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上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)

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华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷 2018.03 一.填空题 1.设全集 【答案】 【解析】 【分析】 先求出 ,再求 得解. ={···,-3,-2,,2,3,4,5,···},所以 . ,若集合 , ,则 ______ 【详解】由题得 故答案为: 【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.计算: 【答案】 【解析】 【分析】 设 【详解】∵ 所以 所以 故答案为: 【点睛】本题主要考查反三角函数的计算,考查同角的三角函数的关系,意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理计算能力. 3.已知向量 【答案】13 【解析】 , ,则 ________ 所以 . ,求出 ,设 . ,即得解. . ______ 1 【分析】 由题得 【详解】由题得 故答案为:13 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理计算能力. 4.如果复数 满足 【答案】1 【解析】 【分析】 由题得 【详解】∵ ,所以 ,所以方程没有实数根,由求根公式求出 z 的值,再求|z|的大小得解. ,所以方程没有实数根, ,那么 ________ ,即得 ,∴ . . 故答案为:1 【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理计算能力. 5. 【答案】 【解析】 【分析】 设 【详解】设 因为 x≥0,所以 ( ),求出 ( ),所以 ,所以 , . . ,再求出原函数的值域即得反函数 . , ( ( )的反函数 ) ________ 因为 x≥0,所以 y≥0,所以反函数 故答案为: , 【点睛】本题主要考查反函数的求法,考查函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 2 和分析推理计算能力. 6.方程 【答案】2 【解析】 【分析】 由题得 【详解】 经检验,当 x=10 时,原方程没有意义,x=2 是原方程的解. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法,考查对数函数的定义域,意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 7.在 【答案】8 【解析】 【分析】 由题得 ,所以 n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. ,所以 n=4, 二项展开式的通项为 的二项展开式中,所有项的系数之和为 81,则常数项为________ ,即 ,解方程再检验即得解. 的解为 ________ 【详解】由题得 , 令 所以常数项为 故答案为:8 . . 【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题,考查二项式展开式特定项的求法,意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 8.已知离心率为 2 的双曲线的焦点到最近准线的距离等于 3,则该双曲线的焦距为________ 【答案】8 3 【解析】 【分析】 ,且 【详解】 故答案为:8 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算 能力. 9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于 【答案】36 【解析】 【分析】 由题得 【详解】由题得 故答案为:36 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算,考查圆柱轴截面的面积的计算,意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列 所得点数大于 ,即令 示) . 【答案】 【解析】 【分析】 胡涂涂同学掷了 3 轮,要使得 ,分两种情况讨论,再利用古典概型求 的概率. ,否则,令 ,首先,他令 ,则 ,当 时,他投一次骰子,若 , ,再求其轴截面的面积. , ,所以 . ,则其轴截面的面积为________ ,解方程组即得 ,且 ,∴ , , ,即得双曲线的焦距. ,所以该双曲线的焦距为 8. 的概率为______(结果用最简分数表 【详解】胡涂涂同学掷了 3 轮,要使得 ,有两种情况,① 一轮点数为 1,二轮点数为 1、2、3、4、5、 6,三轮点数为 1;② 一轮点数为 2、3、4、5、6,二轮点数为 1、2,三轮点数为 1; ∴由古典概型得所求的概率为 . 4 故答案为: 【点睛】本题主要考查排列组合的应用,考查古典概型,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理计算能力. 11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时,所得图形是椭圆,则该椭圆的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 为了简化问题,我们可以设单位圆 x?+y?=1,先求出单位圆直观图的方程(x-y)?+8y?=1. 画出圆的外切正方 形,和椭圆的外切平行四边形,椭圆经过了适当旋转,OC 即为椭圆的 a,OD 即为椭圆的 b,根据椭圆上的 点到原点的距离最大为 a,最小为 b,我们可以求出 a 和 b,从而推导出离心率. 【详解】为了简化问题,我们可以设单位圆 x?+y?=1,即圆上的点 P(cosθ ,sinθ ) ,第一步变换,到它 在 x 轴的投影的距离缩短一半,即 (cosθ ,0.5sinθ ) ,第二步变换,绕着投影点顺时针旋转 45°,即 (cosθ + sinθ , sinθ ) , 所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为,x=cosθ + sinθ ,y= sinθ , θ 为参数,消去参数可得方程为,(x-y)?+8y?=1. 得到单位圆的直观图后,和上面一样,我们画出圆的外切正方形,和椭圆的外切平行四边形,当然就相当 完美了!A、B 处均与椭圆相切,并且可以轻易发现,椭圆的长轴其实已经不在 x 轴上了 5 该椭圆经过了适当旋转,OC 即为椭圆的 a,OD 即为椭圆的 b,根据椭圆上的点到原点的距离最大为 a,最小 为 b,我们可以求出 a 和 b,从而推导出离心率. 椭圆上的点(cosθ + sinθ , sinθ )到原点的

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