标准 A, ξ ≥3 为标准 B。产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准,从该厂生产的产品随机抽取 30 件,相 应的等级系数组成一个样本,数据如下:

该行业规定产品的等级系数 ξ≥7 的为一等品,等级系数 5≤ξ<7 的为二等品,等级 系数 3≤ξ<5 的为三等品, (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率。

19. (本大题满分 12 分) 已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且{an}、 {bn}满足条件:S4=4a3-2,Tn=2 bn-2. (1)求公差 d 的值; * (2)若对任意的 n∈N ,都有 Sn≥S5 成立,求 a1 的取值范围; (3)若 a1=1,令 Cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和.

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20、 (本大题满分 12 分)某投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得 10-1 000 万 元的投资收益,现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资 收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于 1 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%, (Ⅰ)设奖励方案的函数模拟为 f(x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f(x) 的基本要求; (Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: (1)y= +2;(2)y=4lgx-3.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求?

21 . ( 本 大 题 满 分 13 分 ) 设 m > 3 , 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 {a n } , 令 bk 为

a1 , a 2 , L , a k (k ≤ m) 中最大值,称数列 {bn }为 {a n } 的“创新数列” .例如数列 3,5,4,
7 的创新数列为 3,5,5,7. 考查自然数 1, 2 , L , m ( m > 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 {c n } . (1)若 m=5,写出创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 {c n } ; (2)是否存在数列 {c n } 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不 存在,请说明理由. (3)是否存在数列 {c n } ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列

{cn }的个数;若不存在,请说明理由.

22. (本大题满分 14 分) 已知函数 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极小值; (2)当 a=-1 时,过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,设切点为 P(m,n) ,求实 数 m 的值; (3) 设定义在 D 上的函数 y=g (x) 在点 处的切线方程为 若 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=g(x)的“转点” 。

当 a=8 时,试问函数 y=f(x)是否存在“转点” ,若存在,请求出“转点”的横坐标,若 不存在,请说明理由。

第 4 页 共 9 页

20 13 年 12 月 襄 阳 市 高 中 调 研 统 一 测 试 高三数学(理科)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:BAADB CCABA 二.填空题:11.10 12.32 13.(1)
1 3

(2){2} 15.
3 7 7

14.(1)1 (2)195(填 196 也可以,主要是对循环报数的理解) 16. 3 三.解答题: 17.(1)解:由题意得: f ( x) = sin 2ω x ? 3 cos 2ω x = 2 sin(2ω ?
π ) 3

2分

由函数的最小正周期为 π ,得 ω = 1 π ∴ f ( x) = 2 sin(2 x ? ) 3 π π π π 5π 由 2k π ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ + ,得: k π ? ,k∈Z ≤ x ≤ kπ + 2 3 2 12 12 π 5π 所以函数 f (x)的单调增区间是 [kπ ? , kπ + ] ,k∈Z 12 12 (2)解:将函数 f (x)的图象向左平移 得到 y = 2 sin[2( x +
π 个单位,再向上平移 1 个单位, 6

4分

6分

π π ) ? } + 1 ,即 y = 2 sin 2 x + 1 的图象 6 3 所以 g ( x) = 2 sin 2 x + 1 7π 11π 令 g (x) = 0 得: x = kπ + 或 x = kπ + ,k∈Z 12 12 分 所以在每个周期上恰好有两个零点, 若 y = g (x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 11π 59π 即 b 的最小值为 4π + = 12 12 分

8分 10

12

18.(1)解:根据题意,由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等 品有 15 件. 2分

第 5 页 共 9 页

∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为

6 = 0.2 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2, 30

4分 6分 8分

9 = 0.3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0.3, 30 15 三等品的频率为 = 0.5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0.5. 30

(2)解:根据题意,由样本数据知,样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等 级系数为 8 的也有 3 件, 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1、C2、C3,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1、P2、 P3, 则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为:(C1,C2),(C1,C3),(C1,P1),(C1,P2), (C1,P3),(C2,C3),(C2,P1),(C2,P2),(C2,P3),(C3,P1),(C3,P2),(C3,P3),(P1, P2),(P1,P3),(P2,P3),共 15 种 10 分 记从“一等品中随机抽取 2 件,2 件等级系数都是 8”为事件 A 则 A 包含的基本事件有 (P1,P2),(P1,P3),(P2,P3)共 3 种 3 1 故所求的概率 P ( A) = 12 分 = . 15 5 19.(1)解:设等比数列{bn}的公比为 q,由 S4 = 4a3﹣2,得: 4×3 4a1 + × d = 4(a1 + 2d ) ? 2 ? d = 1 . 2 (2)解:由公差 d = 1 > 0 知数列{an}是递增数列 由 Sn≥S5 最小知 S5 是 Sn 的最小值 ? S ≥ S5 ?a ≤ 0 ∴? 4 ? ? 5 ? S 6 ≥ S5 ?a6 ≥ 0
?a + 4 ≤ 0 即? 1 ,解得:-5≤a1≤-4 ? a1 + 5 ≥ 0 ∴a1 的取值范围是[-5,-4].

2分

4分

6分

另解:由 Sn≥S5 最小知 S5 是 Sn 的最小值 n(n ? 1) 1 2 1 Sn = na1 + = n + ( a1 ? ) n 2 2 2 1 当 n = ? a1 时,Sn 有最小值 2 1 1 1 又 Sn 的最小值是 S5,∴ 4 + ≤ ? a1 ≤ 5 + 2 2 2 故-5≤a1≤-4 ∴a1 的取值范围是[-5,-4]. (3)解:a1 =1 时,an = 1 + (n﹣1) = n 当 n = 1 时,b1 = T1 = 2b1﹣2,解得 b1 = 2 当 n≥2 时,bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1,化为 bn = 2bn﹣1. ∴数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴ bn = 2 ? 2n ?1 = 2n ∴ cn = n ? 2n 记数列{cn}的前 n 项和为 Vn,则 ∴ Vn = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + … + n × 2n

4分

6分

8分

2Vn = 22 + 2 × 23 + L + (n ? 1) × 2n + n × 2n +1
两式相减得: ?Vn = 2 + 2 + 2 + … + 2 ? n × 2
2 3 n n +1

10 分

第 6 页 共 9 页

=

∴ Vn = (n ? 1) × 2n +1

2(2n ? 1) ? n × 2n +1 = ?(n ? 1) × 2n +1 ? 2 2 ?1 +2.

12 分

20.(1)解:由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f (x)的基本要求是: x 当 x∈[10,1000]时,①f (x)是增函数;②f(x)≥1 恒成立;③ fx) ≤ 恒成立. 5

2分

x +2 150 当 x∈[10,1000]时,f (x)是增函数,则 f(x)≥1 显然恒成立 x x 而若使函数 f ( x) = + 2 ≤ 在[10,1000]上恒成立,即 29x≥300 恒成立 150 5 x 而(29x)min = 290,∴ fx) ≤ 不恒成立 5 故该函数模型不符合公司要求. ②对于函数模型 f ( x) = 4 lg x ? 2 当 x∈[10,1000]时,f (x)是增函数, f ( x ) min = f (10) = 4 lg10 ? 2 = 2 > 1 . ∴f (x)≥1 恒成立 4 lg e 1 x 设 g ( x) = 4 lg x ? 2 ? ,则 g ′( x) = ? 5 5 x 4 lg e 1 2 lg e ? 1 lg e 2 ? 1 当 x≥10 时, g ′( x) = ? ≤ = <0 x 5 5 5 所以 g (x)在[10,1000]上是减函数 从而 g (x)≤g (10) = 4lg10-2-2 = 0 x x ∴ 4 lg x ? 2 ? ≤0,即 4 lg x ? 2 ≤ 5 5 x ∴ f ( x) ≤ 恒成立. 5 故该函数模型符合公司要求.
(2)解:①对于函数模型 f ( x) =

4分

6分

8分

10 分

12 分

21.(1) 解:根据“创新数列”的定义,可得创新数列为 3,5,5,5,5 的数列{cn}有: 3,5,1,2,4 3,5,1,4,2 3,5,2,1,4 3,5,2,4,1 3,5,4,1,2 3,5,4,2,1 2分 (2)解:存在数列{cn}的创新数列为等比数列 设数列{cn}的创新数列为{en},因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个,所以 em = m 4分 若{en}为等比数列,设公比为 q 因为 ek+1≥ek (k = 1,2,3,…,m﹣1),所以 q≥1 当 q = 1 时,{en}为常数列满足条件,即为数列为常数数列,每一项都等于 m 6分 当 q>1 时,{en}为增数列,符合条件的数列只能是 1,2,3,…,m 又 1,2,3,…,m 不是等比数列,综上符合条件的创新数列只有一个. 8分 (3)解:设存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列 设数列{cn}的创新数列为{en},因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个,所以 em = m 若{en}为等差数列,设公差为 d 因为 ek+1≥ek (k = 1,2,3,…,m﹣1),所以 d≥0,且 d∈N 当 d = 0 时,{en}为常数列,满足条件,即为数列 em = m
第 7 页 共 9 页

m ?1 此时数列{cn}是首项为 m 的任意一个排列,共有 Am ?1 个

10

分 当 d = 1 时,符合条件的数列{en}只能是 1,2,3,…,m 此时数列{cn}是 1,2,3,…,m,有 1 个; 分 当 d≥2 时,∵em = e1 + (m﹣1)d≥e1 + 2(m﹣1) = e1 + m + m﹣2 又 m > 3,∴m﹣2 > 0 ∴em > m,这与 em = m 矛盾,所以此时{en} 不存在 综上满足条件的数列{cn}的个数为(m﹣1)! + 1 个. 分 22.(1)解:当 a = 1 时, f ′( x) = 2 x ? 3 + 当0 < x < 当
1 时, f ′( x) > 0 2

12

13

1 2 x 2 ? 3x + 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) = = x x x

2分

1 < x < 1 时, f ′( x) < 0 2 当 x > 1 时, f ′( x) > 0

所以当 x = 1 时,f (x)取到极小值-2.
1 ( x > 0) x 1 n ? 0 m2 ? m ? ln m = 所以切线的斜率 k = 2m ? 1 ? = m m?0 m 2 整理得 m + ln m ? 1 = 0 显然 m = 1 是这个方程的解, 又因为 y = x 2 + ln x ? 1 在(0,+∞)上是增函数

2分

(2)解: f ′( x) = 2 x ? 1 ?

4分

所以方程 x 2 + ln x ? 1 = 0 有唯一实数解,故 m = 1. (3)解:当 a = 8 时, f ( x) = x 2 ? 10 x + 8 ln x , f ′( x) = 2 x ? 10 x + 函数 y = f (x)在其图象上一点 P(x0,f (x0))处的切线方程为 8 2 ? 10 x0 + 8 ln x0 h( x) = (2 x0 + ? 10)( x ? x0 ) + x0 k 设 F ( x) = f ( x) ? h( x) ,则 F ( x0 ) = 0 8 8 ? 10) ? (2 x0 + ? 10) = x k 4 若 0 < x0 < 2,F (x)在(x0, )上单调递减 x0 4 F ( x) 所以当 x∈(x0, )时,F (x) > F (x0) = 0,此时 <0 x ? x0 x0 F ' ( x) = f ' ( x) ? h' ( x) = (2 x + 分 若 x0 > 2,F (x)在( 所以当 x∈(
4 ,x0)上单调递减 x0 8 x

6分

8分 4 ) x0

2( x ? x0 )( x ? x

10

4 F ( x) ,x0)时,F (x) > F (x0) = 0,此时 <0 x ? x0 x0

所以 y = f (x)在(0,+∞)上不存在“转点” 分
第 8 页 共 9 页

12

若 x0 = 2, F ′( x) =

2( x ? 2) 2 > 0 ,∴即 F (x)在(0,+∞)上是增函数, x 当 x > x0 时,F (x) > F (x0) = 0,当 x < x0 时,F (x) < F (x0) = 0 即点 P(x0,f (x0))为“转点” 故函数 y = f (x)存在“转点” ,且 2 是“转点”的横坐标. 分

14

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